Cálculo 2 com Ia

Total IET ao longo desta rodovia considerando que ela se estende infinitamente na direção leste para x 0 Este índice é uma medida teórica da exposição total que alguém sofreria ao viajar por essa parte da rodovia Definimos o IET como a integral da concentração ao longo dessa linha IET 0 Cx2 dx 1 10 ponto Substitua y 2 na função Cxy para encontrar a função de uma variável Cx2 que será integrada Escreva a integral imprópria que define o IET e determine através do cálculo se a integral converge ou diverge Qual o significado físico do valor numérico finito que você encontrou para o IET 2 10 ponto Verifique com pelo menos duas IAs distintas se suas respostas estão coerentes a Especifique quais IAs foram utilizadas e apresente o prompt empregado b Cheque se as respostas das IAs são coerentes Comente as comparações feitas e ressalte eventuais diferenças 13 Taxas de Variação Vamos analisar o quão rápido a concentração muda em pontos específicos 1 10 ponto Considere o ponto P 34 que está a 3 km a leste e 4 km a norte da chaminé Calcule Cxx3 y4 e Cyx3 y4 Fisicamente o que significam os valores e os sinais destas destas derivadas parciais 2 10 ponto Verifique com pelo menos duas IAs distintas se suas respostas estão coerentes a Especifique quais IAs foram utilizadas e apresente o prompt empregado b Cheque se as respostas das IAs são coerentes Comente as comparações feitas e ressalte eventuais diferenças 14 Exposição acumulada Uma rodovia importante segue uma linha reta que passa 2 km ao norte da chaminé correndo de oeste para leste Podemos modelar essa rodovia pela linha y 2 Queremos avaliar o Índice de Exposição a 10 ponto Calcule manualmente o domínio matemático da função Cxy O modelo apresenta alguma inconsistência física como concentrações infinitas ou negativas dentro do seu domínio b 10 ponto Verifique com pelo menos duas IAs distintas qual é o domínio da função Cxy i Especifique quais IAs foram utilizadas e apresente o prompt empregado ii Cheque se as respostas das IAs são coerentes Comente as comparações feitas e ressalte eventuais diferenças 2 Visualização Tridimensional o gráfico 3D de z Cxy nos dá uma paisagem da poluição a 10 ponto Use uma ferramenta gráfica como o GeoGebra 3D ou o WolframAlpha ou uma IA com recursos gráficos para gerar o gráfico 3D desta função no intervalo 10 10 b 10 ponto Descreva o que o gráfico representa O que acontece com a concentração C à medida que nos aproximamos da chaminé origem E quando nos afastamos muito dela O formato do gráfico é consistente com o esperado para uma fonte de poluição 3 Curvas de Nível as curvas de nível são curvas no plano xy onde a concentração é constante Elas são muito importantes para mapas de risco ambiental a 10 ponto Use uma ferramenta gráfica como o GeoGebra 3D ou o WolframAlpha ou uma IA com recursos gráficos para gerar as curvas de nível de Cxy para os valores C 1000 C 500 e C 100 μgm³ b 10 ponto Qual é o formato dessas curvas Se uma pessoa caminhar ao longo da curva de nível C 500 o que ela experimentará em termos de concentração de poluente 11 Introdução ao problema Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 0 0 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sulnorte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico μgm3 ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y Cx y 5000x2 4y2 1 Esta função representa a concentração no ponto x y Sua tarefa é usar seus conhecimentos de Cálculo e ferramentas de IA para analisar este modelo e suas implicações Objetivos Aplicar os conceitos de cálculo para modelar e interpretar um fenômeno físico como a dispersão de poluentes Desenvolver habilidades críticas no uso de ferramentas de Inteligência Artificial IA como assistentes de exploração cálculo e visualização Refletir sobre o processo de aprendizagem e sobre as capacidades e limitações das IAs no contexto do Cálculo 12 Análise da Função de Concentração Cxy 1 Domínio e Singularidades vamos entender o comportamento geral da função Cxy Cálculo 2 com IA 1 Soluções 11 Introdução ao problema O problema é modelado pela seguinte função Cxy 5000x2 4y2 1 12 Análise da Função de