Correlação e Regressão Linear de Pearson - UFPI - Análise Estatística

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UFPI CAMPUS PROFª CINOBELINA ELVAS CPCE Bom Jesus PI 2022 Correlação e Regressão Professora Priscila Alves Barroso CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON ρ Associação entre duas variáveis aleatórias Mede o grau de associação linear entre duas variáveis resposta É adimensional não é afetado pela escala das variáveis Exemplo Diâmetro X Peso Y 304 1460 285 1402 290 1423 303 1445 290 1434 295 1435 1768 8599 r 09206 Coeficiente de correlação 1 ρ 1 ρ 0 ρ 0 ρ 1 ρ 1 ρ 0 ρ 0 O teste da hipótese H0 ρXY 0 versus H1 ρXY 0 pode ser feito utilizando a estatística tStudent desde que seja razoável admitir que X e Y tenham distribuição normal Teste da correlação Tabela 2 Classificação dos valores do coeficiente de correlação de Pearson r Coeficiente de correlação r Classificação 00 a 01 Muito baixa 01 a 03 Baixa 03 a 05 Moderada 05 a 07 Alta 07 a 09 Muito alta 09 a 10 Quase perfeita Fonte Hopkins 2000 ALGUMAS FORMAS DE APRESENTAÇÃO Table 2 Simple correlation coefficients r among the carcass and ham traits for harvest at 130 kg below the diagonal and 160 kg above the diagonal HCW kg BT mm LD mm GHW kg THW kg pH Göfo value HIFT mm HOFT mm HCW kg 008 005 085 075 010 009 011 011 BT mm 015 084 003 015 002 001 013 024 LD mm 007 061 008 028 008 002 015 018 GHW kg 075 001 013 1 079 020 005 002 001 THW kg 066 009 015 084 1 014 015 015 006 pH 003 004 009 0 003 1 050 023 001 Göfo value 004 005 007 035 0 005 1 025 014 HIFT mm 007 004 006 001 009 004 020 1 007 HOFT mm 009 011 019 007 004 001 027 015 1 BT backfat thickness GHW gross ham weight LD loin depth HCW hot carcass weight HIFT ham inner layer fat thickness HOFT ham outer layer fat thickness pH pH 24 h postmortem THW trimmed ham weightRange from 0 pale to 100 dark p 005 and p 001 Students ttest CORRELAÇÃO NÃO É CAUSALIDADE ALTO CONSUMO DE SORVETE CORRELAÇÃO ALTO CONSUMO DE PROTETOR SOLAR dsfontes estatisticaoficial Ótimo exemplo da dsfontes Repost dsfontes with makerepost Verão e Estatística estatisticaoficial estatistica estatística estatisticos statistician statistics dados bigdata bioestatística bioestatistica top up follow like data research pesquisa enem math instagood matematica exatas Definição Relação funcional entre variáveis quantitativas Variável independente causa X Variável dependente efeito Y variável que queremos predizer Causa e efeito Doses de auxina x Enraizamento Quantidade de adubo nitrogenado x produção Teor de matéria orgânica x profundidade do solo REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Método Descrever esta relação funcional através de uma equação modelo matemático Aplicar a regressão sempre quando os tratamentos forem compostos de níveis quantitativos do fator de estudo Na experimentação AIB Vol de raiz 19 702 20 689 21 721 22 754 23 78 GRÁFICO DE LINHAS 695 70 705 71 715 72 725 73 735 74 745 19 20 21 22 23 24 695 70 705 71 715 72 725 19 20 21 22 23 24 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 18 68 118 168 218 268 318 Título do Gráfico Linear Quadrática Cúbica Logarítmica Os modelos de regressão polinomiais TABELA 1 Modelos de regressão polinomiais e