Calculo Derivadas

Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada a fxy 3x 2y⁴ b fxy xe³ʸ c fxy 2x 3y¹⁰ d fxy xyxy e fxy sen x cos y f frs r lnr² s² g fwt teʷ h fxyz xz 5x²y³z⁴ i fxyz lnx 2y 3z j fxy xy k fxy eˣ²ʸ l fxy x cosy x m fxy x² y² n fxy x² y²x² y² o fxy x y eˣ²²ʸ p fxy x²yx² 2y² q fxy 2xy sen² xy 2 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem a fxy x³y⁵ 2x⁴y b fxy x² y² c fxy xyxy d fxy eˣʸ e fxy x² yeˣ f fxy sen² mx ny g fxy x² 3y² 4x²y² h fxy x² y² xy i fxy ln xy j fxy 1x² 4y² k fxy x cosxy 3 Determine dzdt utilizando a regra da cadeia a z tanx² y x 2t y t² b z x cos y x sen t y t c z eˣ cos x cos y x t³ y t² d z xy x eᵗ y ln t e z xy x 2t² 1 y sen t f z lnx² y² x 2t 1 y 4t² 5 g z sen 2x 5y x cos t y sen t h z xe²ʳʸ x 2t y 3t 1 i z 5xy x² y² x t² 1 y t 2 j z ln xy x 2t² y t² 2 k z xy eˣʸ x 1t y t 4 Determine as derivadas parciais zu e zv utilizando a regra da cadeia a z x² y³ x u² 1 y ³v² b z lnx² y² x cos u cos v y sen u cos v c z xeʸ x uv y u v d z x² y² x u 3v y u 2v e z x² y² x u 1 y uv f z x² y² 5 x cos u y sen v g z xy y² 2 x u² v² y u v uv 5 Determinar se existir o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados a fxy 1 x² y² P₁001 e P₂1212 22 b fxy xy P₁000 e P₂111 c fxy x 1² y 1² P₁110 e P₂121 d fxy 2x² 3y² P₁000 e P₂111 e fxy x² xy 3y² P₁115 e P₂013 6 Supondo que a função diferenciável y fx seja definida implicitamente pela equação dada determine a sua derivada dydx a 9x² 4y² 36 b 2x² 3y² 5xy 7 Supondo que a função diferenciável z fxy é definida pela equação dada determinar zx e zy a x³y² x³ z³ z 1 b x² y² z² xy 0 GABARITO 1 a fₓ 3 fy 8y³ b fₓ e³ʸ fy 3xe³ʸ c fₓ 202x 3y⁹ fy 302x 3y⁹ d fₓ 2yx y² fy 2xx y² e fₓ cos x cos y fy sen x sen y f fᵣ lnr² s² 2r²r² s² fs 2rsr² s² g fₜ eʷt ʷeʷt t fw eʷt h fₓ z 10x y³ z⁴ fy 15x² y² z⁴ x 20x² y³ z³ i fₓ 2x 2y 3z² fy 2x 2y 3z fz 3x 2y 3z j fₓ y 2x fy x 2y k fₓ 2xy eˣ²ʸ fy x² eˣ²ʸ l fₓ cosy x x sen y x fy x sen y x m fₓ xx² y² fy yx² y² n fₓ 4x y²x² y²² fy 4x² yx² y²² o fₓ eˣ²²ʸ x y 1 fy eˣ²²ʸ 2x 2y 1 p fₓ 4x y³x² 2y²² fy x⁴ 2x² y² x² 2y²² q fₓ 2y sen xy cosxy 1 fy 2x sen xy cosxy 1 3 a dzdt 10t sec5t² b dzdt 1 2 sen² t c dzdt eᵗ³ 3t² cos t³ cos t² sen t³ 2t sen t² d dzdt eᵗ t ln t 1t ln² t e dzdt 4t sen t 2t² 1 cos t f dzdt 72t 4 64t²16t⁴ 36t² 4t 26 g dzdt cos 2 cos t 5 sen t 2 sen t 5 cos t h dzdt