Quero Feito a Mao

ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DEP EST RENÊ BARBOUR FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS Aluno a Data Professor Joilson Carvalho Lista 01 de Cálculo Diferencial e Integral III Barra do Bugres MT 2022 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Joilson Carvalho Unidade I Integrais de linha 1 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos 1 3 e 4 9 2 Encontre as equações paramétricas das curvas a Uma circunferência de raio 5 centrado na origem e orientado no sentido horário b A parte da circunferência x2y2 1 que está no terceiro quadrante orientada no sentido antihorário c A elipse x2 4 y2 9 1 orientada no sentido antihorário e A parte da parábola x y2 ligando 1 1 e 1 1 orientada de baixo para cima 3 Parametrize as curvas abaixo a x 12 4 y 12 9 1 b x 12 4 y 12 9 1 c x 12 y 2 d 2x2 3y2 2 e x2 2x y2 2y 1 0 4 Determine a parametrização das funções a fx x2 1 x 2 3 b fx x 1 x 0 10 c fx x2 1 2x x 1 5 5 Resolva os itens a seguir a Use um recurso gráfico para gerar a trajetória de uma partícula cujas equações do movimento no intervalo de tempo 0 t 5 são x 6t 1 2t3 y 6t 1 2t2 b Faça uma tabela das coordenadas x e y da partícula nos instantes t 0 1 2 3 4 5 c Em que instantes a partícula está sobre o eixo y d Durante qual intervalo de tempo temos y 5 e Em que instante a coordenada x da partícula atinge um máximo 6 Seja C a curva dada pela intersecção das superfícies z 3 3x2 y2 e z x2 2y Encontre uma parametrização para C 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Joilson Carvalho 7 Seja C a curva dada pela interseção das superfícies z x24 y29 e z x2 1 Encontre uma parametrização para C 8 Encontre o comprimento de arco das curvas no intervalo indicado a γt t2 13 t3 0 t 1 b γt cos3t sen3t 0 t π 9 Calcule em cada item a integral de linha ao longo da curva C a C 2x y z ds onde C é o segmento de reta que liga os pontos A1 2 3 e B2 0 1 b C 3y z ds onde C é o arco de parábola z y2 x 1 de A1 0 0 a B1 2 4 c C yx z ds onde C é a intersecção das superfícies x2 y2 z2 9 e x z 3 d C x y ds onde C é a interação das superfícies z x2 y2 e z 4 1 A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A 1 3 e B 4 9 é da forma r x y A t AB t R AB B A 4 9 1 3 3 6 Então r x y 1 3 t 3 6 r x y 1 3 3t 6t Logo a parametrização dessa reta é σt xt yt 1 3t 3 6t t R 2 a σt xt yt 5 cost 5 sent t 0 2π t 0 σ0 5 0 t π2 σπ2 0 5 2 b x2 y2 1 σt xt yt cost sent t π 3π2 Y x 1 0 1 σt 2 c x24 y29 1 x222 y232 1 A parametrização dessa elipse é σt xt yt 2 cost 3 sent t 0 2π 2 e x y2 y t x t2 Logo a parametrização da parte da parábola é σt xt yt t2 t t 1 1 3 a x 12 4 y 12 9 1 x 12 22 y 12 32 1 hipérbole A parametrização dessa curva é σt xt yt 1 2 cosht 1 3 senht t R 3 b x 12 4 y 12 9 1 x 12 22 y 12 32 1 elipse A parametrização dessa curva é σt xt yt 1 2 cost 1 3 sent t 0 2π 3 c x 12 y 2 x2 2x 1 y 2 y x2 2x 1 2 y x2 2x 1 x t y t2 2t 1 Logo a parametrização dessa curva é σt xt yt t t2 2t 1 t R 3 d 2x2 3y2 2 x2 32 y2 1 x2 y2 23 1 elipse A parametrização dessa curva é σt xt yt cost 23 sent t 0 2π 3 e x2 2x y2 2y 1 0 x2 2x 1 1 y 12 0 x 12 y 12 1 circunferência de centro C11 e raio r 1 A parametrização dessa curva é σt xt yt 1 cost 1 sent t 0 2π 4 a fx x2 1 x 2 3 x t y t2 1 Logo a parametrização da função é σt xt yt t t2 1 t 2 3 b fx x 1 x 0 10 x t y t 1 Logo a parametrização da função é σt xt yt t t 1 t 0 10 c fx x2 1 2x x 1 5 x t y t2 1 2t Logo a parametrização da função é σt xt yt t t2 1 2t t 1 5 a