suas respectivas equações Modelos de Regressão Polinomiais Equações de regressão Polinomial de 1º Grau Linear Y a bX e Polinomial de 2º Grau Quadrática Y a bX cX² e Polinomial de 3º Grau Cúbica Y a bX cX² dX³ e Polinomial de 4º Grau Y a bX cX² dX³ eX⁴ e REGRESSÃO LINEAR em que Yi valor observado da variável dependente a b parâmetros do modelo de regressão linear simples sendo a coeficiente linear ou intercepto b coeficiente angular ou de regressão Xi valor da variável independente ei desvio associado a observação Yi distância vertical entre a observação e o valor estimado pelo modelo Yi a b Xi Y Valores observados Valores estimados a b e1 a ya b FIGURA 4 Representação do ajuste do modelo de regressão linear simples Interpretação do coeficiente a linear a 0 a 0 a 0 O coeficiente a deve ser interpretado da seguinte forma na ausência de x x 0 Y assume o valor de a Os valores assumidos para b devem ser interpretados da seguinte forma A cada variação de 1 unidade em X corresponde a uma variação de b unidades em Y Interpretação do coeficiente b angular Exemplo 01 Suponha que o modelo de regressão linear da produção de grãos de soja em kg em função do teor de nitrogênio dados fictícios Yi 8237 0317 Xi Interpretação do b Exemplo 02 A equação de regressão linear da altura de plantas de moringa em cm em função do teor de Al em solução nutritiva mgL1 foi dados fictícios Yi 13962 04627Xi Interpretação do b em que Xi nível do fator correspondente ao tratamento i Yi média do tratamento i t número de níveis do fator ou número de tratamentos Exemplo Tabela Dados referentes ao diâmetro cm e ao peso do colmo kg de 6 plantas de canadeaçúcar medidas em uma pesquisa Indice i Diâmetro X Peso Y XY 1 304 1460 4438 2 285 1402 3996 3 290 1423 4127 4 303 1445 4378 5 290 1434 4173 6 295 1435 4233 Soma 1768 8599 25345 y a bx y 7363 2366x REGRESSÃO QUADRÁTICA em que Yi valor observado da variável dependente a b parâmetros do modelo de regressão quadratica simples sendo a intercepto b inclinação da parábola após o eixo x c concavidade da parábola c0 para baixo c0 para cima Xi valor da variável independente ei desvio associado a observação Yi distância vertical entre a observação e o valor estimado pelo modelo Obtendo os pontos de mínima ou máxima Obter a primeira derivada da equação quadrática e igualar a zero y 14446 10948x 1775x² R²085 30C 35C y 35C 35 Volumes de água mL Derivada 1a y questionada 10948 355x 0 355x 10948 x 10548 355 x 308 mL Análise de regressão para as variáveis altura a peso da massa seca da parte aérea PMSA b peso da massa seca radicular PMSR de mudas de Barbatimão e Cássia submetidas a diferentes doses de cobre A regressão na ANOVA A soma de quadrados total vai ser decomposta em SQ da regressão relacionada aos níveis quantitativos do fator de estudo tratamentos e SQ do resíduo decompor a SOMA DE QUADRADOS DE TRATAMENTOS em partes devido a MODELOS DE REGRESSÃO que expliquem satisfatoriamente a variação na variável resposta em função dos tratamentos e outra devido aos DESVIOS DA REGRESSÃO Exemplo Suponha uma avaliação do ganho de peso em suínos consumindo rações com concentrações de 0 5 10 15 e 20 de farelo de canola no DBC com 4 repetições Tratamentos concentrações de 0 5 10 15 e 20 