Estatística Experimental R

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro UFRRJ Disciplina Estatıstica Experimental Professor Renato Nunes Prova Pratica III 1 ENTREGA DA PROVA ATE AS 10 H DO DIA 01072025 2 APOS ESSE HORARIO NAO CONSIDERAREI 3 NOTACOES SAO IMPORTANTISSIMAS TIRAREI PONTO DISSO 4 A PROVA PODE SER FEITA EM GRUPO DE NO MAXIMO 5 PESSOAS QUESTAO 1 100 RESOLVER APENAS NO R Num experimento simulado de alimen tacao de poedeirasutilizouse cinco tipos de racoes a base de diferentes variedades de milho tratamentos e quatro repeticoes O delineamento utilizado foi blocos ao acaso em que a cons tituicao dos blocos foi levando em consideracao os pesos das poedeiras Portanto num bloco colocouse as melhores poedeiras no outro as de segunda escolha e assim por diante Na Tabela a seguir sao apresentados os numeros medios de ovos por poedeira durante o perıodo total de postura nos diferentes tratamentos e blocos Tabela 1 Numero medio de ovos por ave nos respectivos tratamentos e blocos Blocos Tratamentos Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 TOTAIS 1 2125 2004 1809 1903 7841 2 2203 2184 2196 2225 8808 3 2107 2056 2004 1858 8025 4 2304 2256 2240 2231 9031 5 2000 1941 1807 1900 7648 Ao nıvel de significˆancia de 5 faca as conclusoes cabıveis a este experimento QUESTAO 2 100 Os dados a seguir sao resultado de uma investigacao do efeito da tem peratura de reacao x na porcentagem de conversao de um processo quımico yVeja Myers e Montgomery 2002 1 Observacao Temperatura Conversao 0Cx y 1 200 62 2 250 78 3 200 82 4 250 80 5 180 48 6 205 78 7 225 65 8 225 74 9 225 76 10 225 79 11 225 83 12 225 81 21 Qual o modelo de regressao linear simples ajustado 22 Quais sao as hipoteses associadas a analise de variˆancia Usando um teste estatıstico qual a decisao que vocˆe deve tomar em relacao a essas hipoteses considerando um nıvel de significˆancia de 5 23 Para esse experimento e possıvel fazer o teste de falta de ajuste Justifique Caso seja possıvel fazer o teste de falta de ajuste quais sao as hipoteses associadas a esse teste Com base em um teste estatıstico qual decisao vocˆe deve tomar em relacao a essas hipoteses considerando um nıvel de significˆancia de 5 24 Calcule o coeficiente de determinacao ORIENTACOES 1 Os itens 21 e 22 devem ser feitos no R e manualmente 2 Os itens 23 e 24 devem ser feitos apenas no R QUESTAO 3 100 Os dados da Tabela 2 referemse a producoes de milho Y em kgparcela de um experimento casualizado em blocos de adubacao de milho com diferentes doses X de P2O5 Tabela 2 Producao de milho em kgparcela de um experimento de adubacao de milho BLOCOS TRATAMENTOS I II III TOTAIS 1 0 850 860 840 2550 2 25 945 960 958 2863 3 50 995 980 1040 3015 4 75 930 960 905 2795 5 100 830 800 785 2415 TOTAL 4550 4560 4528 13638 Fonte Dados Fictıcios a Verifique se ha diferenca significativa entre as doses de P2O5 Use α 5 2 b Caso tenha diferenca entre as doses obtenha a equacao de regressao polinomial mais adequada c Para esse exercıcio e possıvel determinar a dose que maximiza a producao Se sim qual e essa dose e qual a producao maxima esperada ORIENTACAO O item a devera ser feito no R e tambem manualmente o item b devera ser feito apenas no R o item c devera ser feito apenas manualmente 3 Prova Prática III Resolução Neste experimento foi utilizado o teste de análise de variância ANOVA para delineamento em blocos ao acaso com o objetivo de avaliar se diferentes tipos de ração à base de milho influenciam significativamente a produção de ovos por poedeira Além disso buscouse controlar a variabilidade entre as aves por meio da formação de blocos com base em seus pesos a fim de reduzir o erro experimental Primeiramente vamos analisar se há diferença significativa nos tratamentos realizados as hipóteses do teste foram 𝐻0 𝐴𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑎çã𝑜 𝐻1 𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 Como o pvalor do teste para o tratamento foi menor que 005 com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada isso significa que existe pelo menos uma média de tratamentos que diferencie das demais indicado que o tipo de ração influencia a produção média de ovos Já as hipóteses para os blocos são 𝐻0 