Econometria III - Decomposições Descritivas de Séries de Tempo

EAE1223 Econometria III Aula 3 Decomposições descritivas de séries de tempo Luis A F Alvarez 23 de agosto de 2024 Decomposição aditiva de uma série de tempo Podemos considerar o seguinte modelo para uma série de tempo Xt t T Xt Tt Ct St Ut 1 onde 1 Tt é a tendência de X Movimento de longo prazo da série 2 Ct é o ciclo de X Movimento oscilatório em torno da tendência de frequência em geral desconhecida 3 St é a sazonalidade de X Movimento oscilatório de periodicidade bemdefinida Vendas no comércio costumam apresentar alta nos meses de maio e dezembro 4 Ut é o componente idiossincrático da série X em t Captura fenômenos específicos a t e não explicados pelos demais componentes 2 17 Decomposição multiplicativa de uma série Podemos considerar o seguinte modelo para uma série de tempo Xt t T Xt Tt Ct St Ut 2 onde os componentes são definidos como no modelo aditivo Um modelo multiplicativo implica um modelo aditivo em log logXt τt ct st ut 3 Estimação é feita trabalhando com modelo aditivo em log Observe que no modelo multiplicativo a tendência afeta a escala das variáveis Em particular esperamos que no modelo multiplicativo a variância de Xt Xt Xt1 mude bastante com o tempo Escolha entre modelo aditivo ou multiplicativo pode ser feita observando um gráfico de Xt Xt Xt1 3 17 Modelo aditivo nível e primeira diferença Time addmodel 0 100 200 300 400 500 5 0 5 10 15 20 a Nível Time diffaddmodel 0 100 200 300 400 500 3 2 1 0 1 2 3 b Primeira diferença 4 17 Modelo multiplicativo nível e primeira diferença Time multmodel 0 100 200 300 400 500 4000 0 2000 a Nível Time diffmultmodel 0 100 200 300 400 500 1000 0 500 1000 b Primeira diferença 5 17 Ajuste sazonal Remoção do componente sazonal clássica faz uso de médias móveis Suponha que a série tem movimentos sazonais bem definidos a cada h períodos onde h é número ímpar eg sazonalidade semanal numa série diária Podemos construir a média móvel centrada em t como Xt 1h sth12th12 Xs 4 O fator de correção sazonal para s 1 h é dado por δs 1Tsh 1 tsshs2h Xt Xt 5 E o fator recentrado é δs δs 1h j1h δj 6 Ajuste sazonal cont Fatores podem ser usado para obter séries corrigidas da sazonalidade subtraindose de cada observação o δs correspondente Se h é par calculamos Xt combinando duas médias não centradas Xt 05 1h sth221th22 Xt 05 1h sth22th221 Xt Exemplo taxa de desemprego mensal no Brasil Figura Taxa de desemprego original preto e com ajuste via médias móveis centradas azul Time desempregobrasil 2012 2014 2016 2018 2020 2022 6 8 10 12 14 8 17 X13 ArimaSeats Metodologia de ajuste sazonal desenvolvida pelo US Census Bureau Padrão ouro para ajustes sazonais Combina metodologia de médias móveis com a possibilidade de inclusão de efeitoscalendário por padrão modelo controla por dias úteis do mês e alguns feriados móveis passível de alteração detecção automática de outliers backfitting para completamento da série de tempo e seleção automática de modelo aditivo ou multiplicativo No R acessível via pacote seasonal Disponível para séries mensais e trimestrais Para séries diárias há potencialmente mais de uma fonte de sazonalidade em diferentes frequências o que requer abordagem diferentes por exemplo Livera Hyndman e Snyder 2011 9 17 Exemplo taxa de desemprego mensal no Brasil cont Figura Taxa de desemprego original preto e com ajuste via X13 vermelho Original and Adjusted Series Time 2012 2014 2016 2018 2020 2022 6 8 10 12 14 10 17 Separando o ciclo da tendência Dada uma série de tempo cujo componente sazonal já foi extraído como separar o componente cíclico da tendência Uma abordagem bastante comum consiste em utilizar um filtro HP Formalmente dada uma série ytt1T estimamos a tendência μtt1T resolvendo minμ1 μ2 μT 1T t1T yt μt2 λT t2T1 μt1 μt μt μt12 7 para uma penalização λ 0 λ controla o grau de suavidade da tendência