Prova Controle e Servomecan - Engenharia - Questões Resolvidas

CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA CURSO ENGENHARIA MECÂNICA ENGENHARIA ELÉTRICA TURMA ENG0001M VISTO DO COORDENADOR PROVA TRAB GRAU RUBRICA DO PROFESSOR DISCIPLINA CONTROLE E SERVOMECAN AVALIAÇÃO REFERENTE A1 A2 A3 PROFESSOR GERALDO MOTTA MATRÍCULA Nº NA ATA DATA 09 DE JULHO DE 2022 NOME DO ALUNO UNIDADE BANGU BG TRABALHO AVALIAÇÃO A3 Instruções 1 O trabalho é individual e poderá ser feito com consulta 2 Indique CLARAMENTE sua resposta 3 É necessário apresentar os cálculos em todas as questões 4 A interpretação das questões faz parte da avaliação 5 O valor total da avaliação é de 100 pontos Questão 1 20 pontos Em aplicações de engenharia os modelos lineares são largamente utilizados para representar sistemas dinâmicos Um sistema é dito linear quando atende a propriedade da superposição Considere um sistema dinâmico linear cujo comportamento pode ser modelado pela seguinte equação diferencial 𝑦𝑡 10 𝑦𝑡 8 𝑦𝑡 5 𝑦𝑡 3 𝑢𝑡 𝑢𝑡 onde u t representa a entrada e y t representa a saída do sistema Escreva a Função de Transferência e obtenha uma representação no Espaço de Estados para este sistema Questão 2 20 pontos Considere o sistema de controle em malha fechada representado na Figura 2 Sabese que os parâmetros do sistema são dados por 𝑎 3 e 𝐾 1 a Determine os valores do coeficiente de amortecimento e da frequência natural não amortecida para que este sistema 10 pontos b Determine a posição dos pólos e zeros representeos graficamente no plano s e determine uma expressão para a resposta ao degrau unitário Faça um esboço do gráfico desta resposta 10 pontos Questão 3 20 pontos Robôs são utilizados em diversas tarefas industriais onde se requer grande precisão Nestes casos o erro em regime permanente é um aspecto fundamental de projeto para robôs de linha de montagem Por exemplo um sistema robótico é utilizado na fabricação de memórias de acesso aleatório RAMs de semicondutor semelhantes às utilizadas em computadores pessoais Um modelo simplificado para este tipo de dispositivo pode ser dado pelas equações abaixo onde Rs é a entrada do sistema Es é o erro atuante As é a entrada do processo a ser controlado e Cs é a saída do sistema 𝐴𝑠 5 𝑠 3 𝐸𝑠 𝐶𝑠 2 𝑠2 𝑠 5 𝐴𝑠 𝐸𝑠 𝑅𝑠 𝐶𝑠 a Represente este sistema através de um diagrama de blocos e determine a função de transferência de malha fechada 10 pontos b Classifique o sistema e determine o erro estacionário em regime permanente para a seguinte entrada aplicada ao sistema 𝑟𝑡 2 10𝑡 6𝑡2 𝑡 0 10 pontos Questão 4 20 pontos Sabese que o controle de soldagem em fábricas de automóveis é inteiramente mecanizado Grandes robôs soldadores são utilizados para a execução desta tarefa onde a ponta de solda precisa ser deslocada para diferentes posições no chassi do automóvel e frequentemente uma resposta rápida e exata é requerida Um sistema desta natureza pode ser modelado por uma função de transferência de quinta ordem com a seguinte equação característica 𝑠5 8 𝑠4 12 𝑠3 20 𝑠2 4 𝑠 𝐾 0 Determine a faixa de estabilidade para o sistema que consiste nas restrições que precisam ser impostas ao parâmetro 𝐾 a fim de assegurar a estabilidade do sistema Questão 5 20 pontos Um marcapasso eletrônico para corações humanos é um dispositivo que regula a velocidade de batimentos do coração Tal mecanismo pode ser modelado de forma simplificada por meio de um sistema de primeira ordem com realimentação unitária e função de transferência de malha fechada dada por 𝐻𝑠 13 5 𝑠 2 a Determine a constante de tempo 𝑇 expressa em segundos e o ganho K para este sistema 10 pontos b Considere que este sistema é excitado através de uma entrada 𝑟𝑡 2𝑡 𝑡 0 Escreva uma expressão para a saída 𝑐𝑡 deste sistema 10 pontos AVISOS LEIA ANTES DE TUDO Primeiro confira se a solução condiz com a lista de exercícios pedida Isso significa verificar quantidade de questões e seu conteúdo valores usados número de matrí culaRU Confira todas as contas e valores consultados em tabelas Mais de 99 dos erros são contas ou erro de digitação