e⁴ᵗ3ᵗ 1² 216t³ 96t² 8t 2 i dzdt 4t³ 15t² 14t 9 j dzdt 4t² 4 t³ 2t k dzdt t eᵗ¹² 3 2t² t APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS 1 Lista 3 Supondo que a função diferenciável y fx seja definida implicitamente pela equação dada determine a sua derivada dydx a 9x2 4y2 36 b 2x2 3y2 5xy 2 Lista 3 Supondo que a função diferenciável z fxy é definida pela equação dada determinar zx e zy a x3 y2 x3 z3 z 1 b x2 y2 z2 xy 0 3 Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados a fxy xx2 y2 P11 b fxy x2y 3xy y2 P03 c fxy sen3x y P0 π2 d fxy 4 x2 y2 P11 e fxy x2 y2 3 P32 f fxy xy senx y Pπ2 0 g fuvw u2 v2 w2 uvw P010 4 Faça o que se pede i Determine o gradiente de f ii Calcule o gradiente no ponto P iii Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u a fxy 5xy2 4x3 y P12 u 513 1213 b fxy y ln x P13 u 45 35 c fxyz xe2yz P302 u 23 23 33 d fxyz x yz P131 u 27 37 67 5 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v a fxy 1 2xy P34 v 43 b fxy lnx2 y2 P21 v 12 c fxyz xey yex zex P000 v 512 6 Calcule a diferencial das funções dadas a z ex cos y b z lnx2 y2 c z sen2x y d w x2 y2 z2 x y z e z xexy y f z u2 ln v w2 g w exyz xy h w exyz2 0950 73 Play Store Mensagens Galaxy Store Telefone Google 4 a zu 2u3 2u sqrtu4 2u2 v2 1 zv v sqrtu4 2u2 v2 1 b zu 0 zv 2 tan v c zu euv v uv zv euv u uv d zu 10v zv 10u 10v e zu 2u1 v2 2 zv 2u2 v f zu cos u sen u sqrtcos2 u sen2 v 5 zv sen v cos v sqrtcos2 u sen2 v 5 g zu v3 3u2 3v2 3u2 v 2uv2 6uv 2u 2v zv u3 3u2 3v2 3uv2 2u2 v 6uv 2u 2v 5 a h1xy 1 h2xy 2 2 x y 2 b h1xy 0 h2xy x y 1 c h1xy não existe h2xy y 1 d h1xy 0 h2xy 4x 6y 1 e h1xy 3x 7y 5 h2xy x 6y 3 Exercício 1 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no máximo 01 cm Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido na cálculo da área do retângulo Exercício 2 As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 75 cm 60 cm e 40 cm respectivamente com erro máximo de 02 cm em cada dimensão Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo do volume da caixa Determinar os pontos críticos das funções dadas classificandoos quando possível a z10 x2 y2 b z2x2 y2 5 c z4 2x2 3y2 d z x2 y2 6x 2y 7 e z y x sen y f z x sen 2y g z ex2 y2 h z 4xy i z 8x3 2xy 3x2 y2 1 j z x3 3xy2 15x 12y k z4x2 3xy y2 12x 2y 1 l z x4 14 y5 x 13 y3 15 m z 4xy x4 2y2 n z x x2 y2 4 o z y x