Calculo Integral Duplas e Triplas

1 A integral iterada vale Escolha uma opção 1 2Seja o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano Então vale Escolha uma opção 3Calcule Sugestão use coordenadas polares Escolha uma opção 4Calcule Escolha uma opção 5Calcule onde é a região do primeiro octante interna ao cilindro externa ao cilindro abaixo do paraboloide e acima do paraboloide Sugestão use coordenadas cilíndricas Escolha uma opção 6Calcule onde é a região no primeiro octante entre as esferas e Escolha uma opção Q1 I ₀π6 ₓπ6 cosy³ dy dx região de integração R x y π6 0 x π6 0 x y 0 y π6 mudar a ordem de x e y I ₀π6 ₓπ6 cosy³ dy dx ₀π6 ₀ʸ cosy³ dx dy ₀π6 cosy³ x ₀ʸ dy ₀π6 y cosy³ dy u y² du 2 y dy du2 y dy ₀π6 12 cosu du 12 sinu ₀π6 12 sinπ6 sin0 12 12 0 14 Q2 Região primeiro octante limitado por x y z 2 R 0 x 2 0 y 2 x 0 z 2 x y ₀² ₀2x ₀2xy dz dy dx ₀² ₀2x z₀2xy dy dx ₀² ₀2x 2xy dy dx ₀² 2 y x y 12 y² ₀2x dx ₀² 2 2x x 2x 12 2x² dx ₀² 12 x² 2 x 2 dx 16 x³ 12 x² 2 x ₀² 16 2³ 12 2² 2 2 43 Q3 I ₀¹ xx² xx² 1x²y² dy dx R 0 x 1 xx² y xx² xx² xx² 14 14 14 x² x 14 12² x12² coordenadas polares x r cosθ y r sinθ dx dy r dr dθ π2 θ π2 x12² y² 12² r cosθ 12² r² sin²θ 14 r² cos²θ r cosθ 14 r² sin²θ 14 r² r cosθ 0 r cosθ x² y² r² cos²θ r² sin²θ r² 1x² y² 1r² 1r I ₀¹ xx² xx² 1x² y² dy dx π2π20cosθ 1r rdrdθ π2π20cosθ drdθ π2π2 cosθ dθ sinθ π2π2 sinπ2 sinπ2 1 1 2 Q4 I 02 0y 0yz x y dxdzd y 02 0y 12 x2 xy 0yz dzd y 02 0y 12 yz2 yz y dzd y 02 0y 32 y2 2yz 12 z2 dzd y 02 32 y2 z yz2 16 z3 0y dy 02 32 y3 y3 16 y3 dy 02 23 y3 dy 16 y4 02 16 24 04 83 Q5 I E xx2 y2 dV E primeiro octante x 0 y 0 z 0 interna ao cilindro x2 y2 2y 0 x2 y2 2y 1 1 externa ao cilindro x2 y2 1 x2 y 12 1 x2 y 12 1 abaixo do paraboloide z 9 x2 y2 z 9 x2 y2 acima do paraboloide z 1 x2 y2 z 1 x2 y2 Coordenadas cilíndricas x ρ cos ϕ y ρ sin ϕ z z dV ρ dρ dϕ dz x2 y2 ρ2 cos2 ϕ ρ2 sin2 ϕ ρ2 xx2 y2 dV ρ cos ϕρ2 ρ dρ dϕ dz cos ϕ dρ dϕ dz região E x 0 y 0 z 0 0 ϕ π2 x2 y 12 1 ρ2 cos2 ϕ ρ sin ϕ 12 1 ρ2 cos2 ϕ ρ2 sin2 ϕ 2ρ sin ϕ 1 1 ρ2 2ρ sin ϕ 0 ρ 2 sin ϕ x2 y2 1 ρ2 1 ρ 1 z 9 x² y² z 9 p² z 1 x² y² z 1 p² interseção x² y² 2y 0 x² y² 1 1 2y 0 y 12 x² 12² 1 x 32 pois x 0 tan φ yx 12 32 13 φ arctan13 π6 E π6 φ π2 1 p 2sinφ 1 p² z 9 p² I E xx² y² dV π6π2 12sinφ 1p²9p² cosφ dz dp dφ π6π2 12sinφ cosφ z1p²9p² dp dφ π6π2 12sinφ cosφ 9 p² 1 p² dp dφ π6π2 12sinφ cosφ 8 2p² dp dφ π6π2 cosφ 8p 23 p³12sinφ dφ π6π2 cosφ 82sinφ 232³sin³φ 81 231³ dφ π6π2 cosφ 16 sinφ 163 sin³φ 223 dφ 16 cosφ sinφ 8 sin 2φ 163 cosφ sin³φ 83 2 cosφ sinφ sin²φ 83 sin 2φ 12 1 cos 2φ 43 sin 2φ sin 2φ cos 2φ 43 sin 2φ 12 sin 4φ 43 sin 2φ 23 sin 4φ π6π2 cosφ 16 sinφ 163 sin³φ 223 dφ π6π2 cosφ 8 sin 2φ 43 sin 2φ 23 sin 4φ 223 cosφ dφ π6π2 203 sin 2φ 23 sin 4φ 223 cosφ dφ 103 cos 2φ 16 cos 4φ 223 sinφ π6π2 103 cos π 16 cos 2π 223 sin π2 103 cos π3 16 cos 2π3 223 sin π6 103 1 16 1 223 1 103 12 16 12 223 12 1312 Q6 I E z x² y² z²32 dV E primeiro octante x0 y0 z0 entre as esferas x² y² z² 9 e x² y² z² 1 1 r² 9 1 r 3 Coordenadas esféricas x r cosφ sinθ y r sinφ sinθ z r cosθ x² y² z² r² cos²φ sin²θ r² sin²φ sin²θ r² cos²θ r² sin²θ r² cos²θ r² 1 r 3 0 θ π2 pois z 0 0 φ π2 pois x 0 e y 0 dV r² sinθ dr dθ dφ z x² y² z²32 r cosθ r²32 r cosθ r³ cosθ r² I E z x² y² z²32 dV 0π2 0π2 13 cosθ r² r² sinθ dr dθ dφ 0π2 0π2 13 cosθ sinθ dr dθ dφ ₀π2 ₀π2 ₁3 12 sin2θ dr dθ dφ ₀π2 ₀π2 12 sin2θ r ₁3 dθ dφ ₀π2 ₀π2 12 sin2θ 3 1 dθ dφ ₀π2 ₀π2 sin2θ dθ dφ ₀π2 cos2θ 2 ₀π2 dφ ₀π2 12 cos2 π2 cos2 0 dφ ₀π2 12 1 1 dφ ₀π2 dφ φ ₀π2 π2 0 π2