Corrigir uma Prova de Cálculo 1

IESC FACULDADE GUARAI ENGENHARIA Aluno 239885 MIKAEL COSTA VARAO Componente Curricular CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor es Leticia Silva Cardoso 202201 Periodo 1 Període Tuma 20221 ENGC 01 1985 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ENGC 01 Data 26042022 ENG 03 Avaliao I Calculo Diferencial e Integral 1 CA0RNO DE QUESTOES 001 1a Questão Se os valores de f x puderem ser tomados tão próximos quanto quisermos de L desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a então escreveremos que deve ser lido como o limite de fx com x tendendo a a é L ou fx tende a L quan do x tende a a ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Volume I 8 Ed Porto Alegre Bookman 2007 Aplique as definições de limita de funções e resolva os limites a seguir lim1x2 x2x6 x2 5 2 x 1 x21 x1 3 x 4 x2 4 x lim 9t 4 t9 3 t 2a Questão Se os valores de f x puderem ser tomados tão próximos quanto quisermos de L desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas não iguais a a então escreveremos que deve ser lido como o limite de fx com x tendendo a a é L ou fx tende a L quan do x tende a a ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Volume I 8 Ed Porto Alegre Bookman 2007 Considerando a definição de limite dada anteriormente analise as afirmações a seguir I lim x2 x2 7x10 x2 4 3 4 II lim x3 x2 9 x3 6 III lim x0 2x2 4 x 4 E CORRETO afirmar que apenas a I e II são verdadeiras b II e III são verdadeiras c I e III são verdadeirasI e III são verdadeiras X III é verdadeira e é verdadeira 3a Questão No estudo de derivadas existem algumas regra de diferenciação como por exemplo derivada de uma constante derivada de função potência regra do produto regra do quociente e entre outras Para resolver a questão a seguir aplique as definições de derivadas de funções e associe as duas colunas 1fx 4x3 3x2 7 2fx 3x4 4x2 5 3fx 4x2 2x 1 4fx 1 x3 Calculando as derivadas temos 2 f x 12x3 8x 2 f x 3x4 4 fx 12x2 6x 3 fx 24x2 STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 A sequência correta das derivadas é a 2 4 1 3 b 2 4 3 1 c 3 4 1 3 d 4 2 3 1 e 3 1 4 2 4a Questão Considere as derivadas das funções a seguir com suas respectivas soluções I fx 5x 4x2 logo a derivada f2 11 II fx x2 2x logo a derivada f1 0 III fx 5x2 10x logo a derivada f3 20 Avalie em V ou F as afirmações I II e III a seguir Fonte STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 a V F e V b V V e V c F F e V d V F e F e V V e V 5a Questão Se g for derivável em x e f for derivável em gx então a função composta Ffg definida por Fx fgx será derivável em x e F será dada pelo produto Fx fgxgx Considerando a definição de derivada de uma função composta encontre a derivada da função y sensensenx Y CosSexCosx STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 6a Questão As vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas Por exemplo considere o comportamento da função f x 1x para os valores de x perto de 0 E evidente que à medida que tomamos os valores de x cada vez mais próximos de 0 pela direita os valores de f x 1x serão positivos e crescerão sem cota e à medida que tomarmos os valores de x cada vez mais próximos de 0 pela esquerda os valores de f x 1x serão negativos e decrescerão sem cota ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Volume I 8 Ed Porto Alegre Bookman 2007 Considerando a definição de limite infinito resolva o limite infinito a seguir limx 5x5 3x2 2x 1 x3 O valor do é c 5 d 7 e 3 7a Questão Se os valores de f x puderem ser tomados tão próximos de L quanto quisermos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas maiores do que a então escreveremos lim xa fx L e se os valores de f x puderem ser tomados tão próximos de L quanto quisermos desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a mas menores do que a então