𝐴𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑠 𝐻1 𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 Analogamente como o pvalor do teste para os blocos foi menor que 005 com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada ou seja os blocos também apresentaram efeito significativo o que válida a escolha do delineamento em blocos ao acaso como forma de controlar a heterogeneidade das poedeiras Resolução 21 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜𝑖 𝛽0 𝛽1 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜖𝑖 𝑋 200 250 200 250 180 205 225 225 225 225 225 225 12 2635 12 2195833 𝑌 62 78 82 80 48 78 65 74 76 79 83 81 12 886 12 738333 𝑋𝑖 𝑌𝑖 12 𝑖1 12400 19500 16400 20000 8640 15990 14625 16650 17100 17775 18675 18225 195980 𝑋𝑖 2 12 𝑖1 40000 62500 4000 62500 32400 42025 50625 50625 50625 50625 50625 50625 583175 𝛽1 𝑋𝑖 𝑌𝑖 12 𝑖1 𝑛 𝑋 𝑌 𝑋𝑖 2 12 𝑖1 𝑛 𝑋2 195980 12 2195833 738333 583175 12 21958332 03125 𝛽0 𝑌 𝛽1 𝑋 738333 03125 2195833 52073 Modelo 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜𝑖 52073 03125 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜖𝑖 No R 22 Vamos utilizar o teste F para verificar se o modelo é estatisticamente significativo as hipóteses do teste são 𝐻0 𝛽1 0 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐻1 𝛽1 0 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 De acordo com o output do R como o pvalor do teste F foi menor que 005 com 5 de significância a hipóteses nula é rejeitada indicando que há evidências estatísticas para afirmar que existe uma relação linear significativa entre a temperatura e a conversão Portanto a variável temperatura é um preditor relevante 𝑆𝑄𝑇 𝑌𝑖 7383332 12 𝑖1 1400278 173611 666944 380278 6673611 173611 780278 00278 46944 266944 840278 513611 11926667 Valor estimados pelo modelo Obs 𝑌 1 677130 2 833394 3 677130 4 833394 5 614624 6 692756 7 755262 8 755262 9 755262 10 755262 11 755262 12 755262 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑌𝑖 738333 2 12 𝑖1 374587 903655 374587 903655 1530396 207727 28658 28658 28658 28658 28658 28658 4476553 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 11916667 4466553 7450114 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑔𝑙 4476553 1 4476553 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑔𝑙 7450114 10 745011 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠 59953 ANOVA do modelo de regressão linear simples gl SQ MQ F Regressão 1 4466553 4466553 59953 Resíduo 10 7450114 745011 Total 11 11916667 Valor F tabelado para um nível de significância de 5 𝐹095110 496 Como o F calculado foi maior que o F tabelado com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada ou seja confirma a hipótese de que o modelo é significativo logo as variações da temperatura são capazes de explicar as variações da conversão 23 Sim é possível fazer o teste de falta de ajuste quando existem repetições para alguns valores de x o que ocorre neste caso Por exemplo a temperatura 225 aparece 6 vezes 200 aparece 2 vezes e 250 também aparece 2 vezes As hipóteses do teste são 𝐻0 𝑂 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 é 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝐻1 𝑂 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛ã𝑜 é 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜 ℎá 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 Como o pvalor do teste foi maior que 005 com 5 de significância não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula ou seja podemos considerar que o modelo linear simples ajustado é apropriado para descrever a relação entre a temperatura e a conversão no processo químico analisado 24 𝑅2 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑇 4466553 11916667 03748 Com isso podemos considerar que cerca de 3748 das variações da conversão podem ser explicadas pelas variações da temperatura Resolução a Considerando um nível de significância de 5 temse que o pvalor do teste para os tratamentos foi menor que 005 sendo assim a hipótese nula é rejeitada indicando que há diferença significativa entre as médias de tratamentos Já como o pvalor dos blocos foi maior que 005 nesse caso não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula indicando que não tem