Calculo de Várias Variaveis

EXERCÍCIO 1 Um resistor elétrico é um dispositivo capaz de transformar energia elétrica em calor Ao passarem pelo resistor as colisões resultantes dos elétrons com a rede cristalina do material que compõe o resistor ocasionam aumento de sua agitação térmica resultando em transferências de calor para as vizinhanças do resistor Por esse motivo os resistores são bastante empregados em circuitos que têm como intuito a produção de calor como em aquecedores elétricos panelas elétricas fritadeiras elétricas ferros de passar roupa chuveiros elétricos etc A potência P PVR em watt consumida em um resistor elétrico é dada pela equação PRV20 na qual R é a resistência em ohms e U é a diferença de potencial ddp entre os terminais do resistor dada em volts Com base nesses dados pedese 1 Encontre a potência consumida em um resistor no qual V60 volts e R20 ohms 2 Utilizando a derivação implícita determine a taxa de variação de P em função de R 3 Utilizando a derivação implícita determine a taxa de variação de P em função de V EXERCÍCIO 2 Esta Atividade engloba os seguintes objetivos Desenvolver a habilidade de determinar o vetor gradiente de funções de mais de uma variável Aplicar o conceito de vetor gradiente em situaçõesproblema de engenharia Considere w f x y z uma função de três variáveis Já vimos que o gradiente de f é o vetor definido por fx y z fxx y zi fyx y zj fzx y zk Ou seja Dufx0 y0 z0 fx0 y0 z0u fx0 y0 z0 u cosθ Em que usamos a definição de produto escalar entre dois vetores θ o ângulo entre eles Como u é um vetor unitário obtemos Duf x0 y0 z0 fx0 y0 z0 cosθ O valor máximo de cosθ é 1 e isso ocorre quando θ 0 Ou seja quando u tem a mesma direção e sentido que fx0 y0 z0 a função f tem a maior taxa de variação no ponto x0 y0 z0 e essa taxa é dada por fx0 y0 z0 Por outro lado o valor mínimo de cosθ é 1 e isso ocorre quando θ π rad Ou seja quando u tem a mesma direção e sentido contrário ao do vetor fx0 y0 z0 a função tem a menor taxa de variação no ponto x0 y0 z0 e essa taxa é dada por fx0 y0 z0 Em uma região do espaço a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis Considere uma região do espaço possuindo como distribuição de temperatura a seguinte função Txyz 20 x2 y2 z2 Uma partícula P1 localizada no ponto P1 2 3 4 necessita aquecerse o mais rápido possível Outra partícula P2 localizada no ponto P20 1 0 necessita resfriarse o mais rápido possível Pedese 1 Qual será a direção e o sentido que a partícula P1 deve tomar 2 Qual será a direção e o sentido que a partícula P2 deve tomar 3 Qual a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto P1 e qual a taxa máxima de decrescimento de temperatura no ponto P2 Exercícios 2 Txyz 20 x2 y2 z2 dTdx d TdT 2x dTdy 2y dtdz 2z Para ocupar o maior espaço P1 desse maior espaço da graduação P1 MT34 23 24 6 8 1 dTdx 2x dTdy 2y 2 MT010 0 2 Para otimizar o maior espaço P2 deve ser menor do que o espaço da pós graduação 3 TA sqrt426282 sqrt163664 sqrt116 107 sqrt116 107 sqrt4 2 16 sqrt 4 2 VTB sqrt02 42 sqrtP1 VMG 107 Força máxima de crescimento em P VMG 107 Força máxima de decrescimento unidade 2 Exercícios 1 TDIV PR 0 PE PV E Como V Consiste e R 20 ohms tensão P 602 20 3600 20 180W 2 P R Cálculo de variação de P na resistência dada por dPdR Va2 dR R V 1 1 V R2 3 P V² R Cálculo de variação de P na resistência dada por dPdV V R dV 1 R 12 squrt V