escreveremos lim xa fx L Para o limite existir os limites laterais devem ser iguais Considerando a definição dada anteriormente faça uma análise do gráfico da função fx a seguir ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Volume I 8 Ed Porto Alegre Bookman 2007 Agora assinale a alternativa correta a respeito do limite do gráfico lim fx 3 a x 0 lim fx 3 b x 3 lim fx 3 c x 3 lim fx 5 d x 3 f33 8a Questão Se g for derivável em x e f for derivável em gx então a função composta Ffg definida por Fx fgx será derivável em x e F será dada pelo produto Fx falkgx Considerando a definição de derivada de função composta Se fx 253x2 para todo x real então f 5 é igual a STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 12 b 1 c 32 d 52 e 5 são as definições de derivadas de Funções Trigonométricas e associe as duas colunas y senx 10tagx y Ncos 3 y 2 tgx senx 4 y x² Após aplicar as definições e efetuar o cálculo das derivadas temos 4 coxx²2xsenxx 4 2 3t²cos t1 sent 7 2tgxxsec²x2tgx² 1 cosx10sec²x STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 A sequência correta dos resultados dessas derivadas é a 1 3 4 2 b 3 2 4 1 c 3 2 1 4 d 4 2 3 1 e 3 1 4 2 10ª Questão Considerando as derivadas de funções trigonométricas e suas definições derive y 4xtanx em relação a x e marque a alternativa correta correspondente a essa derivada Fonte STEWART J Cálculo v 1 5 Ed São Paulo Thomson Learning 2015 a 4 x tanx b 4sec2x4tanx c 4xcossec2x4cotanx d 4x sec2x4cossecx e 4x sec2x4tanx Questão 1 1 lim x² x 6 x 2 x 2 Ao aplicar o limite observamos que há uma indeterminação 00 Precisamos eliminar isso lim x 2 x 2x 3 x 2 lim x 2 x 3 Aplicando o limite lim x 2 x 3 2 3 5 2 lim x² 1 x 1 x 1 Temos o mesmo problema anterior 00 Para isso reescreveremos o numerador da seguinte forma lim x 1 x 1x 1 x 1 lim x 1 x 1 Logo lim x 1 x 1 1 1 2 3 lim x² 4 x 4 x Não temos problemas com indeterminação Basta aplicar diretamente o limite lim x 4 x² 4 x 4² 4 4 16 4 4 20 4 5 4 lim 9 t t 9 3 sqrtt Temos a mesma indeterminação 00 Para resolver isso iremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador lim t 9 9 t3 sqrtt 3 sqrtt3 sqrtt lim t 9 9 t3 sqrtt 9 t lim t 9 3 sqrtt Logo lim t 9 3 sqrtt 3 sqrt9 3 3 6 Questão 2 I lim x² 7x 10 x 2 x² 4 x 2x 5 Temos um problema que é ao aplicar o limite temos 00 Para nos livrarmos dessa indeterminação faremos o seguinte lim x 2 x 2x 5 x 2x 2 lim x 2 x 5 x 2 2 5 2 2 3 4 CORRETA II lim x² 9 x 3 x 3 Mesmo problema anterior Podemos resolver da seguinte forma lim x 3 x 3x 3 x 3 lim x 3 x 3 3 3 6 CORRETO III lim x 0 2 x² 4 x Indeterminação 00 Para resolver isso faremos o seguinte lim x0 4 4x x2 4x lim x0 4x x2x lim x0 4 xxx lim x0 4 x 4 0 4 INCORRETO Resposta a I e II são verdadeiras 1 fx 4x3 3x2 7 Derivada fx 12x2 6x 2 fx 3x4 4x2 5 Derivada fx 12x3 8x 3 fx 4x22x Derivada fx 8x2x 4x22 16x2 8x2 24x2 4 fx 1x3 x3 Derivada fx 3x4 3x4 sequência correta a I fx 5 8x f2 5 16 11 V II fx 2x 2 f1 2 2 0 V III fx 10x 10 f3 30 10 20 V Resposta e V V e V 5 A derivada da função yx sensensenx será yx cossensenxcossenxcosx 6 Temos o seguinte limite lim x 5x3 3x2 2x 1x3 Algo que possamos fazer nesse caso é dividir o denominador e numerador por x3 Dessa modo temos o seguinte lim x 5x3 3x2 2x 1x3 x3x3 lim x 5 3x 2x2 1x3 Sabemos que lim x0 1x 0 Logo lim x 5 3x 2x2 1x3 5 O resultado é 5 que é a letra c 7 Fazendo todos os limites observamos que apenas a alternativa a está correta Resposta a o limite com x0 temos que fx 3 lim x0 fx 3 8 Derivando a função temos fx 12 25 3x2126x fx 12 6x25 3x212 Daqui fazendo x 5 f5 12 6525 35212 12 30 100 1510 32 A resposta é c 32 9 Realizei a derivada diretamente 1 y cosx 10 sec2x 2 y 3t2 cot t3 sin t 3 y sec2 x 4 y cosxx2 2 sinxx3 cosxx2 2x sinxx4 A sequência correta é d 4 2 3 1 10 Sendo a função y 4x tanx a sua derivada é y 4 tanx x sec2x y 4 tanx 4x sec2 x Logo a resposta é a letra b