y GABARITO 1 exercício 29 seção 410 Cálculo B Diva M Flemming 2 exercício 30 seção 410 Cálculo B Diva M Flemming 3 a f 322 22 b f 96 c f 00 d f 22 22 e f 6 4 f f 0 π2 g f 0 2 0 4 a i f 5y2 12x2 y 10xy 4x3 ii f 12 416 iii f u 1323 b i f yx ln x ii f 13 30 iii f u 24 c i f e2yz 2zxe2yz 2yxe2yz ii f302 1120 iii f u 73 2 d i f 12xy2 xyxy2 yxy2 ii f 131 14 14 34 iii f u 082 5 a Dv f 23 b Dv f 0 c Dv f 4 073 6 a dz ex cos y dx ex sen y dy b dz 2xx2 y2 dx 2yx2 y2 dy c dz sen 2x 2y dx sen 2x 2y dy d dw x2 y2 z2 2xy 2xzxyz2 dx x2 y2 z2 2xy 2yzxyz2 dy x2 y2 z2 2xz 2yzxyz2 dz e dz dxy 1x dx xexy 1 dy f dz 2u du 1v dv 2w dw g dw yzexyz y dx xzexyz x dy xyexyz dz h dw exyz2 dx exyz2 dy 2xexyz2 dz 7 a 00 é ponto de máximo b 00 é ponto de mínimo c 00 é ponto de máximo d 31 é ponto de mínimo e 10 ponto de sela e 1π é ponto de sela f 0 π2 é ponto de sela g 00 é ponto de mínimo h 00 é ponto de sela i 00 é ponto de sela e 13 13 é ponto de mínimo j 21 é ponto de mínimo 21 é ponto de máximo 12 é ponto de sela e 12 é ponto de sela k 187 207 é ponto de mínimo l 0629960 não é possível classificar m 00 é ponto de sela 11 é ponto de máximo 11 é ponto de máximo n 20 é ponto de máximo e 20 é ponto de mínimo o Não existe Cálculo II lista 1 Questão 01 A fxy 3x 2y4 Fx 3 Fy 8y3 I fxyz ln x 2y 3z Fx 1x 2y 3z Fx 1x 2y 3z Fy 2x 2y 3z Fy 2x 2y 3z Fz 3x 2y 3z Fz 3x 2y 3z D fxy xyxy Fx 1xy 1x yxy2 Fx 2yxy2 Fy 1xy 1xyxy2 Fy 2xxy2 M fxy x2 y2 Fx 2x2 1x2 y2 Fx xx2 y2 Fy 2y2 1x2 y2 Fy yx2 y2 N fxy x2 y2x2 y2 Fx 2xx2 y2 2x x2 y2x2 y22 Fx 4xy2x2 y22 Fy 2yx2 y2 2yx2 y2x2 y22 Fy 4yx2x2 y22 O fxy x y ex 2y Fx 1 ex 2y x y ex 2y Fx x y 1 ex 2y Fy 1 ex 2y x y 2 ex 2y Fy 2x 2y 1 ex 2y Questão 02 B fxy x2 y2 Fx 2xx2 y2 12 2Fx2 x2 y2 x 2xx2 y2 2Fx2 y2x2 y232 Fy 2yx2 y2 12 2Fy2 22 x2 y2 2y 2yx2 y2 12 2Fy2 x2x2 y232 Fy Fx Fx Fy xyx2 y232 C rxy xyxy Fx yx y xy 1x y2 y2x y2 2Fx2 y2 2x y 1x y3 2Fx2 2y2xy3 Fy xxy xyx y2 x2x y2 2Fy2 x2 2 xy 1x y4 2Fy2 2x2x y3 xy Fx 2xyxy3 GFxy x2 3y2 4x2 y2 Fx 2x 8xy2 2 Fx2 2 8y2 Fy 6y 8x2 y 2 Fy2 6 8x2 FyFx 16xy KFxy x cosxy Fx cosxy x senxy y cosxy xy senxy 2 Fx2 y senxy y xy cosxy senxy 2 Fx2 y2 cosxy Fy x2 senxy 2 Fy2 x3 cosxy FyFx 2x senxy x2 y cosxy Questão 03 cz etcos x cos y dzdt zx dxdt zy dydt excos x cos y exsen x dxdt ex sen y dydt et3 cost3 cost2 sent3 3t2 et3 sent2 2t et t 3tcost3 cost2 sent3 2 