Calculo I - Estudo da Variação de Funções Maximos e Mínimos - UCSal

Odete Amanda UCSal 20242 1 Figura 2 Universidade Católica do Salvador Escola de Engenharias e Arquitetura de Tecnologias Curso Bacharelado em Engenharias 20242 Cálculo I Professora Odete Amanda 3 Estudo da variação de uma função 31 Máximos e Mínimos A função do segundo grau como já é do nosso conhecimento admite um valor máximo ou um valor mínimo a depender da concavidade da parábola que a representa Nenhum outro valor da imagem é superior ou inferior respectivamente a este valor extremo Existem outras funções a função afim por exemplo para as quais não existe este valor extremo Em algumas situações nos interessa analisar o caso da existência de extremos locais Usase o termo local porque fixamos a nossa atenção em um intervalo aberto suficientemente pequeno contendo c tal que f tome seu maior ou menor valor em c Fora deste intervalo aberto f pode assumir outros valores maiores ou menores Às vezes usase o termo relativo em vez de local 311 Definição Dada uma função f seja c Df dizse que f possui um i máximo local em c se existe um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x em I Df ii mínimo local em c se existe um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x em I Df Se f possui um máximo ou mínimo local em c dizemos que f possui um extremo local em c Exemplo 1 Exemplo 2 fx x3 3x2 5 fx definida por várias sentenças x y Figura 1 Odete Amanda UCSal 20242 2 312 Condição necessária para extremos locais Teorema de Fermat Seja f uma função definida em um intervalo a b e c a b Se f tem um extremo local em c e existe fc então fc 0 Observações De acordo com o Teorema de Fermat se i f tem um extremo local em c e existe fc então o gráfico de f tem uma tangente horizontal em c fc Ver exemplos 1 e 2 acima ii fc 0 então f pode ter ou não um extremo local em c Ver exemplo 3 iii não existe f c então f pode ter ou não um extremo local em x c Ver exemplos 4 e 5 Exemplo 3 Considere fx x 3 Temos que fx 3x2 Logo f0 0 Mas f não tem um extremo local em x 0 Exemplo 4 fx x Não existe f0 e f tem um mínimo em x 0 Exemplo 5 fx 2x x 1 4x 2 x 1 Não existe f1 e f não possui extremo em x 1 313 Definição Dada uma função f definida em um intervalo a b e seja c a b dizemos que c é um número crítico ou ponto crítico para f quando f c 0 ou f c não existe De acordo com tal definição os pontos críticos são candidatos a pontos nos quais f admite extremo local Figura 3 x y Figura 4 Figura 5 Odete Amanda UCSal 20242 3 Entretanto cada ponto crítico deve ser testado para verificar se é ou não é extremo local de f 314 Definição Dado c Df dizemos que f possui i máximo absoluto ou global em c se e somente se fc fx x Df ii mínimo absoluto ou global em c se e somente se fc fx x Df Exemplo 6 Considere fx 1 x2 em ℝ i f0 1 fx para todo x em ℝ Logo f possui máximo absoluto em x 0 ii f não possui mínimo absoluto em ℝ Exemplo 7 Analisando fx 1 x2 no intervalo 11 temos que i f0 1 fx para todo x em 11 logo f possui máximo absoluto em x 0 ii f possui mínimo absoluto em x 1 e x 1 O resultado a seguir garante a existência de extremos absolutos para funções contínuas definidas em um intervalo fechado 315 Teorema de Weierstrass ou Teorema do Valor Extremo Se f é uma função contínua em um intervalo a b então f assume o seu valor máximo e também o seu valor mínimo em algum ponto de a b Isto é existem números reais x 1 e x2 em a b tais que para todo x em a b temos fx1 fx fx2 Assim para determinar extremos absolutos de uma função contínua f em intervalo fechado a b devemos seguir o seguinte roteiro 1 Achar todos os pontos críticos c da função f no intervalo aberto a b 2 Calcular fc para cada ponto crítico c obtido no item 1 3 Calcular fa e fb 4 O maior dos valores dos itens 2 e 3 é o valor máximo absoluto e o menor dos valores dos itens 2 e 3 é o valor mínimo absoluto Exemplo 8 Dada a função fx x3 x2 x 1 encontre os extremos absolutos de f no intervalo 2 1 2 Figura 6 Figura 7 Odete Amanda UCSal 20242 4 Solução Seguindo o roteiro dado 1 f x 3x2 2x 1 Logo f x existe para todos os números reais assim