Resolução feita com auxílio de softwares como Python inclusive os gráficos e por tanto embora os resultados apresentados tenham apenas de algumas casas deci mais no cálculo foram usadas todas as casas permitidas exceto quando o enunci ado informa a precisão Sou da área de exatas então de imediato peço perdão para os possíveis erros grama ticais ou mal uso da língua culta Tento manter o texto e o raciocínio o mais simples e direto possível A resolução foi inteiramente baseada no arquivo enviado e nas instruções passadas Portanto tabelas ábacos referencial teórico simbologia metodologia e a formatação podem diferir do que o seu professor costuma usar Neste caso sugerese que ao passar a limpo se deva fazer as adaptações necessárias Este documento não foi escrito no Word ou LibreOffice por isso sua qualidade não se compara Ele foi redigido em LATEX2ε um sistema de preparação de documentos de alta qualidade voltado para áreas técnicas e científicas sendo o formato padrão em documentos de comunicação ou publicação científica O PDF gerado necessita de um visualizador de PDF para versões de PDF acima de 15 Então tome cuidado com apps de smartphones e prefira sempre o visualizador do Google Se gostou do meu serviço faça um comentário para os atendentes da MeuGuru e nos recomende Também aceito novas sugestões meu interesse é sempre melhorar o serviço Notação aproximadamente L transformada de Laplace de L 1 transformada inversa de Laplace de yt derivada de y em relação a t yt derivada de segunda ordem de y em relação a t yt derivada de terceira ordem de y em relação a t ζ coeficiente de amortecimento de uma função transferência de 2a ordem ωn frequência natural de uma função transferência de 2a ordem Comentários A resolução das questões estão feitas em passo a passo com a explicação do raciocínio tomado Mas em especial textos em roxo são comentários de caráter meramente didático ou para complementar uma informação que pode ser útil nos estudos Utilizouse como referência principal o livro do Ogata Engenharia de Controle Moderno na sua quinta edição traduzida Mas alguns conteúdos foram tirados do Control Systems Engineering 7ª ed inglês escrito pelo Nise Em todas as questões exceto a 3b não houve nenhum problema ou questionamentos Contudo na 3b foi constatado que embora o exercício tenha sido pensado para a resolução via Teorema do Valor Final eu verifiquei que este Teorema não podia ser aplicado a função transferência do erro Es visto que o denominador dela tem raízes com partes reais positivas Mas como eu acredito que o professor queria esta abordagem e não deve ter percebido a inconsistência acabei resolvendo das duas formas Questão 1 Para obter a função transferência Gs YsUs primeiro aplicamos a transformada de Laplace da EDO considerando as condições iniciais nulas Assim Lÿt 10ẍt 8ẏt 5yt L3ut ṙt lembrando que a transformada de Laplace de uma derivação Lyn sⁿYs logo s³Ys 10s²Ys 8sYs 5Ys 3Us sUs Isolando Ys na esquerda e Us na direita segue Yss³ 10s² 8s 5 Uss 3 A função de transferência do sistema é Gs YsUs s 3s³ 10s² 8s 5 Para a obtenção da representação em espaço de estados escolhemos a forma canônica do controlador ao qual resultará em ẋ₁ ẋ₂ ẋ₃ᵀ 10 8 5 1 0 0 0 1 0 x₁ x₂ x₃ᵀ 1 0 0ᵀ ut y 0 1 3 x₁ x₂ x₃ᵀ Questão 2 Letra a Seja a malha aberta dada por Fs 1ss 3 então a função transferência da malha fechada Hs é Hs YsRs Fs1 Fs 1ss 31 1ss 3 1ss 3 1 1s² 3s 1 um sistema de segunda ordem com 2 polos e nenhum zero Note que ao compararmos com a forma padrão Gs Kωₙ²s² 2ζωₙs ωₙ² percebemos que neste sistema temos Kωₙ 1 ωₙ² 1 2ζωₙ 3 isto é ωₙ 1 rads ζ 32 K 1 Letra b Os zeros do sistema são as raízes do numerador então vemos que não há zeros neste sistema Os polos são as raízes do denominador então aplicando a fórmula de Bháskara p 3 9 42 p₁ 15 055 2618 p₂ 15 055 0382 Então o mapa de polos e zeros resultante é Im Re 2618 0382 Observe que temos 2 polos distintos e que o ganho do sistema é unitário Podemos então utilizar a equação 517 do Livro do Ogata p 153 da 5ª ed para a resposta do sistema