estimada quanto maior λ mais suavizado 1 Se λ0 μt yt ie a tendência estimada é a própria série 2 Se λ μt â bt ie a tendência tornase linear igual à regressão de yt num intercepto e numa tendência linear Regra de bolso é usar λ 1600 para dados trimestrais λ 625 para dados anuais e λ 129600 para dados mensais Ravn e Uhlig 2002 Exemplo taxa de desemprego mensal no Brasil cont Figura Taxa de desemprego com ajuste via X13 vermelho e tendência extraída via filtro HP azul Time desempregox13 2012 2014 2016 2018 2020 2022 8 10 12 14 12 17 Filtro HP e instabilidade na ponta Note que à medida que mais dados são divulgados os valores da tendência podem mudar Esse fenômeno é especialmente acentuado nas observações mais recentes em que a contribuição de novas observações é especialmente acentuada A esse fenômeno damos o nome de instabilidade na ponta observações futuras podem fazer nossa estimativa do ciclo mudar radicalmente 13 17 Instabilidade de ponta ilustração Figura Desemprego mensal ajustado via X13 até janeiro2024 Time desempx13 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 8 10 12 14 Tendência HP estimação até dez2021 Tendência HP estimação até jan2024 14 17 Alternativas ao filtro HP Hamilton 2018 A instabilidade de ponta combinada a outras debilidades do filtro HP leva Hamilton 2018 a sugerir uma outra medida de ciclo Sua sugestão é calcular o ciclo como o resíduo ˆνt da regressão yth α β1yt β2yt1 β3yt2 β4yt3 νth onde h é tomado de forma de que a distância entre t e t h seja de dois anos h 8 em dados trimestrais h 24 em dados mensais Medida captura o erro que se comete em projetar o que ocorre em t com base no que ocorreu há dois anos Ideia é que esse erro capturaria fatores cíclicos 15 17 Aplicação de Hamilton 2018 aos dados de desemprego Time base hamiltoncycle 2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 4 2 0 2 4 16 17 Decomposição de BeveridgeNelson A decomposição de Hamilton é bastante similar a um procedimento sugerido por Beveridge e Nelson 1981 para se separar a tendência estocástica da parte estacionária de um processo I1 Decomposição de BeveridgeNelson toma a parte estacionária de um processo I1 como νBN t yt lim s Eytsyt yt1 ie a diferença entre yt e uma projeção de longo prazo feita com base em toda o histórico de y até t Se processo também apresenta tendência determinística a0t em nível fazemos νBN t yt lim sEytsyt yt1 a0s Decomposição pode ser estimada ajustando um modelo preditivo para yt e computando projeções fora da amostra para um horizonte longo observando que yts yt yt1 yts 17 17 Bibliografia I Beveridge Stephen e Charles R Nelson 1981 A new approach to decomposition of economic time series into permanent and transitory components with particular attention to measurement of the business cycle Em Journal of Monetary Economics 72 pp 151174 issn 03043932 doi httpsdoiorg1010160304393281900404 url httpswwwsciencedirectcomsciencearticlepii 0304393281900404 Hamilton James D dez de 2018 Why You Should Never Use the HodrickPrescott Filter Em The Review of Economics and Statistics 1005 pp 831843 issn 00346535 doi 101162resta00706 eprint httpsdirectmitedurestarticle pdf10058311918879resta00706pdf url httpsdoiorg101162rest5Ca5C00706 1 2 Bibliografia II Livera Alysha M De Rob J Hyndman e Ralph D Snyder 2011 Forecasting Time Series With Complex Seasonal Patterns Using Exponential Smoothing Em Journal of the American Statistical Association 106496 pp 15131527 doi 101198jasa2011tm09771 eprint httpsdoiorg101198jasa2011tm09771 url httpsdoiorg101198jasa2011tm09771 Ravn Morten O e Harald Uhlig mai de 2002 On Adjusting the HodrickPrescott Filter for the Frequency of Observations Em The Review of Economics and Statistics 842 pp 371376 issn 00346535 doi 101162003465302317411604 eprint httpsdirectmitedurestarticle pdf8423711613390003465302317411604pdf url httpsdoiorg101162003465302317411604 2 2