concentração Problema 1 Resposta Substituindo y 2 vamos ter Cx2 5000 x2 422 1 Cx2 5000x2 17 Daí IET 0 Cx 2 dx 0 5000x2 17 dx Temos então que IET lim A 0A 5000x2 17 dx 1 Resolvendo a integral 0A 5000x2 17 dx 5000 0A 1x2 17 dx 2 Note que 1x2 17 dx 1x2 172 dx Lembrando que 1x2 a2 dx 1a arctanxa Vamos ter 1x2 172 dx 117 arctanx17 Segue então de 2 que 0A 5000x2 17 dx 500017 arctanx170A 500017 arctanA17 500017 arctan017 0A 5000x2 17 dx 500017 arctanA17 Agora voltando ao limite de 1 IET lim A 0A 5000x2 17 dx lim A 500017 arctanA17 5000π17 Portanto a integral converge para 5000π17 Fisicamente podemos interpretar este resultado como mesmo que a rodovia cresça infinitamente na direção leste faz sentido dizer em qualquer outra direção a concentração de poluente diminui quando nos afastamos da chaminé ou seja a poluição não irá afetar toda a rodovia na medida que ela se distancia Problema 2 Resposta a A IA 1 foi a IA do Google i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sulnorte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico μgm3 ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x2 4y21TotalIET ao longo desta rodovia considerando que ela se estende infinitamente na direção leste para x 0 Este índice é uma medida teórica da exposição total que alguém sofreria ao viajar por essa parte da ro dovia Definimos o IET como a integral da concentração ao longo dessa linha IET 0 C x2 dx 1 10 ponto Substitua y 2 na função C x y para encontrar a função de uma variável C x 2 que será integrada Escreva a integral imprópria que define o T e determine através do cálculo se a integral converge ou di verge Qual o significado físico do valor numérico finito que você encontrou para o IET 3 ii Resposta Figura 1 Respostas IA 1 4 i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sul norte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico µgm³ ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x²4y²1TotalIET ao longo desta rodovia considerando que ela se estende infinitamente na direção leste para x 0 Este índice é uma medida teórica da exposição total que alguém sofreria ao viajar por essa parte da rodovia Definimos o IET como a integral da concentração ao longo dessa linha IET 0 C x2 dx 1 10 ponto Substitua y 2 na função C x y para encontrar a função de uma variável C x 2 que será integrada Escreva a integral imprópria que define o T e determine através do cálculo se a integral converge ou diverge Qual o significado físico do valor numérico finito que você encontrou para o IET 5 ii Resposta Figura 2 Respostas IA 2 6 b Aparentemente as respostas são coerentes Quanto às comparações a IA do google apresenta mais passos durante as contas já a IA 2 CHATGPT apresenta respostas mais diretas mas nesse caso em particular as respostas estão corretas e coerentes 13 Taxas de variação Problema 3 Resposta Temos que Cx x 5000x² 4y² 1 0x² 4y² 1 50002x x² 4y² 1² 10000x x² 4y² 1² Logo Cx x3y4 10000xx² 4y² 1² x3y4 3000074² 546 e Cy y 5000x² 4y² 1 0x² 4y² 1 50008yx² 4y² 1² 40000yx² 4y² 1² Logo Cy x3y4 40000yx² 4y² 1² x3y4 16000074² 2921 Como Cx x3y4 e Cy x3y4 medem a variação de concentração nas direções de x e de y o sinal negativo e os valores numéricos indicam que na medida que se afasta tanto na direção oeste quanto na direção norte a concentração do poluente de diminui Problema 4 Resposta a A IA 1 foi a IA do Google i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sul norte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico µgm³ ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x²4y²1TotalIET ao longo desta rodovia considerando que ela se estende infinitamente na direção leste para x 0 Este índice é uma medida teórica da exposição total que alguém sofreria ao viajar por essa parte da rodovia Considere o ponto P 34 que está a 3 km a leste e 4 km a norte da chaminé C Calcule x3y4x34 Fisicamente o que significam os valores e os sinais destas destas derivadas parciais 8 ii Resposta Figura 3 Respostas IA 1 9 A IA 2 foi o ChatGPT i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sul norte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico µgm³ ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x²4y²1TotalIET ao longo desta rodovia considerando que ela se estende infinitamente na direção leste para x 0 Este índice é uma medida teórica da exposição total que alguém sofreria ao viajar por essa parte da rodovia Considere o ponto P 34 que está a 3 km a leste e 4 km a norte da chaminé C Calcule x3y4x34 Fisicamente o que significam os valores e os sinais destas destas derivadas parciais 10 ii Respostas Figura 4 Respostas IA 2 11 b As respostas são coerentes Entretanto vale observar que a IA 1 forneceu uma resposta mais direta omitindo o cálculo que deveria ser realizado e isso é um ponto negativo pois entender as contas feitas para chegar a tal explicação física é fundamental 14 Exposição acumulada Problema 5 Resposta a Como x2 4y2 1 0 x y R temos que DC x y x y R Logo o modelo não apresenta nehuma incosistência fisica pois o denominador nunca é xero e assim não é possivle concentração infinita e o denominador é estritramente maior que zero o que implica valores não negativos em toda imagem de C b A IA 1 foi a IA do Google I i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredo res de uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coorde nadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sulnorte Após extensos estudos de disper são atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico µgm³ ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x²4y²1 Calcule o domínio matemático da função C xy O modelo apresenta alguma incon sistência física como concentrações infinitas ou negativas dentro do seu domínio 12 ii Respostas Figura 5 Respostas IA 1 A IA 2 foi o ChatGPT i Promt Imagine uma nova planta industrial instalada nos arredores de 13 uma cidade A principal chaminé da fábrica está localizada para fins de modelagem na origem 00 de um sistema de coordenadas cartesianas onde x e y são medidos em quilômetros km O eixo x aponta para a direção oesteleste enquanto que o eixo y aponta para a direção sul norte Após extensos estudos de dispersão atmosférica e considerando a direção predominante do vento engenheiros ambientais propõem um modelo simplificado para a concentração de um certo poluente medido em microgramas por metro cúbico µgm³ ao nível do solo O modelo é descrito pela função C x y 5000 Cxy x²4y²1 Calcule o domínio matemático da função C xy O modelo apresenta alguma inconsistência física como concentrações infinitas ou negativas dentro do seu domínio ii Respostas Figura 6 Respostas IA 2 II As respostas são consistentes Entretanto a IA 2 apresentou mais deta lhes em sua resposta e ao final recapitula com um resumo apresentando 14 a resposta de uma maneira mais compacta Neste caso as IAs apre sentaram respostas satisfatórias para o problema Problema 6 Resposta a Figura 7 Gráfico da função b Temos que no planoxy representa a posição em quilômetros leste oeste e sulnorte em torno da chaminé e no eixo vertical z C indica a concentração do poluente no ar emgm3O gráfico mostra isso como um pico alto no centro Fisicamente isso representa que a poluição é mais intensa próxima à fonte de emissão A concentração tende a zero quando nos afastamos muito da chaminé Portanto o formato do gráfico um pico central que decai suavemente reflete o comportamento real de dispersão de poluentes no ambiente 15 Problema 7 Resposta a Figura 8 Curvas de nível b Formato O formato das curvas de nível depende da fonte de poluição e das condições de dispersão como vento topografia etc Em muitos modelos simplificados as curvas de nível são círculos concêntricos em condições de vento calmo e fonte pontual Em cenários mais realistas elas podem ser elipses ou formas mais complexas estendendose na dire ção do vento predominanteExperiência ao caminhar ao longo da curva de nível C 500 Uma curva de nível é uma linha que conecta todos os pontos onde a função tem o mesmo valor Se uma pessoa caminhar exatamente ao longo da curva de nível C 500 ela experimentará uma concentração de poluente constante de 500 µgm3 durante todo o percurso A concentração não aumentará nem diminuirá pois ela per manece na mesma altitudeou nível de concentração na superfície da função Cx y 16