sent2 Fz lnx2 y2 dzdt zx dxdt zy dydt 1x2 y2 2x dxdt 1x2 y2 2y dydt 2x2 y2 x dxdt y dydt 24t2 4t 1 16t4 40t2 25 4t 2 32t3 40t dzdt 32t3 36t 28t4 18t2 2t 13 Jz lnxy dzdt zx dxdt zy dydt 1xy y dxdt 1xy x dydt 1xy y dxdt x dydt 12t2 t3 2 4t3 8t 4t3 dzdt 4t4 4t3 2t Questão 05 A rxy 1 x² y² h₁ P₁ 001 z z₁ fx x₁y₁ x x₁ fy x₁y₁ y y₁ z 1 1 x₁1 x₁ y₁ x 0 1 y₁1 x₁ y₁ y 0 z 1 0 z 1 h₂ P₂ 12 12 2 2 z 22 1 x₁ 1 x₂ y₂ x 12 1 y₁ 1 x₂ y₂ y 12 z 22 x 12 22 2 y 12 22 2 z 2 2x 1 2y 1 4 22 z 2 2 x y 2 15 Questão 04 B z lnx² y² z u z x x u z y y u 1 x² y² 2x xu 1 x² y² 2y y u 2 x² y² x xu y yu 2 cos²u cos²v sen²u cos²v cosu cosv cosv senu senu cosv cosv cosu 2 cos²v cos²v 0 0 z v z x x v z y y v 1 x² y² 2x x v 1 x² y² 2y y v 2 x² y² x x v y y v 2 cos²u cos²v sen²u cos²v cosu cosv cosv senv senu cosv senv senv 2 cos²v cosv senv 2 tg v 16 F z x² y² 5 z u z x x u z y y u 2x2 1x² y² 5 x u 2y2 1x² y² 5 y u 1x² y² 5 x x u y y u 1 cos²u sen²v 5 cosu senu 0 cosu senu sen²v cos²u 5 z v z x x v z y y u 1 x² y² 5 x x v y y v 1 cos²u sen²v 5 senv cosv senv cosv cos²u sen²v 5 D fxy 2x2 3y2 h1 P1 000 z z1 fx x1y1 xx1 fy x1y1 yy1 z 0 4x1 x0 6y1 y0 z 0 h2 P2 111 z 1 4 x2 x1 6 y2 y1 z 1 4x 4 6y 6 z 4x 6y 1 lista 2 Questao 03 c fxy sen3xy P 0 π2 F Fx 0 π2 Fy 0 π2 cos30 π2 3 cos30 π2 1 3 cos π2 cos π2 F 00 D fxy 4x2 y2 P 11 F Fx 11 Fy 11 12 2 1 4 12 12 12 2 1 4 12 12 22 22 Questao 04 A fxy 5xy2 4x3 y i F 5y2 12yx2 10xy 4x3 ii f12 4 16 iii Fu 12 f12 513 1213 416 513 1213 2013 19213 17213 1323 D fxyz xyz i F 12 1 xyz 12 z xyz 12 y xyz ii f131 14 14 34 iii Fu 131 f131 27 37 67 14 14 34 27 37 67 2328 082 Questão 07 D fxy x2 y2 6x 2y 7 fx 2x 6 fx 0 2x 6 0 x 3 fy 2y 2 fy 0 2y 2 0 y 1 Ponto crítico P 31 Fxy x2 y2 6x 2y 7 x 32 y 12 3 Fxy 3 x 32 y 12 0 Fxy 3 0 fxy 3 Fxy F31 31 é um ponto de mínimo Questão 05 B fxy lnx2 y2 Fu 21 f 21 12 2xx2 y2 2yx2 y2 12 45 25 12 0 Questão 06 C fxy sen2xy df 2 senxy cosxy dx 2 senxy cosxy dy df sen2x 2y dx sen2x 2y dy D wxyz x2 y2 z2 x y z dw 2x x y z x2 y2 z2x y z2 dx 2y x y z x2 y2 z2x y z2 dy 2z x y z x2 y2 z2x y z2 dz dw x2 y2 z2 2xy 2xzx y z2 dx y2 x2 z2 2xy 2yzx y z2 dy z2 x2 y2 2zx 2zyx y z2 dz lista 3 Questão 01 A x y dA Ax dx Ay dy dA y dx x dy 30 01 24 01 54 Erro máximo 54 cm2 Questão 02 V x y z dV Vx dx Vy dy Vz dz dV yz dx xz dy xy dz 75 60 02 75 40 02 60 40 02 1980 Erro máximo 1980 cm3