EDOs-Transformada-de-Laplace-Metodo-de-Euler: Resolucao de Exercicios

5 10 Resolva a EDO por série de MacLaurin Apresente o resultado com ao menos 5 termos a y 3x 1y 0 6 10 Encontre a transformada inversa de Laplace a L1 s1s2s3 b L1 ss2s2 7 20 Resolva os PVIs via transformada de Laplace e encontre a inversa a y y 1 y0 0 b y y e3t y0 0 8 20 Dado os problemas de valor inicial aplique o método de Euler e obtenha uma aproximação com quatro casas decimais para o valor de y13 utilize h 01 a y 2 2xy y2 y1 1 b y yxy3 1 y1 1 Questão 5 Assumindo uma solução em séries de potências temos 𝑦 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛0 𝑦 𝑐𝑛𝑛𝑥𝑛1 𝑛1 Substituindo na equação temos 𝑦 3𝑥 1𝑦 0 𝑦 3𝑥𝑦 𝑦 0 𝑐𝑛𝑛𝑥𝑛1 𝑛1 3𝑥 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛0 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛0 0 𝑐𝑛𝑛𝑥𝑛1 𝑛1 3 𝑐𝑛𝑥𝑛1 𝑛0 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛0 0 𝑐𝑛1𝑛 1𝑥𝑛 𝑛0 3 𝑐𝑛1𝑥𝑛 𝑛1 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛0 0 𝑐1 𝑐𝑛1𝑛 1𝑥𝑛 𝑛1 3𝑐𝑛1𝑥𝑛 𝑛1 𝑐0 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛1 0 𝑐1 𝑐0 𝑐𝑛1𝑛 1 3𝑐𝑛1 𝑐𝑛𝑥𝑛 𝑛1 0 Igualando coeficientes temos 𝑐1 𝑐0 0 𝑐𝑛1𝑛 1 3𝑐𝑛1 𝑐𝑛 0 𝑐𝑛1 3𝑐𝑛1 𝑐𝑛 𝑛 1 Logo os primeiros coeficientes são 𝑐0 𝑐0 𝑐1 𝑐0 𝑐2 3𝑐0 𝑐1 2 2𝑐0 2 𝑐0 𝑐3 3𝑐1 𝑐2 3 3𝑐0 𝑐0 3 4 3 𝑐0 𝑐4 3𝑐2 𝑐3 4 3𝑐0 4 3 𝑐0 4 3 4 𝑐0 1 3 𝑐0 5 12 𝑐0 Assim temos 𝒚𝒙 𝒄𝟎 𝒄𝟎𝒙 𝒄𝟎𝒙𝟐 𝟒 𝟑 𝒄𝟎𝒙𝟑 𝟓 𝟏𝟐 𝒄𝟎𝒙𝟒 Questão 6 A Temos 𝐿1 𝑠 1 𝑠 2𝑠 3 𝐿1 2 𝑠 3 1 𝑠 2 2𝐿1 1 𝑠 3 𝐿1 1 𝑠 2 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝒆𝟐𝒕 b Temos 𝐿1 𝑠 𝑠2𝑠 2 𝐿1 1 𝑠𝑠 2 1 2 𝐿1 1 𝑠 2 1 𝑠 1 2 𝐿1 1 𝑠 2 1 2 𝐿1 1 𝑠 1 2 𝑒2𝑡 1 2 1 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒕 𝟏 Questão 7 a aplicando Laplace temos 𝑦 𝑦 1 𝐿𝑦 𝐿𝑦 𝐿1 𝑠𝐿𝑦 𝑦0 𝐿𝑦 𝐿1 𝑠 1𝐿𝑦 0 1 𝑠 𝐿𝑦 1 𝑠𝑠 1 𝐿𝑦 1 𝑠 1 1 𝑠 Logo temos 𝑦 𝐿1 1 𝑠 1 𝐿1 1 𝑠 𝒚 𝒆𝒕 𝟏 b aplicando Laplace temos 𝑦 𝑦 𝑒3𝑡 𝐿𝑦 𝐿𝑦 𝐿𝑒3𝑡 𝑠𝐿𝑦 𝑦0 𝐿𝑦 1 𝑠 3 𝑠 1𝐿𝑦 0 1 𝑠 3 𝐿𝑦 1 𝑠 1𝑠 3 𝐿𝑦 1 4 1 𝑠 1 1 𝑠 3 Logo temos 𝑦 1 4 𝐿1 1 𝑠 1 1 4 𝐿1 1 𝑠 3 𝑦 1 4 𝑒𝑡 1 4 𝑒3𝑡 𝒚 𝟏 𝟒 𝒆𝟑𝒕 𝒆𝒕 Questão 8 a temos 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 2 2𝑥𝑦 𝑦2 Seja 𝑥0 1 e 𝑦0 1 Assim temos 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑓1 1 𝑦 1 01 2 2 1 1 𝑦 15 Tentando de novo 𝑦 15 01 2 2 11 15 152 2255 𝑦 2255 01 2 2 12 2255 22552 𝟑 𝟓𝟎𝟒𝟕𝟎𝟐𝟓 b temos 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑦𝑥𝑦3 1 Seja 𝑥0 1 e 𝑦0 1 Assim temos 