Econometria I - Cronograma 2025 e Regressão Linear Simples

Econometria I Prof Hélio Radke Bittencourt Prof Augusto Mussi Alvim Cronograma previsto 20252 Aula Data Conteúdo Professor 1 19Ago Apresentação da disciplina Revisão Probabilidade e Estatística Augusto Hélio 2 X 26Ago Regressão simples Escolha de formas funcionais Hélio 3 02Set Regressão linear múltipla Métodos de estimação e inferência Hélio 4 09Set Regressão linear múltipla Métodos de estimação e inferência Hélio 5 16Set Aplicações de regressão múltipla Augusto 6 23Set Problemas em regressão Hélio 7 X 30Set Problemas em regressão Revisão Hélio 8 07Out Prova P1 Hélio 14Out Não haverá aula 9 21Out Equações simultâneas e variáveis instrumentais Augusto 10 28Out Variáveis dummies Hélio 11 04Nov Apresentação dos temas dos artigos científicos relacionados Augusto 12 11Nov Variáveisresposta binárias Hélio 13 18Nov Variáveisresposta binárias e Revisão Hélio 14 X 25Nov Prova P2 Hélio 15 02Dez Apresentação dos artigos Augusto Hélio X Laboratório de Informática não garantido Econometria I 2 Regressão Linear Simples Parte inferencial Nosso objetivo com a inclusão de X é buscar explicações para a variabilidade de Y 𝜎 𝑌 2 𝑖1 𝑛 𝑦𝑖 𝑦 ² 𝑛 𝑆𝑄 𝑦 𝑛 n i i i n i i n i i Erro g total y y y y y y SQ SQ SQ 1 2 1 2 1 2 Re ˆ ˆ Y ou Total Regressão Resíduo SQtotal SQReg SQRes Econometria I 2 Regressão Linear Simples Parte inferencial Causa de variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio F Valor de p Significância Modelo de regressão 1 SQReg SQReg QMRegQMRes Erro ou resíduo n2 SQErro SQRes n2 Total n1 SQtotal Teste F 𝐻𝑜 𝛽0 𝐻 1 𝛽0 𝐹 𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑄𝑀 𝑅𝑒𝑔 𝑄𝑀 𝑅𝑒𝑠 𝐹1𝑛 2 No caso da Regressão Simples o teste t de Student específico é equivalente ao teste F 2 1 2 2 n n F t Econometria I 2 Regressão Linear Simples Parte inferencial Medidas de ajuste R múltiplo correlação entre X e Y R² ou coeficiente de determinação Erropadrão de Regressão 𝑅2 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆 𝐸𝑄𝑀 𝑅𝑒𝑠 𝑅 𝑋𝑌 Econometria I 2 Regressão Linear Simples Parte inferencial Econometria I 2 Regressão Linear Simples Exemplo DENATRAN Ano X Automóveis Y 2001 852585 2002 895547 2003 936467 2004 976755 2005 1021596 2006 1062375 2007 1115415 2008 1183077 2009 1255285 2010 1334960 2011 1423439 Econometria I 2 Regressão Linear Simples 21 Outras formas funcionais linearizáveis Devemos rodar a regressão linear entre lnY e X Crescente a taxas crescentes Econometria I 2 Regressão Linear Simples 21 Outras formas funcionais linearizáveis pg 37 Devemos rodar a regressão linear entre lnY e lnX Crescente a taxas decrescentes Econometria I 2 Regressão Linear Simples Exemplo LINEARIZÁVEIS Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla pg 38 31 Estimação por MQO e pressupostos Uma única variável dependente Y e um conjunto de variáveis independentes X1 X2 Xp i X1i Xpi yi 1 x11 xp1 y1 2 x12 xp2 y2 n x1n xpn yn i pi p i i e b x b x a y 1 1 pi p i i i b x b x a y 1 1 ˆ Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Colocando na forma matricial temos que i pi p i i e b x b x a y 1 1 XB Y ε XB Y ˆ ˆ Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Colocando na forma matricial temos que i pi p i i e b x b x a y 1 1 XB Y ε XB Y ˆ ˆ Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos i pi p i i e b x b x a y 1 1 XB Y ε XB Y ˆ ˆ pi p i i i b x b x a y 1 1 ˆ Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Se minimizarmos a soma dos quadrados dos resíduos pelo MMQ chegaremos a seguinte solução XX XY B 1 ˆ p1xn nxp1 p1xp1 p1xn nx1 p1x1 p1x1 Operações com vetores e matrizes TRANSPOSIÇÃO a transposta de A indicada por A ou At é a matriz que se obtém trocandose ordenadamente as linhas pelas colunas de A SOMA C A B Operação de soma termoatermo A e B devem ter as mesmas dimensões PRODUTO C A B O produto deve ser dimensionalmente compatível Traduzindo o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B