Quantificações do farelo de canola na ração Níveis quantitativos Fonte de Variação Graus de liberdade Blocos 3 Concentrações de Farelo de canola 4 Efeito linear 1 Desvios de regressão 2 Erro 9 Total 15 Trosl 7 RL 1 RQ 1 Desvio Reg 5 Regressão na análise de variância experimentos simples Aplicação Exemplo Experimento conduzido no DBC com 4 repetições realizado para avaliar o efeito da adubação nitrogenada 0 100 200 e 300 kgha de Sulfato de Amônio na produção de milho kgparcela Doses de Adubo Blocos Totais I II III IV 0 49 47 52 50 198 100 53 58 52 60 223 200 62 52 74 63 251 300 72 68 58 67 265 Totais 236 225 236 240 937 TABELA 1 Análise de variância da produção de milho kg nas doses de 0 100 200 e 300 kgha de Sulfato de Amônio FV GL SQ QM Fc Blocos 3 3119 1040 Doses de adubo 3 66669 22223 535 Erro PL RA Des 9 37406 4156 Total 15 107194 Significativo a 5 de probabilidade Quali tukey Quonh Teste F para o efeito regressão linear H0 Não existe um efeito linear do fator sobre a variável resposta adubação nitrogenada sobre a produção de milho H 1 Existe um efeito linear do fator sobre a variável resposta Teste F para o efeito regressão quadrático H0 Não existe um efeito quadrático do fator sobre a variável resposta H 1 Existe um efeito quadrático do fator sobre a variável resposta Teste F para desvios de regressão ou falta de ajustamento H0 Não existe falta de ajustamento do modelo H1 Existe falta de ajustamento do modelo Polinômios ortogonais Obtenção da estimativa dos contrastes Na tabela J repetições ou blocos FV GL SQ QM Fcal Tratamento 3 66669 22223 535 RL RQ Desvios da Reg Resíduo 9 37406 4156 Total ANOVA da regressão Yi 198 223 251 265 Soma de quadrados da regressão linear Total de tratamentos 𝑦 𝑅𝐿 𝐶𝑖𝑌ⅈ 𝑆𝑄𝑅𝑙 𝑦𝑅𝐿 2 𝑗 𝐾 Obter a estimativa do contraste Obter a soma de quadrados Soma de quadrados da regressão quadrática Yi 198 223 251 265 Total de tratamentos 𝑦 𝑅𝑄 𝐶𝑖𝑌ⅈ Obter a estimativa do contraste Obter a soma de quadrados 𝑆𝑄𝑅𝑄 𝑦𝑅𝑄 2 𝑗 𝐾 Conclusão existe efeito linear das doses de sulfato de amônio sobre a produção de milho FV GL SQ QM Fcal Tratamento 3 66669 22223 535 RL 1 6555125 RQ 1 75625 Desvios da Reg 1 Resíduo 9 37406 4156 Total SQ Desv Reg SQ tratamento SQ regressão L SQ regressão Q 3615 6555125 75625 3615 1577 01819 ns 0086 ns Regressão em termos de média de tratamento Dose x Total Prod Y 0 198 100 223 200 251 300 265 Dose x Prod Y 0 495 100 5575 200 6275 300 6625 Média de trat Y a bx Produção 49975 005725dose ou Y 49975 005725x Pontos estimados pela regressão 45 50 55 60 65 70 0 50 100 150 200 250 300 350 X 0 y X 100 y X 200 y X 300 y Coeficiente de determinação R² É a proporção da variação na variável resposta Y que é explicada pela regressão SQTrat Obs devese somar todas as somas de quadrados de regressões de grau mais baixo até aquela que determinou o grau da equação Os estimadores dos coeficientes de determinação R2 para alguns modelos de regressão polinomiais são mostrados a seguir 𝑅2 6555125 66669 𝑥 100 9832 A produção de milho segue uma tendência linear de crescimento com o aumento das doses de sulfato de amônio A equação de regressão Prod 49975 005725dose explica 9832 da variação da produção em função das doses de sulfato Um ótimo ajuste Na ausência de