Estabilidade em Sistemas de Controle: Critérios de Desempenho e Análise

Controle de Processos Prof Flávio da Silva Vitorino Gomes Critérios de Desempenho Estabilidade Introdução A estabilidade é a especificação mais importante do sistema Se um sistema é instável a resposta transiente e os erros de regime permanente deixam de ter significado A resposta total de um sistema é igual à soma das respostas forçadas e natural Um sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero quando o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é instável se a resposta natural aumenta sem limites na medida em que o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável quando a resposta não apresenta aumento nem atenuação mas permanece constante ou oscila quando o tempo tende a infinito Introdução Uma definição alternativa de estabilidade um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída também limitada Esta definição é denominada estabilidade BIBO BoundedInput BoundedOutput entrada limitada saída limitada Uma definição alternativa de instabilidade um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada Todas estas duas definições referemse utilizando a resposta total Fisicamente um sistema instável cuja resposta natural aumente sem limites poderia causar danos ao sistema às instalações adjacentes ou à vida humana video acidente Introdução Os sistemas estáveis possuem Função de Transferência FT em Malha Fechada MF com pólos somente no semiplano s da esquerda Os sistemas instáveis possuem Função de Transferência FT em Malha Fechada MF com pelo menos um pólo no semiplano s da direita eou pólos de multiplicidade maior que um no eixo imaginário Os sistemas marginalmente estáveis apresentam FT em MF somente com pólos de multiplicidade 1 no eixo imaginário e pólos no semiplano s da esquerda Introdução O sistema de controle feedback é estável se e somente se todas as raízes da equação característica 1Gma tem parte real negativa Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raíz real negativa Estável Estabilidade e Pólos Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raíz real negativa Estável Estabilidade e Pólos Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raíz real positiva Instável Estabilidade e Pólos Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raízes complexas negativas Estável Estabilidade e Pólos Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raízes complexas posivas Instável Estabilidade e Pólos Comportamento do sistema em função das raízes resposta ao Degrau Raízes complexas na origem Criticamente marginalmente estável Estabilidade e Pólos Estabilidade e Pólos Rs 1s Es 3 ss1s2 Cs Stable system splane Stable systems closedloop poles not to scale jω j 1047 2672 0164 j 1047 ct 1 0 Time seconds 0 15 30 Estabilidade e Pólos Rs 1s Es 7 ss1s2 Cs Unstable system splane Unstable systems closedloop poles not to scale jω j 1505 3087 00434 j 1505 ct 1 0 1 Time seconds 0 15 30 Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Routh ainda no século XIX numa época que ainda não havia luz elétrica máquina de calcular ou computador criou um método matemático para determinar o número de pólos no SPD sem ter que calcular os pólos Dessa forma facilitou a determinação da estabilidade do sistema Canadense 18311907 Esse critério é um procedimento analítico para determinar se todas as raízes de um polinômio tem parte real negativa e é usado na análise dos sistemas lineares invariáveis no tempo O critério dá o número de raízes com parte real positiva A equação característica de um sistema linear invariável no tempo é um polinômio exceto no caso em que o sistema contém um atraso de tempo ideal atraso de transporte Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Dado que um sistema linear em MF possui a forma abaixo onde os coeficientes ai e bi são constantes e m n devese inicialmente fatorar o polinômio As para achar os pólos de MF Este critério permite determinar o número de pólos em MF que estão no semiplano direito s sem ter que fatorar o polinômio Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Dado uma FT em MF Concentrase o interesse no denominador onde estão os pólos Inicialmente gerase a tabela de Routh começando por nomear as linhas com potências de s a partir da potência mais alta no denominador da FT em MF até s0 Em seguida iniciase com o coeficiente de potência mais alta de s no denominador e listase horizontalmente na primeira linha cada um dos demais coeficientes saltados de um Na segunda linha listase horizontalmente começandose com a próxima potência mais alta de s cada coeficiente que foi pulado na primeira linha Critério de Estabilidade de RouthHurwitz As entradas remanescentes são preenchidas da seguinte forma Cada entrada é igual ao valor negativo dos determinantes formados com os elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento da primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada A coluna à esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores e a coluna à direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita A tabela se completa quando todas as linhas estiverem concluídas até s0 Critério de Estabilidade de RouthHurwitz O critério de RouthHurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que se situam no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna Assim um sistema é estável se não ocorrerem mudanças de sinal na primeira coluna Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Note que as linhas vão ficando mais curtas a medida que não há mais elementos a serem calculados Note também que a Tabela de Routh foi construída supondo que o coeficiente do polinómio característico ps é positivo Se o coeficiente for negativo então podese redefinir ps com todos os coeficientes do polinômio com os sinais trocados Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Isto ocorre devido ao fato como é bem conhecido que as raízes de um polinômio não se alteram quando todos os seus coeficientes são multiplicados por 1 ou por qualquer outro valor constante 0 Para simplificar os cálculos se desejar podese multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha qualquer da Tabela de Routh por um número positivo Isso não irá alterar os resultados a serem obtidos da Tabela de Routh Critério de Estabilidade de RouthHurwitz A determinação do número de pólos no SPD pode ser útil mas entretanto não nos dá um resultado para a estabilidade do sistema de imediato Isso porque um sistema para ser estável tem que possuir todos os seus pólos no SPE e mesmo que o número de trocas de sinais seja zero o que significa que terão zeros pólos no SPD isso não garante estabilidade pois poderá haver algum pólo no eixo imaginário Critério de Estabilidade de RouthHurwitz No entanto pólos no eixo imaginário vão refletir em zeros na primeira coluna Isto nos leva à seguinte situação O sistema possui todos os pólos no SPE se e somente se todos os coeficientes da primeira coluna da Tabela de Routh são positivos ou negativos Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Exemplo Existem duas mudanças de sinal então são dois polos no SPD caracterizando assim o sistema como instável Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 1 Se o primeiro elemento de qualquer linha for zero e os outros forem diferentes de zero os elementos da próxima linha serão todos infinitos Para solucionar este problema devese substituir o elemento nulo por um número positivo ɛ arbitrariamente pequeno Como a linha correspondente a s 2 possui o primeiro elemento nulo devemos substituílo por ɛ Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 1 Existem duas mudanças de sinal o que significa que existem duas raízes no semiplano direito As raízes são Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 1 exercícios a b 0 Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 2 Se todos os elementos de uma linha são zeros as seguintes condições podem existir A equação possui pelo menos um par de raízes reais iguais mas de sinais opostos A equação tem um ou mais pares de raízes imaginárias A equação tem pares de raízes complexas conjugadas formando uma simetria em relação à origem Ex s 1 j1 s 1 j1 Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 2 Uma possível solução consiste em utilizar uma equação auxiliar As 0 que corresponde à linha anterior de zeros A equação auxiliar sempre contêm apenas termos de ordem par As raízes da equação auxiliar também satisfazem a equação original O método consiste nos seguintes passos Escreva a Equação As utilizando os coeficientes da linha anterior à linha nula Calcule a derivada da equação As Substitua a linha de zeros pelos coeficientes de Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 2 exemplo Como podemos observar a linha correspondente à linha s 1 é nula Os polinômios As E dAsds neste caso seriam dados por Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 2 exemplo A tabulação de RouthHurwitz seria agora dada por Como não há mudanças de sinal não há raízes no semiplano direito As raízes de As são s j o que indica que o sistema é marginalmente estável Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Caso Especial 2 exercício Fs Critério de Estabilidade de RouthHurwitz Estabilidade no Espaço de Estados Sabese que os valores dos pólos do sistema são iguais aos autovalores da matriz de sistema A Os autovalores da matriz A representavam soluções da equação detsIA0 que também conduzia à determinação dos pólos da FT Calculando este determinante que fornece a equação característica do sistema é possível utilizar a tabela de Routh para determinar se o sistema é estável ou não Bibliografia Básica 36 NSNise Engenharia de Sistemas de Controle 6aed John WileySons 2011 Capítulo 6 Obrigado Professor Flavio da Silva Vitorino Gomes flaviocearufpbbr