Geralmente A B B A PRODUTO TERMOATERMO C A B O MatlabOctave permite uma operação na qual C corresponde a uma matriz na qual os termos de A e B são multiplicados um aum Nesse caso A e B devem ter igual dimensão MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE C kA Cada termo de A fica multiplicado pela constante INVERSA DE UMA MATRIZ InvA ou A1 Somente matrizes quadradas e não singulares linhas colunas linearmente independentes podem ter matriz inversa Se C é quadrada e nãosingular então CC1I Econometria I Operações com vetores e matrizes Econometria I Funções escalares associadas com matrizes TRAÇO TrA ou TraçoA O traço de A é a soma dos elementos diagonais de uma matriz quadrada DETERMINANTE DetA ou A É uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa Quando o determinante for nulo significa que a mesma não tem inversa Operações com vetores e matrizes Econometria I Alguns casos especiais de matrizes MATRIZ IDENTIDADE A matriz identidade I equivale ao 1 na multiplicação ordinária É formada por termos 1 na diagonal e zero nos demais MATRIZ SIMÉTRICA Numa matriz quadrada os termos aijaji MATRIZ DIAGONAL Os termos fora da diagonal são nulos ou seja aij0 para ij VETOR ou MATRIZ DE UNS Operação que cria um vetor onde todos os elementos são iguais a 1 VETOR ou MATRIZ DE ZEROS Operação que cria um vetor onde todos os elementos são iguais a 0 Econometria I Relembrando Operações com vetores e matrizes no Excel Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Se minimizarmos a soma dos quadrados dos resíduos pelo MMQ chegaremos a seguinte solução XX XY B 1 ˆ p1xn nxp1 p1xp1 p1xn nx1 p1x1 p1x1 XB Y ε XB Y ˆ ˆ Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Proof Econometria I Fonte httpswebstanfordedumrosenfesocmethproj3matrixOLSNYUnotespdf Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Pressupostos Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Exemplo notação matricial Y Preço Constante X1 idade do carro anos X2 km mil km 53 1 4 0 42 1 5 16 39 1 5 37 31 1 6 55 36 1 6 26 33 1 5 62 46 1 4 14 Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Exemplo notação matricial Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Comentários sobre algumas hipóteses A hipótese 2 tem por trás dela a suposição de que não há autocorrelação entre os resíduos ou seja os resíduos não apresentam um comportamento sistemática e se distribuem de maneira errática Ainda nesta hipótese a suposição de que a variância seja constante é conhecida como homocedasticidade Na hipótese 4 há uma exigência matemática de que a matriz XX tenha inversa Na hipótese 5 consideramos que os erros têm distribuição Normal Como consequência os coeficientes bj também têm distribuição Normal Os estimadores obtidos por Mínimos Quadrados são BLUEs best linear unbiased estimators Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Causa de variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio F Valor p Modelo de regressão p SQReg QMReg SQReg p QMRegQMErro Erro ou resíduo np1 SQErro QMErro SQErro np1 Total n1 SQtotal n i i i n i i n i i Erro g total y y y y y y SQ SQ SQ 1 2 1 2 1 2 Re ˆ ˆ Y ou Total Regressão Resíduo SQtotal SQReg SQRes Tabela de ANOVA e decomposição da variância Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Causa de variação Graus de liberdade Soma de quadrados Quadrado médio F Valor p Modelo de regressão p SQReg QMReg SQReg p QMRegQMRes Resíduo np1 SQRes QMRes SQRes np1 Total n1 SQtotal Teste F 𝐹 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑆𝑄 𝑅𝑒𝑔 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝐹 𝑝𝑛 𝑝 1 𝐹 𝑐𝑟 í 𝑡𝑖𝑐𝑜𝐹𝑝 𝑛 𝑝1𝛼 Tabela de ANOVA e Teste F Econometria I 3 Regressão Linear Múltipla 31 Estimação por MQO e pressupostos Teste t 𝑡 𝑐𝑟 í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑡 𝑛𝑝 1𝛼2 Testes dos coeficientes teste t de Student 1 p n j j t E b S b t Econometria I Prof Hélio Radke Bittencourt Prof Augusto Mussi Alvim