Cálculo Diferencial e Integral III - Reposição da Primeira Prova

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 301471 20221 Página inicial Meus cursos CDEII 221 301471 REPOSIÇÃO REPOSIÇÃO PRIMEIRA PROVA Tempo restante 25424 Calcule o volume de Ω que é limitado pelas superfícies S₁ x² y² 4z S₂ x² y² 8y e S₃ z 0 a 96π b 72π c 120π d 64π CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 301471 20221 Página inicial Meus cursos CDEII 221 301471 REPOSIÇÃO REPOSIÇÃO PRIMEIRA PROVA Tempo restante 25443 Resolva a integral D x² ydA onde D x y R² x² y² 1 a π4 b π2 c 3π2 d 0 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 301471 20221 Página inicial Meus cursos CDEII 221 301471 REPOSIÇÃO REPOSIÇÃO PRIMEIRA PROVA Tempo restante 25417 Calcule o volume de Ω onde Ω é a região exterior ao cilindro x² y² 4 interior à esfera x² y² z² 16 e z 0 a 163π b 82π c 83π d 162π CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 301471 20221 Página inicial Meus cursos CDEII 221 301471 REPOSIÇÃO REPOSIÇÃO PRIMEIRA PROVA Encontre a integral dupla de fxy x ao longo da região entre as curvas yx2 e y x1x a 1 b 2 c 148 d 196 Questão 1 Note que as curvas se encontram nos seguintes pontos 𝑥2 𝑥1 𝑥 Logo 𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2𝑥 1 𝑥 1 2 Assim temos a seguinte integral 𝑓𝑑𝑦 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 2 0 𝑥𝑑𝑦 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 2 0 Calculando obtemos 𝑥 𝑑𝑦 𝑥1𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 1 2 0 𝑥𝑥1 𝑥 𝑥2𝑑𝑥 1 2 0 𝑥𝑥 𝑥2 𝑥2𝑑𝑥 1 2 0 𝑥𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 1 2 0 𝑥2 2𝑥3𝑑𝑥 1 2 0 1 3 𝑥3 2 4 𝑥4 0 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 2 4 1 3 1 8 2 4 1 16 1 3 1 8 1 2 1 16 1 8 1 3 1 4 1 8 1 12 1 96 Questão 2 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑥2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 𝑦𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟2 cos2 𝜃 𝑟 sin 𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟3 cos2 𝜃 𝑟2 sin𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟3 cos2 𝜃 𝑟2 sin𝜃𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 Calculando temos 𝑟4 4 cos2 𝜃 𝑟3 3 sin𝜃 0 1 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 cos2 𝜃 1 3 sin𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 cos2 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 3 sin 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 cos2 𝜃𝑑𝜃 2𝜋 0 0 1 4 1 cos 2𝜃 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 1 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 4 cos2𝜃 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 1 8 𝑑𝜃 2𝜋 0 0 18 2π π4 Questão 3 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo as superfícies ficam 𝑥2 𝑦2 𝑟2 4𝑧 𝑧 0 𝑥2 𝑦2 𝑟2 8𝑦 8𝑟 sin 𝜃 Logo 𝑟2 4𝑧 𝑧 0 𝑟 8 sin 𝜃 