os pontos críticos de fx serão os valores de x para os quais f x 0 Devemos considerar os pontos críticos em 2 1 2 Tomando f x 0 temos 3x2 2x 1 0 3x 1 x 1 0 x 1 3 ou x 1 Ambos pertencentes a 2 1 2 2 f1 2 e f 1 3 22 27 Confira 3 f2 1 e f 1 2 7 8 Confira 4 O valor máximo absoluto de f em 2 1 2 é 2 que ocorre em 1 e em 1 também e o valor mínimo absoluto de f em 2 1 2 é 1 que ocorre no extremo esquerdo 2 A figura 8 a seguir mostra um esboço do gráfico desta função Seja f definida em a b e c a b podemos observar nos exemplos anteriores que se f tem um extremo local em c então em uma vizinhança de c ou f é crescente para x c e decrescente para x c ou f é decrescente para x c e crescente para x c Portanto para verificar se f tem um extremo local em c devemos estudar o crescimento e decrescimento de f em uma vizinhança de c 32 Estudo do crescimento de uma função Apresentamos a seguir dois teoremas que servirão de base para relacionar o sinal da derivada com o crescimento e decrescimento de funções Figura 8 Odete Amanda UCSal 20242 5 321 Teorema Rolle Se f é uma função contínua em a b derivável em a b e fa fb então existe c a b tal que f c 0 3211 Interpretação geométrica Se f é uma função contínua em a b derivável em a b e fa fb então de acordo como Teorema de Rolle existe c a b tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto c fc é horizontal 322 Teorema do Valor Médio Teorema de Lagrange Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então existe c a b tal que f c fb fa b a 3221 Interpretação geométrica Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então de acordo como Teorema do Valor Médio existe c a b tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto c fc é paralela a reta que passa pelos pontos a fa e b fb 323 Critério da derivada para crescimento e decrescimento Considere que a função f é contínua a b e derivável em a b Temos que i Se f x 0 para todo x em a b então f é crescente em a b ii Se f x 0 para todo x em a b então f é decrescente em a b Figura 9 Figura 10 Odete Amanda UCSal 20242 6 1 3 1 1 3 1 Exemplo 9 Estude quanto ao crescimento a função fx x3 2x2 x 2 Passo 1 Buscar a derivada f x 3x2 4x 1 3 x 1 3 x 1 Passo 2 Determinar as raízes f x 3 x 1 3 x 1 cujas raízes são x 1 e x 1 3 Passo 3 Fazer o estudo do sinal da derivada f x 0 x 1 3 1 f x 0 x 1 3 1 Passo 4 Aplicar o critério f é crescente em 1 3 1 e decrescente em 1 3 1 324 Teste da derivada primeira para extremos locais Seja f contínua em um intervalo a b e derivável em a b exceto talvez em c a b sendo c um ponto crítico de f Se para todo x a b f x 0 x c e f x 0 x c então c é um ponto de máximo local de f f x 0 x c e f x 0 x c então c é um ponto de mínimo local de f fx não muda de sinal na vizinhança de c então c não é um extremo local de f Exemplo 10 Use o teste para derivada primeira para determinar os extremos locais da função fx x3 2x2 x 2 Solução Retomando o estudo do sinal feito no passo 3 do exemplo anterior temos que 1 f x 0 para x 1 3 e f x 0 para x 1 3 1 3 é ponto de máximo local 2 f x 0 para x 1 e f x 0 para x 1 1 é ponto de mínimo local 325 Teste da segunda derivada para extremos locais Seja f uma função derivável em a b e c um ponto crítico de f neste intervalo isto é f c 0 Odete Amanda UCSal 20242 7 Se f admite derivada de 2a ordem em a b temos que 1 Se f c 0 então f possui um mínimo local em c 2 Se f c 0 então f possui um máximo local em c Observação Se f c 0 nada podemos afirmar usando este teste sobre a natureza do ponto crítico Em tais casos devemos aplicar o teste da derivada primeira Exemplo 11 Use se possível o teste da derivada segunda para determinar os extremos locais da função fx x5 5x3 Passo 1 Buscar a 1ª derivada f x 5x4 15x2 Passo 2 Determinar as raízes da derivada ou seja os pontos críticos de fx f x x2x2 5 cujas raízes são x 0 x 5 e x 5 Passo 3 Buscar a 2ª derivada fx 20x3 30x Passo 4 Calcular o valor de fx nos pontos críticos f0 0 f5 2053 305 1005 305 705 f5 2053 305 1005 305 705 Passo 5 Aplicar o critério Como f5 0 5 é ponto máximo de local Como f5 0 5 é ponto de mínimo local Como f0 0 nada podemos afirmar