Derivadas Exerc

y u sinv yu sinv yv u cosv Aplicando a Regra da Cadeia zu zx xu zy yu zu 2xx² y² cosv 2yx² y² sinv Substituindo x u cosv y u sinv x² y² u² zu 2u cosvu² cosv 2u sinvu² sinv 2u cos²v sin²v 2u zu 2u Agora zv zx xv zy yv zv 2xx² y² u sinv 2yx² y² u cosv Substituindo 2u cosvu² u sinv 2u sinvu² u cosv 2 cosv sinv 2 sinv cosv 0 zv 0 Calculo 2 Questao 1 Dada a funcao z lnx2 y2 com x u cosv e y u sinv queremos calcular z u e z v usando a Regra da Cadeia Letra a A funcao z depende de x e y que por sua vez dependem de u e v O diagrama de arvore e z u z x x u x v z y y u y v Regra da cadeia z u z x x u z y z u z v z x x v z y y v Letra b Calculando z x e z y z lnx2 y2 z x 2x x2 y2 z y 2y x2 y2 Derivadas de x e y x u cosv x u cosv x v u sinv 1 Questão 2 Seja a função Tx y z ex² 3y² 9z² onde T representa a temperatura em graus Celsius Vamos calcular as informações pedidas no ponto P 3 2 1 a Derivada direcional na direção de v 2 2 1 A derivada direcional é dada por DũT T ũ Calculamos o gradiente da função T Tx Ty Tz 2x 6y 18z ex² 3y² 9z² No ponto 3 2 1 temos x² 3y² 9z² 9 12 9 30 e30 T3 2 1 6 12 18 e30 Calculamos o vetor unitário na direção de v 2 2 1 v 2² 2² 1² 9 3 ũ 13 2 2 1 Agora calculamos o produto escalar DũT 6 12 18 e30 13 2 2 1 e30 6 23 12 23 18 13 e30 12 24 183 18 e30 DũT 18 e30 b Direção de maior crescimento da temperatura A direção de maior crescimento é dada pelo vetor gradiente no ponto Direção de maior crescimento T3 2 1 6 12 18 e30 c Taxa máxima de crescimento da temperatura A taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente T 6² 12² 18² e30 36 144 324 e30 504 e30 2 126 e30 Taxa máxima 2 126 e30 Questão 3 a A derivada parcial fx x₀ y₀ representa a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico da função z fx y com o plano y y₀ ou seja a variação da função em relação a x mantendo y fixo Analogamente fy x₀ y₀ representa a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico com o plano x x₀ ou seja a variação em relação a y com x fixo Essas derivadas fornecem as direções principais de variação local de fx y e juntas compõem os coeficientes angulares do plano tangente ao gráfico da função b Seja fxy 2x² y² e o ponto dado P 1 1 3 A derivada parcial de f em relação a x é fx ddx2x² y² 122x² y² 4x 2x2x² y² fx11 212 1² 1² 23 A derivada parcial de f em relação a y é fy ddy2x² y² 122x² y² 2y y2x² y² fy11 12 1² 1² 13 A equação do plano tangente é z fx₀y₀ fx x₀y₀x x₀ fy x₀y₀y y₀ Substituindo x₀ 1 y₀ 1 f11 3 z 3 23 x 1 13 y 1 z 3 23 x 1 13 y 1