Ou seja 0 𝑧 𝑟2 4 0 𝑟 8 sin 𝜃 Assim a integral fica 𝑑𝑧 𝑟2 4 0 𝑟𝑑𝑟 8 sin𝜃 0 𝑑𝜃 𝜋 0 Calculando temos 𝑟2 4 𝑟𝑑𝑟 8 sin𝜃 0 𝑑𝜃 𝜋 0 𝑟3 4 𝑑𝑟 8 sin𝜃 0 𝑑𝜃 𝜋 0 𝑟4 16 0 8 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 84 sin4 𝜃 16 𝑑𝜃 𝜋 0 256 sin4 𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 256 sin2 𝜃2𝑑𝜃 𝜋 0 256 1 cos 2𝜃 2 2 𝑑𝜃 𝜋 0 64 1 cos 2𝜃2𝑑𝜃 𝜋 0 64 1 2 cos 2𝜃 cos2 2𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 64 1 cos2 2𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 64 1 1 cos 4𝜃 2 𝑑𝜃 𝜋 0 64 1 1 2 𝑑𝜃 𝜋 0 64 3 2 𝑑𝜃 𝜋 0 64 3 2 𝜋 32 3𝜋 96𝜋 Questão 4 Este volume é dado por 𝑉 𝑑𝑧 16𝑥2𝑦2 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑉 16 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑉 16 𝑥2 𝑦2𝑟𝑑𝑟 4 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑉 16 𝑟2𝑟𝑑𝑟 4 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑉 1 2 16 𝑟22𝑟𝑑𝑟 4 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 Calculando temos 𝑉 1 2 2𝜋 16 𝑟2 1 22𝑟𝑑𝑟 4 2 𝑉 𝜋 2 3 16 𝑟2 3 2 2 4 𝑉 2 3 𝜋 16 𝑟2 3 2 2 4 𝑉 2 3 𝜋 16 42 3 2 16 22 3 2 𝑉 2 3 𝜋 0 3 2 12 3 2 𝑉 2 3 𝜋0 1212 𝑉 2 3 𝜋243 𝑉 2 3 𝜋243 𝑉 2𝜋83 𝑉 𝜋163 Questão 1 Note que as curvas se encontram nos seguintes pontos x 2x 1x Logo x0 x1x 2 x1 x1 2 Assim temos a seguinte integral 0 1 2 x2 x 1x fd yd x 0 1 2 x2 x1x x dydx Calculando obtemos 0 1 2 x x2 x 1x d ydx 0 1 2 xx 1x x 2dx 0 1 2 x xx 2x 2dx 0 1 2 x x2x 2 dx 0 1 2 x 22 x 3 dx 1 3 x 32 4 x 40 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 2 4 1 3 1 82 4 1 16 1 3 1 81 2 1 16 1 8 1 31 4 1 8 1 12 1 96 Questão 2 Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica x 2 ydydx x 2 yrdrdθ r 2cos 2θr sinθ rdrdθ r 3cos 2θr 2sinθ drdθ 0 2π 0 1 r 3cos 2θr 2sinθdrdθ Calculando temos 0 2π r 4 4 cos 2θ r 3 3 sinθ 0 1 dθ 0 2π 1 4 cos 2θ1 3 sinθdθ 0 2π 1 4 cos 2θdθ 0 2π 1 3 sinθdθ 1 4 0 2π cos 2θdθ0 1 4 0 2π 1cos2θ 2 dθ 1 4 0 2π 1 2dθ 1 4 0 2π cos2θ 2 dθ 1 8 0 2π dθ0 18 2π π4 Questão 3 Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo as superfícies ficam x 2 y 2r 24 z z0 x 2 y 2r 28 y8r sinθ Logo r 24 z z0 r8sinθ Ou seja 0 z r 2 4 0r 8sinθ Assim a integral fica 0 π 0 8sinθ 0 r 2 4 d zr d rdθ Calculando temos 0 π 0 8sinθ r 2 4 rdrdθ 0 π 0 8sin θ r 3 4 drdθ 0 π r 4 160 8sinθ dθ 0 π 8 4sin 4θ 16 dθ 256 0 π sin 4θ dθ 256 0 π sin 2θ 2dθ 256 0 π 1cos 2θ 2 2 dθ 64 0 π 1cos2θ 2dθ 64 0 π 12cos 2θcos 22θ dθ 64 0 π 1cos 22θ dθ 64 0 π 1 1cos 4θ 2 dθ 64 0 π 1 1 2dθ 64 3 2 0 π dθ 64 3 2π 323 π 96 π Questão 4 Este volume é dado por V 0 16x 2y 2 d zdxdy V 16x 2y 2dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica V 0 2π 2 4 16x 2y 2rdrdθ V 0 2π 2 4 16r 2rdrdθ V1 2 0 2 π 2 4 16r 2 2rdr dθ Calculando temos V1 2 2 π 2 4 16r 2 1 2 2rdr Vπ 2 3 16r 2 3 22 4 V2 3 π16r 2 3 22 4 V2 3 π164 2 3 2162 2 3 2 V2 3 π0 3 212 3 2 V2 3 π 01212 V2 3 π 243 V2 3 π 243 V2π 83 Vπ 163