Cálculo Vetorial - Integrais de Linha e Teorema de Green

1 C x y4 ds onde C é a metade direita do círculo x2 y2 16 Parametrização x 4cos t y 4sen t π2 t π2 dx 4sen t dt2 16sen2 t dt dy 4cos t dt 16cos2 t dt 0π2 cos t sin t4 16 sen2 t 16cos2 t dt 45 0π2 cos t sen4 t dt 45 0π2 cos t sen4 t dt bu sen t du cos t dt dt 1cos u 45 0π2 u4 du 45 u550π2 465 40965 16386 2 k ek t 4 x z 0 e K demidade linear Parametrização x x cos t y 4 sen t π2 t π2 dx 2sen t dt 4 sen2 t dt dy escot dt 4 cos t dt m C p ds cálculo da massa π2π2 k sen t2 cos t2 dt π2π2 k 1 dt π2π2 k dt 2k π2π2 dt 2k t π2π2 m 2π k centro de massa x 1m C x k ds y 1m C y k ds centro de massa x 1m C x k ds 12π k π2π2 x cos t dt 12π k sen t π2π2 2 sen t sen t2 2π 1 1 x 4π y 1m C y k ds 12π k π2π2 y sen t dt 12π k π2π2 sen t dt x cos 12 t e cos π2 y 0 logo a posição do centro de massa é x y 4π 0 3 Fxyz 1 2y x 3z x yz 100 342 ponto de partida C segmento de reta A 100 B 342 o ponto de chegada com A e B posso encontrar a direção r AB b A 342 100 r 242 Parametrização de um segmento de reta que come na em A e termina em B x x1 a t y y1 b t z z1 ct No vetor direção r a b c py1 A 100 a b c Eu temos x 1 2t y 4t z 2t a função paramétrica é rt 1 2t 4t 2t t 01 Fr t 6t 1 4t 1 6t W C F dr F dr êx êy êz 6t êx 1 4t êy 1 6t êz 12t 1 16t 2 12t Sem os econômicos 12t 9 16t 2 12t 907 6 Antes de calcular a integral precisamos encontrar os limites de Uma equação parametrizada p x y z temos x 1 2 t y 4 t z 2 t além disso A 100 B 342 Vamos os pontos A e B para substituir em cada uma das equações acima ou seja A 100 k 1 2 t ot t 0 B 342 y 4 t 4 4 t t 1 z 2 t t 1 Portanto podemos afirmar que 0 t 1 Logo 01 40 t 6 dt 01 40 t2 6 t 20 t2 6 t dt 26 4 C tgy dx x sec2 y dy C 10 a 2 π4 Utilizando o teorema 1 que afirma se Fxy mxy î nxy ĵ é contínua em uma região aberto conexa D então a integral F dr é independente do caminho se e somente se Fxy fxy Sabemos que fxy fxxy î fyxy ĵ C tgy dx x sec2 y dy fxxy tg y fxxy dx tg y dx fxy x tg y Cy fyxy x sec2 y fyxy x sec2 y Cy Cy K e tomando K 0 vemos que φxy x tg y é uma função potencial para F ou seja φ F Portanto F é conservativo e a integral independente do caminho e depende apenas dos pontos inicial e final C tg y dx x sec2 y dy F dr φ2 π4 φ10 2 tg π4 tg 0 2 5 C xy3 dx x3 dy C retangulo 00 20 23 e 03 No desenho vemos que 0 x 2 0 y 3 Teorema de Green C F dr mxy dx nxy dy R Nx My da Sendo mxyy 2yx e nxyx 3x2 podemos calcular R Nx My da R Nx My da 02 03 3x2 2 y x dy dx 02 3x2 y x y2 2 y3 y0 dx 02 9 x2 9 x dx 9 x3 3 9 x2 2 x2 x0 38 92 24 18 6 6 C x2y dx C 4xy3 dy C triângulo 00 13 e 03 Na figura vemos que 0 x 1 correndo os limites de y não são constantes como no exercício anterior Para encontrálos devemos parametrizar o segmento de reta que vai de 00 até 13 A00 B13 ponto de chegada ponto de partida vetor direção v AB B A 13 00 v 13 x x1 at y y1 bt x 1t y 3t y 3x então 3x y 3 não passe dos limites de 0 e de 1 utilize o teorema de Green pf calcular a integral Mxyy x2 y Nxyx 4y3 R Nx My dA 01 3x3 4y3 2x2 y dy dx 01 y4 x2 y2y3x y0 dx 01 3x4 4 x2 3x2 dx 01 81 x4 4 9x4 dx 01 81 x 4 9 x4 dx 01 81 x 4 45 x4 4 dx 81 x2 8 45 x5 2001 81 8 9 4 Resolvemos as integrais separadamente 1 01 1x3 3 dx 13 01 u3 du 13 u4 4 0 1 13 14 112 u 1x du dx 2 01 x x3 dx x2 2 x4 4 0 1 12 14 34 36 então W 112 36 712 W 712 8 Parétivula que dá uma única volta completa umiforemiente na circunferência x2 y2 1 Parâmetrização de uma circunferência x2 y2 R2 x R cos t y R sen t então para x2 y2 1 7 x cos t 7 y sent rt cos t sen t e consideranto r ab temos W C F dr 0 2π a b sen t cos t dt 0 2π a sent b cos t dt a cos t b sent 02 π a 0 a 0 0 a q d Fxy x x y u x y v vai da origem ate 10 01 volta a origem ao longo do eixo y Na figura 0 x 1 mas assim como o exercício anterior não temos um les ixos para y então precisamos parametrize o segmento que vai de 10 ate 01 A 10 B 01 vetor posição v AB B A 01 10 v 11 x x1 a b x 1 t y y1 bt y t se y t e x 1 t entao y 1 x Logo 0 y 1 x Utilizando o teorema de Green Mxy y x Nxy x y3 W R Nx My dA 01 0 1 x y3 x dy dx 01 y4 4 x y y 1 x y0 dx 01 1x4 4 x 1x dx 01 1x4 4 x x2 dx 1 2 Elipse rt acos t i bsen t j 0 t 2π para equações paramétricas da elipse são x acos t y bsen t 0 t 2π dx a sen t dy bcos t pelo teorema de Green A 12 c x dy y dx b considerando c como sendo a elipse temos A 12 02π a cos t b cos t b sen ta sen t dt 12 02π ab cos² t ab sen² t dt 12 02π ab cos² t sen² t dt 12 ab 02π dt 12 ab 2π area π ab 10 Fxy 6x 5y i 5x 4y j De acordo com o teorema 3 se Mxy e Nxy são dotadas de derivadas parciais primeiras contínuas numa região aberta conexa D e se b a Mxy dx Nxy dy é independente do caminho em D então Mxyy Nxyx Fxy 6x 5y i 5x 4y j Mxy Nxy Mxyy 5 como Mxyy Nxyx Nxyx 5 é conservativo