diferença significativa entre os blocos MANUALMENTE Média Geral 𝑋 𝑌𝑖 15 𝑖1 15 13638 15 9092 Calculando a SQT 𝑋𝑖 2 15 𝑖1 852 9452 9952 932 832 862 962 982 962 802 842 9582 1042 9052 7852 12482764 𝑆𝑄𝑇 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖1 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 2 𝑛 12482764 136382 15 8309440 Média de tratamentos 𝑋0 255 3 85 𝑋25 2863 3 54333 𝑋50 3015 3 1005 𝑋75 2795 3 931667 𝑋100 2415 3 805 Calculando a soma de quadrados dos tratamentos 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑘 𝑋𝑖 𝑋 2 5 𝑖1 3 350464 203702 917764 50475 1085764 3 2608169 7824507 Média dos Blocos 𝑋1 455 5 91 𝑋2 456 5 912 𝑋3 4528 5 9056 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑋𝑖 𝑋 2 3 𝑖1 5 00064 00784 01296 5 04144 10720 Com isso eu tenho a seguinte ANOVA Fonte da variação gl SQ MQ F F crítico Tratamentos 4 7824507 1956127 329999 384 Blocos 2 10720 0536 00904 446 Erro 8 474213 5927667 Total 14 8309440 Considerando um nível de significância de 5 como o F calculado é maior que o F tabelado a hipótese nula de que as médias dos tratamentos é rejeitada indicando que existe pelo menos uma diferença significativa entre um dos tratamentos Já o F calculado dos blocos foi menor que o F tabelado não rejeitando a hipótese nula logo não há evidência para afirmar que existe diferença significativa entre os blocos b Com base na tendência dos dados foi ajustado um modelo de regressão polinomial com os níveis das doses como variável numérica A comparação entre os modelos indicou que o modelo quadrático foi o mais adequado para descrever a relação entre dose de P₂O₅ e produção de milho com significância estatística e melhor ajuste em relação ao modelo linear A equação ajustada foi 𝑌𝑖 848019 06246 𝑑𝑜𝑠𝑒 00067 𝑑𝑜𝑠𝑒2 𝜖𝑖 c A dose ótima máxima é dada por 𝑥 𝛽1 2 𝛽2 06246 2 00067 466354 𝑦 848019 06246 466354 00067 4663542 Como a equação ajustada é uma parábola com concavidade voltada para baixo foi possível determinar a dose que maximiza a produção Essa dose foi de aproximadamente 466354 kgha de P₂O₅ resultando em uma produção máxima estimada de 993672 kgparcela Prova Prática III Resolução Neste experimento foi utilizado o teste de análise de variância ANOVA para delineamento em blocos ao acaso com o objetivo de avaliar se diferentes tipos de ração à base de milho influenciam significativamente a produção de ovos por poedeira Além disso buscouse controlar a variabilidade entre as aves por meio da formação de blocos com base em seus pesos a fim de reduzir o erro experimental Primeiramente vamos analisar se há diferença significativa nos tratamentos realizados as hipóteses do teste foram H 0 Asmédiasde produçãode ovos sãoiguais para todosostiposderação H 1 Pelo menosuma dasmédias de produçãodeovos difereentre ostratamentos Como o pvalor do teste para o tratamento foi menor que 005 com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada isso significa que existe pelo menos uma média de tratamentos que diferencie das demais indicado que o tipo de ração influencia a produção média de ovos Já as hipóteses para os blocos são H 0 Asmédias de produçãodeovos sãoiguais entreos blocos pesos dasaves H 1 Pelomenosumbloco apresenta médiadiferente Analogamente como o pvalor do teste para os blocos foi menor que 005 com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada ou seja os blocos também apresentaram efeito significativo o que válida a escolha do delineamento em blocos ao acaso como forma de controlar a heterogeneidade das poedeiras Resolução 21 Conversã oiβ0β1Temperaturaϵ i X200250200250180205225225225225225225 12 2635 12 2195833 Y627882804878657476798381 12 886 12 738333 i1 12 XiY i12400195001640020000864015990146251665017100177751867518225195980 i1 12 Xi 240000625004000625003240042025506255062550625506255062550625583175 β1 i1 12 XiY in X Y i1 12 Xi 2n X 2 195980122195833738333 583175122195833 2 03125 β0Y β1 X73833303125219583352073 Modelo Conversã oi5207303125Temperaturaϵ i No R 22 Vamos utilizar o teste F para verificar se o modelo é estatisticamente significativo as hipóteses do teste são H0 β10omodelo nãoé significativo H1 β10omodeloé significativo De acordo com o output do R como o pvalor do teste F foi menor que 005 com 5 de