Exame Final - Álgebra Linear

Módulo D - 117875. 7 - Fael - Álgebra Linear (Engenharia de Produção) - D.2022.2.D Exame Final Pergunta 1 1/1 Uma matriz A quadrada non é dita diagonalizável, se e somente se, tiver n autovetores que são linearmente independentes. Assim pode-se dizer que a matriz A é semelhante a uma matriz diagonal D, cujo valor pode ser encontrado por: D = P^(-1) . A . P . Onde P é uma matriz cujas colunas são respectivamente os n autovetores linearmente independentes de A. Diante disso, encontre a matriz P de autovetores da matriz [matrix] A = [-1 3; 3 5] Ocultar opções de resposta → A. [matrix] P = [5 -2; -3 3] B. [matrix] P = [-2 5; -3 -3] C. [matrix] P = [2 1; 2 1] D. [matrix] P = [1 -1; 0 1] E. [matrix] P = [1 3; 1 2] Reposta correta Pergunta 2 1/1 A dimensão de espaço vetorial, representado por 'dim V', tem como significado a quantidade de vetores de base À desse espaço V que terá a mesmo quantidade de vetores. A dimensão do espaço vetorial V gerado pelo conjunto A = {(1, -2),(1, 0)}€ R^2 Ocultar opções de resposta → A. dim V = 4 B. dim V = 1 C. dim V = 2 D. dim V = 5 E. dim V = 3 Resposta correta Pergunta 3 1/1 Com relação à dimensão de um espaço vetorial, avalie as afirmativas: I - Se a base do espaço vetorial V possui n vetores, então dim V = n. II - Se a base de espaço vetorial V possui n+1 vetores, então dim V = n. III - Se o espaço vetorial V não possui base, então dim V < 1. As afirmativas corretas são: Ocultar opções de resposta → A. Apenas I B. Apenas I e II C. Apenas I e III D. Apenas II e III Reposta correta Pergunta 4 1/1 A Álgebra Linear é uma das áreas da matemática que tem várias aplicações. Dentre elas podemos citar a “mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc.” (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. O prefixo eigen - do alemão - significa próprio, característica): Disponível em: https://www.somscbg.net.br/alvo/eigen1. Acesso em 20/04/2020. Ainda falando sobre autovalores, é interessante falar sobre a duplicidade relacionada a autovalores iguais. Considerando este conceito sobre autovalores assinale a opção correta sobre os autovalores da matriz A. [matrix] A = [0 0 1; 0 1 0; 1 0 1] Ocultar opções de resposta → A. A matriz não é invertível, por isso não é possível encontrar os autovalores. B. Existem apenas dois autovalores, cada um com multiplicidade 1. C. Existem apenas três autovalores, dois iguais a 1 (multiplicidade dois) e outro igual a 2 (multiplicidade 1). D. Existem apenas três autovalores, um deles com multiplicidade 2 e outro com multiplicidade 1. E. A matriz possui 3 autovalores iguais a 0 (zero), ou seja, tem multiplicidade 3. Resposta correta Pergunta 7 A diagonalização de uma matriz significa transformar uma matriz não diagonal em uma matriz diagonal equivalente. O processo de diagonalização de uma matriz pode ser feito usando cálculo numérico, como por exemplo a decomposição LU. Outra maneira é utilizando os autovalores e autovetores. Lembrando deste processo, numere a sequência abaixo na ordem crescente em que este processo ocorre. () Descobrir os autovalores. () Executar a multiplicação de matrizes. () Encontrar o polinômio característico. () Descobrir a matriz inversa. () Descrever a matriz de transformação independente. () Calcular a matriz inversa. Ocultar opções de resposta A) 1,3,5,4,2 B) 1,2,5,2,4 C) 2,3,5,1,4 D) 2,5,1,3,4 E) 2,3,5,1,4 Pergunta 8 Escrevendo um vetor v como uma combinação linear de uma base A, os escalares a1, a2, a3, ... , an, são chamados de componentes da base. Considerando a base A = (1,2),(1,3) do R2 e o vetor v = (4,5), os componentes desta base são: Ocultar opções de resposta A) x=7 e y=-3 B) x=3 e y=-3 C) x=3 e y=7 D) x=7 e y=3 E) x=7 e y=-7 Pergunta 9 Para encontrar autovetores primeiro é necessário encontrar os autovalores, pois os autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros autovetores. Assim: “Sendo A uma matriz de ordem n, definimos uma autovalor de A como um escalar λ∈ C se existe um vetor v≠(1,1) não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.” Disponível em: https://icmc.usp.br/martiniano/textos/Aut0152020/aut008.pdf, acesso em: 26/01/2020. Com isso, conhecendo a matriz A e sabendo que seus autovalores são 2 e 3, qual dos autovetores abaixo correspondem à matriz A dada e aos seus autovalores? Ocultar opções de resposta A) v_1 = (2,1) e v_2 = (1,1) B) v_1 = (1,2) e v_2 = (1,0) C) v_1 = (-1,1) e v_2 = (1,0) D) v_1 = (1,1) e v_2 = (-1,-1) E) v_1 = (-1,2) e v_2 = (1,2) Pergunta 10 Para que o conjunto de vetores v_1 = (2,4) e v_2 = (1,2) sejam L.D., um dos valores possíveis dos coeficientes deve ser: Ocultar opções de resposta A) a=0 e b=-4 B) a=3 e b=2 C) a=2 e b=0 D) a=2 e b=-4 E) a=1 e b=-1