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑓1 1 𝑦 1 01 1 1 13 1 𝑦 1 Aqui note que o método de Euler não nos deixou sair do lugar de modo que no final obtivemos 𝒚 𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎 y 14 e3t et Questão 5 Assumindo uma solução em séries de potências temos y n0 cnx n y n1 cnn x n1 Substituindo na equação temos y 3 x1 y0 y 3 xy y0 n1 cnn x n13x n0 cn x n n0 cnx n0 n1 cnn x n13 n0 cnx n1 n0 cnx n0 n0 cn1 n1x n3 n1 cn1x n n0 cnx n0 c1 n1 cn1n1 x n n1 3cn1x nc0 n1 cn x n0 c1c0 n1 cn1n13cn1cn x n0 Igualando coeficientes temos c1c00 cn1n13cn1cn0 cn13 cn1cn n1 Logo os primeiros coeficientes são c0c0 c1c0 c23c0c1 2 2c0 2 c0 c33c1c2 3 3c0c0 3 4 3 c0 c43c2c3 4 3c0 4 3 c0 4 3 4 c01 3 c0 5 12 c0 Assim temos y x c0c0 xc0 x 2 4 3 c0 x 3 5 12 c0 x 4 Questão 6 A Temos L 1 s1 s2 s3L 1 2 s3 1 s2 2 L 1 1 s3L 1 1 s2 2e 3te 2t b Temos L 1 s s 2 s2L 1 1 s s21 2 L 1 1 s21 s 1 2 L 1 1 s21 2 L 1 1 s 1 2 e 2t1 2 1 1 2 e 2t1 Questão 7 a aplicando Laplace temos y y1 L y Ly L 1 s L y y 0Ly L 1 s1L y 01 s L y 1 s s1 L y 1 s11 s Logo temos yL 1 1 s1 L 1 1 s ye t1 b aplicando Laplace temos y ye 3t L y L yL e 3t s L y y 0L y 1 s3 s1 L y 0 1 s3 L y 1 s1s3 L y 1 4 1 s1 1 s3 Logo temos y 1 4 L 1 1 s1 1 4 L 1 1 s3 y1 4 e t 1 4 e 3t Questão 8 a temos f x y y 22 xy y 2 Seja x01 e y01 Assim temos y y0hf 11 y1012211 y15 Tentando de novo y150122111515 22255 y225501221222552255 235047025 b temos f x y y y x y 31 Seja x01 e y01 Assim temos y y0hf 11 y101111 31 y1 Aqui note que o método de Euler não nos deixou sair do lugar de modo que no final obtivemos y10000 EASY PIE BEER QUICKLY CONVENIENT 48 cans 60 standard drinks 94 ALCVOL Enough Said SA 94 alcvol Quickly 48 cans beer 60 standard drinks CONVENIENT 2 x 375 ml XO easy Australian BEER QUICKLY EASY PIE The Original Easy Pie NONE OF THE GRIZZ Have it your way easy Tasting beer about as easy ass going to get Australian Made Produced and Packed Mobern Liquor Manufacturing Pty Ltd Gloucester NSW 2422 Ingredients Water Malted Barley Maize Sugar Hops Yeast Always enjoy responsibly Ready to Drink KEEP COOL Matured for your drinking pleasure Ready to Drink KEEP COOL The Original Easy Pie Ready to Drink KEEP COOL LID FOR QUALITY FRESHNESS Keep Cool Alcohol and Pregnancy Dont mix Alcohol Warning It is illegal to supply alcohol to a person under the age of 18 years