observe que o autor obteve a equação aplicando uma entrada em degrau unitária a malha fechada e obtendo a transformada inversa de Laplace deste sinal Neste caso yt 1 1215² 1 e2618t2618 e0382t0382 1 04472 e2618t2618 e0382t0382 t 0 Veja que a dinâmica dominante é de p₂ logo esperase que o sistema acomode em aproximadamente 40382 105 s Então a resposta do sistema é yt 1 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t Questão 3 Letra a Pela equação 3 temos que o sistema está em realimentação negativa Ainda Aplicando a equação 1 na 2 verificamos que o sistema está em cascata Logo o diagrama de blocos é como mostrado Rs Es 1s3 As 1s²s5 Cs A função transferência do ramo direto também chamada de função transferência de malha aberta é Fs CsEs 5s3 2s²s5 10s²s3s5 10s⁴ 8s³ 15s² Então a função transferência do sistema é Gs Cs Rs Fs 1 Fs 10 s⁴ 8s³ 15s² 10 s⁴ 8s³ 15s² 1 10 s⁴ 8s³ 15s² 10 Letra b De Fs percebemos que o sistema é do tipo 2 Contudo antes de aplicar o Teorema do Valor Final temos primeiramente que verificar se o sistema de malha fechada é estável Aplicando o critério de Routh segue s⁴ 1 15 10 s³ 8 0 0 s² 15 10 0 s¹ 163 0 0 s⁰ 10 0 0 Veja que houve uma mudança de sinal na primeira coluna então o sistema é instável De fato obtendo as raízes computacionalmente temos p₁ 4746 p₂ 3547 p₃₄ 0146 j0757 no qual percebemos que o par de polos complexos é instável e oscilatório Sendo assim a aplicação do Teorema do Valor Final não é possível E sabemos que a resposta do sistema irá divergir para infinito de modo oscilatório e portanto o erro estacionário é infinito Acreditase que o professor não verificou a estabilidade da malha fechada mas esperava a resolução pelo Teorema do Valor Final Portanto será feito como um bônus esta resolução abaixo MAS ressaltando que terá validade apenas didática Resolução pelo Teorema do Valor Final O erro é descrito por Es Rs Cs Rs EsFs logo resolvendo para Es Es Rs 1 Fs aplicando o Teorema do Valor Final aqui está o erro porque quando substituirmos obteremos um sistema instável que nesta resolução iremos desconsiderar temos que o erro de regime permanente é ess lim s0 sRs 1 Fs Da expressão acima falta somente Rs ao qual obtemos aplicando a transformada de Laplace em rt Rs 2ℒ1 10ℒt 6ℒt² 2 s 10 s² 12 s³ 2s² 10s 12 s³ Portanto ess lim s0 s2s² 10s 12 s³ 1 10 s²s 3s 5 lim s0 2s² 10s 12 s² 1 10 s²s 3s 5 lim s0 2s⁴⁰ 10s⁷⁰ 12s⁷⁰ 3s⁷⁰ 5 s²⁰s⁷⁰ 3s⁷⁰ 5 10 1235 10 18 Ou seja o erro de regime permanente é ess 18 Questão 4 Podemos analisar a estabilidade do sistema aplicando o critério de Routh na equação característica então s⁵ 1 12 4 s⁴ 8 20 K s³ c₁ c₂ 0 s² d₁ d₂ 0 s¹ e₁ 0 0 s⁰ f₁ 0 0 Então calculamos c₁ 812 20 8 95 c₂ 84 K 8 4 K8 d₁ 2095 84 K8 95 158 K 95 d₂ 95K 95 K e₁ 158 K 95 4 K8 95K 158 K 95 158 K4 K8 9025K 158 K f₁ K Note então que o sistema será estável se c₁ d₁ e₁ f₁ 0 Portanto de f₁ concluímos de imediato que K 0 Para d₁ verificamos que se K 0 d₁ 0 Por fim devemos analisar e₁ mas note que o seu dominador sempre será positivo se K 0 e assim temos que 158 K4 K8 9025K 0 e aplicando manipulações algébricas chegamos em 0125K² 1095K 79 0 x8 K 848K 5056 0 note que o lado esquerdo descreve uma parábola com concavidade voltada para cima e então o intervalo entre as raízes é positivo Neste caso achando as raízes por Bháskara segue 848 848² 45056 2 K₁ 424 3042 592 K₂ 424 3042 85392 Portanto como K 0 concluímos que a faixa de estabilidade para o sistema é 0 K 3042 424 Questão 5 Letra a Primeiro dividimos encima e embaixo por 2 logo Hs 65 25s 1 comparando com a forma Gs K Ts 1 obtemos que T 25 s K 65 Letra b Aplicando a transformada de Laplace no sinal de excitação temos Cs ℒct 2ℒt 2 s² Assim a saída será Ys HsCs 13 s²25s 1 fazendo a expansão em frações parciais temos A 25s 1 B s C s² As² Bs25s 1 C25s 1 s²25s 1 A25Bs² B 25Cs C s²25s 1 Então temos o sistema A 25B 0 B 25C 0 25C 13 C 13 B 325 A 8125 E então Ys 8125 25s 1 325 s 13 s2 325 s 04 325 s 13 s2 aplicando a transformada de Laplace inversa temos LYs 325 L1 1 s 04 325 L1 1 s 13 L1 1 s2 isto é yt 325 e04t 325 13t