Questões Algebra

Dados os pontos A1 2 B3 1 e C2 4 determinar o ponto D de modo que CD 12 AB a D 0 52 b D 0 32 c D 1 0 d D 2 0 e D 1 6 Dado o vetor w 3 2 5 determinar a e b de modo que os vetores u 3 2 1 e v a 6 b 2w sejam paralelos a a 6 b 14 b a 8 b 23 c a 9 b 15 d a 8 b 12 e a 9 b 15 Para quais valores de k o sistema linear kx 2y 0 kx ky 0 admite apenas a solução trivial a K diferente de 0 e K diferente de 2 b k diferente de 1 e k diferente de 2 c k diferente de zero d para qualquer valor de k positivo e para todo k real No sistema de equações x y z 1 x y w 2 x z w 3 y z w 4 o valor da incógnita w é a 73 b 83 c 53 d 43 e 23 ÁLGEBRA LINEAR Questão 1 Dados os pontos A1 2 B3 1 e C2 4 Seja o ponto Dx y temos que CD D C x y 2 4 x 2 y 4 AB B A 3 1 1 2 3 1 1 2 4 3 Se CD 12 AB então CD 12 AB x 2 y 4 12 4 3 x 2 y 4 2 32 x 2 2 y 4 32 x 2 2 y 32 4 x 0 y 52 Logo seguese que D 0 52 Portanto a alternativa correta é a D 0 52 Questão 2 Dados os vetores w 3 2 5 u 3 2 1 v a 6 b 2 w temos que v a 6 b 2 w a 6 b 23 2 5 a 6 b 6 4 10 a 6 10 b 10 Para que os vetores u e v sejam paralelos deve existir um número real k tal que u k v 3 2 1 ka 6 10 b 10 3 2 1 ka 6k 10k kb 10k 3 ka 6k 2 10k 1 kb 10k Pela segunda equação temos que 2 10k k 210 k 15 Substituindo k 15 na primeira equação temos que 3 15 a 615 3 15 a 65 15 a 6 a 15 6 9 Substituindo k 15 na terceira equação temos que 1 15 b 1015 1 15 b 2 5 b 10 b 5 10 15 Logo seguese que a 9 e b 15 Portanto a alternativa correta é c a 9 e b 15 Questão 3 Seja o sistema linear homogêneo kx 2y 0 kx ky 0 Chamase solução trivial do sistema linear homogêneo a solução que satisfaz x 0 e y 0 Para que o sistema linear homogêneo admita apenas a solução trivial isto é seja possível e determinado é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes não seja nulo Desse modo devemos ter k 2 0 k² 2k 0 kk 2 0 k 0 e k 2 k k Logo seguese que k 0 e k 2 Portanto a alternativa correta é a k diferente de 0 e k diferente de 2 Questão 4 Dado o sistema linear x y z 1 x y w 2 x z w 3 y z w 4 A matriz dos coeficientes do sistema linear é 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 e a matriz aumentada do sistema linear é 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 4 Pelo Método de Gauss temos 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 4 L2 L1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 0 1 1 1 4 L3 L1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 1 4 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 1 4 I3 I2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 4 L4 L2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 2 6 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 2 6 L4 L3 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 3 7 Com isso obtemos o sistema x y z 1 y w 2 z w 1 3w 7 Pela última equação temos que 3w 7 w 73 Portanto a alternativa correta é a w 73 Gabarito Questão 1 2 3 4 Reposta a c a a