Cálculo de Múltiplas Variáveis

IBM0722 Cálculo de Múltiplas Variáveis Continuação 2 Determine as derivadas parciais de 1ª ordem das funções a seguir a 10 ponto fx y tg xy yx b 15 ponto fx y z arctgxyz ezyz senx Pág 2 de 4 Engenharias e Tech IBM0722 Cálculo de Múltiplas Variáveis Continuação 3 25 pontos Em aplicações de engenharia e física matemática a equação de Laplace em três dimensões é dada por 2f x2 2f y2 2f z2 0 Considere a função fx y z parametrizada por β R fx y z eβx cos2y cos3z Determine os valores de β para que fx y z seja harmônica ou seja que satisfaça a equação de Laplace tridimensional Pág 3 de 4 Engenharias e Tech IBM0722 Cálculo de Múltiplas Variáveis Continuação 4 No treinamento de redes neurais a função de perda fx y mede o erro do modelo em relação aos parâmetros x e y A escolha dos passos para minimizar a perda é feita com base na inclinação local da função Considere a função de perda dada por fx y x2 xy y2 e o ponto 1 2 Df a 10 ponto Se fizermos uma variação infinitesimal na direção negativa do eixo x ou seja se diminuirmos x levemente a função fx y aumenta ou diminui Qual é a variação aproxi mada de fx y nesse caso Utilize derivação parcial b 15 ponto Seja S R3 a superfície gráfico da função fx y Determine a equação do plano tangente a superfície S no ponto P1 2 z0 S com z0 f1 2 Em seguida utilizando aproximação linear estime o valor de f0 999 2 0001 Pág 4 de 4 Engenharias e Tech Solução 4 a fxy x2 xy y2 As derivadas parciais fx 2x y fy x 2y fx 12 21 2 fx 12 4 fy 12 1 22 fy 12 5 Logo f12 10 45 10 41 50 4 0 Assim a função diminui e a variação aproximada de fxy é 4 b z0 f12 12 12 22 7 z0 7 A equação do plano tangente z z0 fx 12 x 1 fy 12 y 2 z 7 4x 1 5y 2 4x 5y z 7 Por outro lado fxy 7 4x 1 5y 2 f0999 20001 7 40999 1 520001 2 7 40001 500001 69965 No text present in this image Solução 3 fxyz eβx Cos2y Cos3z Derivando f respeito a x y z fx xyz βe βx Cos2y Cos3z fxx xyz β2 eβx Cos2y Cos3z Também fy xyz 2 e βx Sen 2y Cos3z fyy xyz 4 eβx Cos2y Cos3z fz xyz 3 eβx Cos2y Sen3z fzz xyz 9 eβx Cos2y Cos3z Substituindo na equação de Laplace 2 fx2 2 fy2 2 fz2 0 β2 eβx Cos2y Cos3z 4 eβx Cos2y Cos3z 9 eβx Cos2y Cos3z 0 β2 13 eβx Cos2y Cos3z 0 Daí que β2 13 0 β 13 Portanto os valores de β são 13 e 13