e precisamos fazer a análise do critério da 1ª derivada Ou seja estudar a variação do sinal da 1ª derivada na vizinhança do zero f 1 514 1512 51 151 5 15 10 f 1 514 1512 51 151 5 15 10 Portanto como fx não muda de sinal numa vizinhança de 0 este não é um extremo local de f O esboço do gráfico de fx ao lado confirma as nossas considerações Odete Amanda UCSal 20242 8 33 Concavidade do gráfico de uma função Considere uma função f derivável num intervalo I Na figura 11 observe que quando um ponto do gráfico de f movese para direita a reta tangente ao gráfico de f neste ponto gira no sentido antihorário e sua inclinação aumenta Dizemos que este gráfico possui a concavidade voltada para cima em I Analogamente na figura 12 quando um ponto do gráfico de f movese para direita a reta tangente gira no sentido horário e sua inclinação decresce Dizemos que tal gráfico possui a concavidade voltada para baixo em I Estas considerações geométricas nos conduzem às seguintes definições 331 Definição Seja f uma função derivável em um intervalo a b O gráfico de f tem i concavidade voltada para cima CVC em a b se e somente se f for uma função crescente em a b ii concavidade voltada para baixo CVB em a b se e somente se f for uma função decrescente em a b Figura 12 Figura 11 Odete Amanda UCSal 20242 9 332 Definição Um ponto c fc do gráfico de uma função contínua f é chamado de ponto de inflexão se e somente se existe um intervalo aberto a b Df contendo c tal que f tenha concavidades de sentidos contrários em a c e em c b Aplicando à função fx o critério da derivada para crescimento e decrescimento obtemos o seguinte resultado 333 Teste para concavidade de um gráfico Considere a função f que admite derivada segunda no intervalo a b i Se fx 0 para todo x em a b então o gráfico de f possui CVC em a b ii Se fx 0 para todo x em a b então o gráfico de f possui CVB em a b Exemplo 11 Estude a função fx x 3 2x2 x 2 em relação à concavidade Solução Passo 1 Buscar a 1ª derivada f x 3x2 4x 1 Passo 2 Buscar a 2ª derivada fx 6x 4 Passo 3 Determinar as raizes da 2ª derivada f x 0 6x 4 0 x 2 3 Passo 4 Estudar o sinal de fx fx 0para todo x 2 3 e fx 0 para todo x 2 3 Passo 5 Aplicar o critério fx possui CVB em 2 3 e fx possui CVC em 2 3 O esboço do gráfico de fx ao lado confirma as nossas conclusões O ponto de inflexão P tem coordenadas 2 3 52 27 P Odete Amanda UCSal 20242 10 2 1 334 Observação Pontos de inflexão são encontrados de maneira similar a como encontramos pontos extremos No entanto ao invés de procurar por pontos onde a derivada muda seu sinal procuramos por pontos onde a segunda derivada muda seu sinal Exemplo 12 Vamos encontrar por exemplo os pontos de inflexão de fx 1 2 x4 x3 6x2 Solução Passo 1 Achar a 2ª derivada f x 2x3 3x2 12x f x 6x2 6x 12 Passo2 Achar as raízes da 2ª derivada f x 6x2 1x 2 f x 6x 2x 1 Suas raízes são 2 e 1 Passo3 Estudar o sinal da 2ª derivada nos intervalos em que suas raízes determinam no domínio De maneira mais prática já que a segunda derivada é do 2º grau Vemos que a segunda derivada muda de sinal em x2 e x1 ou seja o gráfico de fx muda o sentido da concavidade nesses pontos Passo4 Concluir de acordo com a definição Podemos concluir que f tem pontos de inflexão tanto em x 2 como em x 1 pois seu o gráfico muda de concavidade nesses pontos Observação No caso em que a segunda derivada tem grau maior que 2 é possível usar o recurso de testar o seu sinal calculando a imagem de determinados pontos Veja essa outra maneira para a função que acabamos de fazer Para isso calculamos a imagem de algum ponto em cada intervalo f3 63 23 1 614 24 0 f 0 60 20 1 621 12 0 f2 62 22 1 641 24 0 O esboço do gráfico de fx ao lado confirma as nossas conclusões Pontos de inflexão A 2 24 e B 1 9 2 Odete Amanda UCSal 20242 11 34 Assíntotas Dizse que uma reta r é assíntota da curva fx se o gráfico de fx se aproxima do gráfico de r à medida que x ou à medida que x x0 Figura 13 Podemos encontrar assíntotas horizontais y k e y p verticais x q oblíquas y ax b 341 Assíntotas verticais Dizse que uma reta x a é uma assíntota vertical se pelo menos uma dessas