sulfato x0 a produção esperada é de 49975 kg por parcela A cada 1khhá de sulfato aplicado esperase um incremento de aproximadamente 0058 kgparcela da produção de milho Posso prever com 98 de ajuste qualquer valor de produção utilizando entre 0 e 300 kg de sulfato de amônio y 00573x 49975 R² 09832 45 50 55 60 65 70 0 50 100 150 200 250 300 350 Regressão na análise de variância experimentos fatoriais Dados fictícios de um fatorial 2x4 com duas variedades V1 e V2 e 4 níveis de adubação A1 0 gkg A2 100 gkg A3 200 gkg A4 300 gkg Produção kg O quadro auxiliar que relaciona os níveis de V com os níveis de A é 4 A0 A1 A2 A3 TOTAIS DE V V1 713 794 756 1063 3326 V2 1457 963 818 1281 4519 TOTAIS DE A 2170 1757 1574 2344 7845 QUADRO 734 Análise de variância dos dados de produção de acordo com o esquema fatorial 2x4 CAUSA DA VARIAÇÃO GL SQ QM F Adubações A 3 47719 15906 725 Variedades V 1 44476 44476 2026 Interação V x A 3 34707 11569 527 Tratamentos 7 126902 Blocos 3 01312 00437 020NS Resíduo 21 46086 02195 Total 31 174300 Valores de F da tabela Variedades V e Interação V x A 3 x 21 gl 5 307 1 487 Adubações A 1 x 21 gl 5 432 1 802 FV GL SQ QM Fcal A d V1 3 18685 06228 283 ns A d V2 3 63741 21247 967 V d A0 1 69192 69192 3152 V d A1 1 03570 03570 16264 ns V d A2 1 004805 004805 02189 ns V d A3 1 005940 005940 27063 ns Resíduo 21 02195 Desdobramento da Interação Regressão para A d V2 Fv GL SQ QM Fcal A d V2 3 63741 21247 967 RL RQ Desvios Resíduo 21 02195 Adubação x Prod d V2 Y R L R Q 0 1457 3 1 100 963 1 1 200 818 1 1 300 1281 3 1 Soma de quadrados da regressão linear 𝑦 𝑅𝐿 𝐶𝑖𝑌ⅈ 𝑦 𝑅𝐿 3 1457 1 963 1 818 3 1281 𝑦 𝑅𝐿 673 𝑆𝑄𝑅𝑙 𝑦𝑅𝐿 2 𝑗 𝐾 𝑆𝑄𝑅𝑙 673 2 4 20 05661 Soma de quadrados da regressão quadrática 𝑦 𝑅𝑄 𝐶𝑖𝑌ⅈ 𝑦 𝑅𝑄 1 1457 1 963 1 818 1 1281 Adubação x Prod d V2 Y R L R Q 0 1457 3 1 100 963 1 1 200 818 1 1 300 1281 3 1 𝑦 𝑅𝑄 957 𝑆𝑄𝑅𝑄 𝑦𝑅𝑄 2 𝑗 𝐾 𝑆𝑄𝑅𝑄 957 2 4 4 57240 Regressão para A d V2 Fv GL SQ QM Fcal A d V2 3 63741 21247 967 RL 1 05661 RQ 1 57240 Desvios 1 Resíduo 21 02195 SQ Desv Reg SQ desdobramento SQ regressão L SQ regressão Q 0084 05661 57240 0084 257 ns 2607 038 ns Conclusão existe efeito QUADRÁTICO das doses de ADUBAÇÃO sobre a produção DA VARIEDADE 2 Adubação x Prod d V2 Y 0 364 100 241 200 204 300 320 Regressão em termos de média de tratamento 15 2 25 3 35 4 0 50 100 150 200 250 300 350 Y a bx cx² Y 36735 0019615x 0000059x² X 0 y 367 X 100 y 230 X 200 y 214 X 300 y 316 𝑅2 𝑆𝑄𝑅𝐿 𝑆𝑄𝑅𝑄 𝑆𝑄𝐴𝑑 𝑣2 𝑅2 0566157240 63741 09868 Y 36735 0019615x 0000059x² Ponto de mínima 15 2 25 3 35 4 0 50 100 150 200 250 300 350 Y 36735 0019615x 0000059x² R² 9868 A produção da variedade 2 segue uma tendência quadrática de crescimento com o aumento das doses de adubação A equação de regressão explica 9868 da variação da produção em função das doses de adubação Um ótimo ajuste Na ausência de adubo x0 a produção esperada é de 36735 kg O incremento de MS só ocorre após a dose de 16623 gkg 0 gkg 100 gkg 200 gkg 300 gkg V1 178 198 189 265 Y 20775 V2 364 241 204 320 Y 36735 0019615x 0000059x² MÉDIAS FV GL SQ QM Fcal A d V1 3 18685 06228 283 ns A d V2 3 63741 21247 967 V d A0 1 69192 69192 3152 V d A1 1 03570 03570 16264 ns V d A2 1 004805 004805 02189 ns V d A3 1 005940 005940 27063 ns Resíduo 21 02195 See you later