Curva6t 12 t3 6t 12 t2 t 05 x 6t 12 t3 y 6t 12 t2 0 t 5 A a0 0 0 B a1 55 55 C a2 8 10 D a3 45 135 E a4 8 16 F a5 325 175 5 c Se a partícula está sobre o eixo então a coordenada x da partícula é nula ou seja x 0 6t 12 t3 0 t 6 12 t2 0 t 0 ou 6 t22 0 t22 6 t22 6 t2 12 t 12 t 12 ou t 12 Mas como 0 t 5 consideramos apenas o caso t 12 23 346 Assim a partícula está sobre o eixo y nos instantes t 0 ou t 23 346 5 c y 5 6t 12 t2 5 6t 12 t2 5 0 ft Vamos encontrar as raízes de ft esboçar o seu gráfico e verificar em quais intervalos temos ft 0 6t 12 t2 5 0 Δ 36 4 12 5 36 25 26 t 6 26 2 12 6 26 t1 6 26 t2 6 26 12 t2 6t 5 ft 6 26 6 26 t Portanto y 5 quando t 6 26 ou t 6 26 5 e xt 6t 12t3 xt 6 32t2 xt 0 6 32t2 0 32t2 6 32t2 6 23 32 t2 23 6 t2 123 t2 4 t 4 2 t 2 ou t 2 Mas como 0 t 5 então consideramos apenas no caso t 2 Logo a coordenada x da partícula atinge seu máximo quando t 2 6 Interseção z 3 3x2 z x2 2y 3 3x2 x2 2y 2y 3 3x2 x2 2y 4x2 3 y 2x2 32 x t y 2t2 32 z 3 3t2 Logo a parametrização da curva C obtida pela interseção das superfícies é σt xt yt t 2t2 32 t ℝ Corrigindo σt xt yt zt t 2t2 32 3 3t2 t ℝ 7 Interseção z x24 y29 z x2 1 x2 1 x24 y29 x2 x24 1 y29 y29 34 x2 1 y 274 x2 9 x t y 274 t2 9 z t2 1 27t2 362 Logo A parametrização da curva C obtida pela interseção das superfícies é σt xt yt zt t 27t2 362 t2 1 t ℝ 8 a δt t2 13 t3 0 t 1 δt 2t 13 3t2 2t t2 δt 2t2 t22 4t2 t4 t24 t2 t4 t2 Logo o comprimento da curva é dado pela integral Lδ ab δt dt 01 t4 t2 dt u 4 t2 du 2t dt dt du2t 01 u du2 12 01 u12 du 12 u323201 12 23 4 t232 01 12 23 532 23 432 13 125 64 55 83 uc 8 b δt cos3t sen3t 0 t π δt 3 sen3t 3 cos3t δt 3 sen3t2 3 cos3t2 9 sen23t 9 cos23t 9sen23t cos23t 91 9 3 1 Logo o comprimento da curva é dada pela integral Lδ ab δt dt 0π 3 dt 3 0π dt 3 t0π 3π 0 3π uc 9 a A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A 1 2 3 e B 2 0 1 é da forma r x y z A AB t t ℝ AB B A 2 0 1 1 2 3 1 2 2 r x y z 1 2 3 1 2 2 t r x y z 1 2 3 t 2t 2t Logo a parametrização do segmento que liga os pontos A e B é σt xt yt zt 1 t 2 2t 3 2t t 0 1 σt xt yt zt 1 2 2 σt 12 22 22 1 4 4 9 3 fx y z 2x y z fσt 21 t 2 2t 3 2t fσt 2 2t 2 2t 3 2t 2t 3 C f ds ab fσt σt dt 01 2t 3 3 dt 01 6t 9 dt 62 t2 9t01 3t2 9t 01 312 91 0 12 9 b x 1 z y² y t z t² Logo a parametrização da parábola é σt xt yt zt 1 t t² Qual o valor correspondente de t nos pontos A100 e B124 Para o ponto A xt 1 yt 0 zt 0 1 1 t 0 t² 0 t 0 Para o ponto B xt 1 yt 2 zt 4 1 1 t 2 t² 4 t 2 σt xt yt zt 1 t t² t 02 σt xt yt zt 0 1 2t σt 0² 1² 2t² 1 4t² fxyz 3y z fσt 3t t² 3t t 2t ᴄ f ds ₐᵇ fσt σt dt ₀² 2t 1 4t² dt ₁¹⁷ u du8t 14 ₁¹⁷ u12 du 14 u3232₁¹⁷ 14 23 u32₁¹⁷ 14 23 17³ 23 14 3417 2 3 1717 1 6 9 c x² y² z² 9 x z 3 x² y² 3 x² 9 x² y² 9 6x x² 9 2x² y² 6x 0 2x² 3x y² 0 2x² 3x 2x 32² 32² 2x 32² 92 Então a equação da curva se torna 2x 32² y² 92 x 32² 94 y² 92 1 A parametrização dessa elipse é xt 32 32 cost e yt 32 sent z 3 x zt 3 32 32 cost 32 32 cost σt xt yt zt 32 32 cost 32 sent 32 32 cost t 0 2π σt xt yt zt 32 sent 32 cost 32 sent σt 32 sent² 32 cost² 32 sent² 94 sen²t 92 cos²t 94 sen²t 92 cos²t sen²t 32 9 c ᶜ f ds ₀²π 32 sent 32 32 cost 32 32 cost 32 dt ₀²π 32 sent3 cost32 dt 92 ₀²π sent cost dt 92 ₀²π 12 sen2t dt 94 ₀²π sen2t dt 0 z x2 y2 z 4 x2 y2 4 A parametrização dessa curva é σt xt yt 2 cost 2 sent t 0 2π σt xt yt 2 sent 2 cost σt 2 sent2 2 cost2 4 sen2t 4 cos2t 4 sen2t cos2t 41 4 2 fxy x y fσt 2 cost 2 sent 2 cost sent C f ds ab fσt σt dt 02π 2 cost sent 2 dt 4 02π cost sent dt 4 sent cost02π 41 1 40 0