igualdades se verifica a a a a lim lim lim lim x x x x f x f x f x f x Exemplos 13 fx tem assíntota vertical na reta x 1 gx tem assíntota vertical também na reta x 1 hx também tem assíntota vertical na reta x 1 e tem assíntota horizontal na reta y 1 Veja que 2 1 1 1 lim x x 2 1 2 1 lim x x 1 1 e 1 1 lim lim x x x x x x x y 2 2 1 g x x x y 2 1 1 f x x y y ax b x y x q x y p x y 1 x h x x y x y k Odete Amanda UCSal 20242 12 Observação O candidato mais indicado para ser uma assíntota vertical de uma função fx é a reta x c em onde c Df 342 Assíntotas horizontais Dizse que uma reta y b é uma assíntota horizontal de uma função fx se pelo menos uma dessas igualdades se verifica ou lim lim x x f x b f x b Veja que no caso da função hx que tem uma assíntota horizontal na reta y 1 se verificam as duas situações embora seja suficiente acontecer apenas uma delas Em outras palavras y b é assíntota horizontal de fx se e somente se lim xfx b 0 Exemplos 14 Os dois primeiros gráficos na figura 13 apresentam como assíntota horizontal a reta y 0 343 Assíntotas oblíquas Dizse que uma reta y ax b é uma assíntota oblíqua de uma função fx se pelo menos uma dessas igualdades se verifica lim xfx ax b 0 ou lim xfx ax b 0 Nesse caso lim x fx x a ou lim xfx ax b Exemplos 15 O terceiro gráfico na figura 13 apresenta como assíntota horizontal a reta y ax b Observação A existência de uma assíntota horizontal é um caso particular da assíntota oblíqua 35 Construção de esboço do gráfico Para o esboço do gráfico de uma função f sugerimos o seguinte roteiro Determinar se possível a o domínio e interseção com os eixos b assíntotas do gráfico de f e interseções entre as assíntotas c intervalos de crescimento e decrescimento d extremos locais e concavidade para cima e para baixo f pontos de inflexão Odete Amanda UCSal 20242 13 Exercícios 21 Estude quanto ao crescimento e decrescimento a função f em cada caso A fx x2 4x 3 x2 B fx x 2 ln x C fx 4x4 4x3 8x2 12x 22 Use o teste para derivada primeira para determinar os extremos locais das funções A fx x2 4x 3 x2 C fx x 2 ln x B fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 D fx 4x4 4x3 8x2 12x 23 Use se possível o teste para derivada segunda para determinar os extremos locais das funções A fx x4 B 4x4 4x3 8x2 12x C fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 24 Estude as funções a seguir em relação à sua concavidade A fx x2 4x 3 x2 C fx x2 1 x 1 1 x2 x 1 B fx x4 D fx 4x4 4x3 8x2 12x 25 Com base no que diz o Teorema do Valor Médio responda Em que ponto a reta tangente à curva y x 3 é paralela à curva que une os pontos M1 1 e N3 27 26 Sejam f ℝ ℝ e g ℝ 2 4 ℝ 2 4 funções contínuas e os gráficos a seguir representam respectivamente os gráficos de suas derivadas Com base nas informações obtidas nos gráficos determine o que se pede para as funções f e g A As abscissas dos pontos críticos B As abscissas dos pontos de máximo e de mínimo Odete Amanda UCSal 20242 14 C Os intervalos de crescimento e decrescimento D Os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde é voltada para baixo e os pontos de inflexão E A equação das assíntotas se existirem 27 Considere as funções I e II a seguir I 2 2 1 x x f x x II 3 2 2 1 1 x x x f x x Agora para cada uma delas determine se possível A o domínio e a imagem B as interseções com os eixos C as assíntotas D os intervalos de crescimento e de decrescimento E os máximos e mínimos absolutos eou relativos F os intervalos onde o gráfico é côncavo tem concavidade voltada para cima ou convexo tem concavidade voltada para baixo G os pontos de inflexão H o esboço do gráfico BIBLIOGRAFIA Guidorizzi Hamilton Um Curso de Cálculo vol 1 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Munen Mustafá FoulisDavid Cálculo vol 1 Editora Guanabara Dois Leithold Louis Cálculo com Geometria Analítica vol 1 2a Edição Editora HARBRA Ltda Piskounov N Cálculo Diferencial e Integral I vol 1 Editora Lopes da Silva Steinbruch AlfredoWinterle Paulo Geometria Analítica 2a Edição Editora Makron Books Swookowski Earl Cálculo com Geometria Analítica vol 1 2a Edição Editora Makron Books