significância a hipóteses nula é rejeitada indicando que há evidências estatísticas para afirmar que existe uma relação linear significativa entre a temperatura e a conversão Portanto a variável temperatura é um preditor relevante SQT i1 12 Y i738333 214002781736116669443802786673611173611780278002784694426694484027851361111926667 Valor estimados pelo modelo Obs Y 1 677130 2 833394 3 677130 4 833394 5 614624 6 692756 7 755262 8 755262 9 755262 10 755262 11 755262 12 755262 SQReg i1 12 Y i738333 237458790365537458790365515303962077272865828658286582865828658286584476553 SQResSQTSQReg1191666744665537450114 QMReg SQReg gl 4476553 1 4476553 QMResSQRes gl 7450114 10 745011 FcalculadoQMRes QMRes59953 ANOVA do modelo de regressão linear simples gl SQ MQ F Regressão 1 446655 3 446655 3 59953 Resíduo 10 745011 4 745011 Total 11 119166 67 Valor F tabelado para um nível de significância de 5 F 0 95110 4 96 Como o F calculado foi maior que o F tabelado com 5 de significância a hipótese nula é rejeitada ou seja confirma a hipótese de que o modelo é significativo logo as variações da temperatura são capazes de explicar as variações da conversão 23 Sim é possível fazer o teste de falta de ajuste quando existem repetições para alguns valores de x o que ocorre neste caso Por exemplo a temperatura 225 aparece 6 vezes 200 aparece 2 vezes e 250 também aparece 2 vezes As hipóteses do teste são H 0O modelolinear é apropriadonãohá faltadeajuste H 1O modelolinear nãoé apropriadoháfalta deajuste Como o pvalor do teste foi maior que 005 com 5 de significância não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula ou seja podemos considerar que o modelo linear simples ajustado é apropriado para descrever a relação entre a temperatura e a conversão no processo químico analisado 24 R 2 SQReg SQT 4466553 1191666703748 Com isso podemos considerar que cerca de 3748 das variações da conversão podem ser explicadas pelas variações da temperatura Resolução a Considerando um nível de significância de 5 temse que o pvalor do teste para os tratamentos foi menor que 005 sendo assim a hipótese nula é rejeitada indicando que há diferença significativa entre as médias de tratamentos Já como o pvalor dos blocos foi maior que 005 nesse caso não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula indicando que não tem diferença significativa entre os blocos MANUALMENTE Média Geral X i1 15 Y i 15 13638 15 9092 Calculando a SQT i1 15 Xi 285 294 5 2995 293 283 286 296 298 296 280 284 2958 2104 2905 2785 212482764 SQT i1 n Xi 2 i1 n Xi 2 n 12482764 1363 8 2 15 8309440 Média de tratamentos X 0255 3 85 X252863 3 54333 X503015 3 1005 X752795 3 931667 X1002415 3 805 Calculando a soma de quadrados dos tratamentos SQTratk i1 5 Xi X 23 350464203702917764504751085764 326081697824507 Média dos Blocos X1455 5 91 X2456 5 912 X34528 5 9056 SQBlocosn i1 3 Xi X 250006400784012965 0414410720 Com isso eu tenho a seguinte ANOVA Fonte da variação gl SQ MQ F F crítico Tratamentos 4 782450 7 195612 7 329999 384 Blocos 2 10720 0536 00904 446 Erro 8 474213 592766 7 Total 14 830944 0 Considerando um nível de significância de 5 como o F calculado é maior que o F tabelado a hipótese nula de que as médias dos tratamentos é rejeitada indicando que existe pelo menos uma diferença significativa entre um dos tratamentos Já o F calculado dos blocos foi menor que o F tabelado não rejeitando a hipótese nula logo não há evidência para afirmar que existe diferença significativa entre os blocos b Com base na tendência dos dados foi ajustado um modelo de regressão polinomial com os níveis das doses como variável numérica A comparação entre os modelos indicou que o modelo quadrático foi o mais adequado para descrever a relação entre dose de P O e produção de milho com significância estatística e melhor ajuste em relação ao ₂ ₅ modelo linear A equação ajustada foi Y i84801906246dose00067 dose 2ϵ i c A dose ótima máxima é dada por x β1 2β2 06246 200067 466354 y8480190624646635400067466354 2 Como a equação ajustada é uma parábola com concavidade voltada para baixo foi possível determinar a dose que maximiza a produção Essa dose foi de aproximadamente 466354 kgha de P O resultando em uma produção máxima ₂ ₅ estimada de 993672 kgparcela