Exercício de Fixacao

Questão 1 16 pts Calcule D xy dA onde D é uma região limitada pelas reta y x 1 e pela parábola y² 2x 6 R 36 Questão 2 16 pts Calcule D x² 2y dA D é uma região delimitada por y x e y x² x x 0 R 2384 Questão 3 16 pts Suponha que a temperatura em graus Celsius num ponto x y de uma chapa metálica plana seja dada por fx y 10 8x² 2y² onde x e y são medidos em metros Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por 0 y 1 e 0 x 2 R 143 Questão 4 16 pts Calcule as integrais iteradas dada por Resposta 920 Questão 5 16 pts Calcule R fx y dxdy onde fx y x e B o triângulo de vértices 00 11 e 20 R 1 1 A IDENTIFICAR AS FUNÇÕES Função externa u⁴ onde u 3x² 2x 5 Função interna u 3x² 2x 5 DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA EM RELAÇÃO A U ddu u⁴ 4u³ DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA EM RELAÇÃO A X ddx 3x² 2x 5 6x 2 APLICAR A REGRA DA CADEIA fx ddu u⁴ dudx 4u³ 6x 2 SUBSTITUINDO u DE VOLTA NA EXPRESSÃO fx 4 3x² 2x 5³ 6x 2 PORTANTO A DERIVADA DE fx 3x² 2x 5⁴ é fx 4 3x² 2x 5³ 6x 2 B IDENTIFICAR AS FUNÇÕES COMPOSTAS A função gx sin u onde u 2x² 5x DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA A derivada de sin u em relação a u é cos u DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA dudx ddx 2x² ddx 5x 4x 5 APLICANDO A REGRA DA CADEIA dgdx cos u dudx Substituindo u e dudx dgdx cos 2x² 5x 4x 5 RESULTADO FINAL gx 4x 5 cos 2x² 5x C IDENTIFICAR AS FUNÇÕES INTERNAS E EXTERNAS Função externa eu onde u x4 3x Função interna u x4 3x DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA EM RELAÇÃO A FUNÇÃO INTERNA A derivada de eu em relação a u é eu DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA EM RELAÇÃO A X A derivada de u x4 3x em relação a x é dudx 4x3 3 APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de hx é dada por dhdx ddueu dudx SUBSTITUINDO AS DERIVADAS CALCULADAS dhdx ex4 3x 4x3 3 RESULTADO FINAL A derivada de hx é hx ex4 3x 4x3 3 Assim a derivada de hx ex4 3x é hx ex4 3x 4x3 3 D Função externa uv lnv Função interna vx 7x2 1 A derivada da função externa em relação a v é dudv 1v A derivada da função interna em relação a x é dvdx ddx7x2 1 14x Aplicando a regra da cadeia a derivada de Px em relação a x é dPdx dudv dvdx 17x2 1 14x A derivada de Px é dPdx 14x 7x2 1 E A derivada hx é dada por hx fgx gx No caso fu tanu e gx 2x 1 1 Derivada de fu tanu fu sec2u 2 Derivada de gx 2x 1 gx 2 3 Aplicando a regra da cadeia para encontrar qx qx fgx gx sec22x 1 2 A derivada de qx tan2x 1 qx 2 sec22x 1 F Função externa cosu onde u 5x2 3x Derivando a função externa A derivada de cosu em relação a u é sinu Derivando a função interna A função interna é u 5x2 3x A derivada de u em relação a x é dudx ddx5x2 3x 10x 3 Aplicando a regra da cadeia A derivada de rx em relação a x é dada por rx ddxcosu sinu dudx Substituindo u e dudx rx sin5x2 3x 10x 3 Portanto a derivada da função rx cos5x2 3x é rx 10x 3 sin5x2 3x G IDENTIFICANDO AS FUNÇÕES ux 3x 4 sx ux13 DERIVANDO CADA FUNÇÃO Derivada de ux ux ddx 3x 4 3 Derivada de su u13 ddu u13 13 u23 APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de sx é sx 13 3x 423 3 SIMPLIFICANDO sx 33 3x 423 3x 423 A DERIVADA DE SX 3x 413 é sx 3x 423 2º IDENTIFICAR AS FUNÇÕES INTERNAS E EXTERNAS A função externa é u12 onde u 5x3 2x2 8x 1 A função interna é u 5x3 2x2 8x 1 DERIVANDO A FUNÇÃO EXTERNA A derivada de u12 em relação a u é 12 u12 DERIVANDO A FUNÇÃO INTERNA Derivando u 5x3 2x2 8x 1 em relação a x temos dudx 15x2 4x 8 APLICANDO A regra da cadeia A derivada de Cx em relação a x é dada por dCdx 12 5x3 2x2 8x 112 15x2 4x 8 AVALIAR A DERIVADA EM X 2 calculando u em x 2 u 523 222 82 1 40 8 16 1 33 Substituindo u e du na expressão da derivada dCdx x2 12 3312 1522 42 8 calculando dudx em x 2 dudx x2 1522 42 8 60 8 8 60 dCdx x2 12 60sqrt33 30sqrt33 3º IDENTIFICANDO A FUNÇÃO COMPOSTA A função é Vt eu onde u t2 3t APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de eu em relação a t é eu dudt CALCULANDO dudt u t2 3t dudt ddt t2 3t 2t 3 SUBSTITUINDO NA REGRA DA CADEIA Vt et2 3t 2t 3 CALCULANDO A1 substituindo t 1 na expressão de Vt a1 e12 31 21 3 a1 e1 3 2 3 a1 e4 5 A aceleração do carro no instante t 1 é se4 4º Derivada de Tx A função é Tx lnu onde u 3x² 4x 1 usando a regra da cadeia para derivar Tx ddx lnu 1u dudx Derivada de u u 3x² 4x 1 Derivando u em relação a x dudx 6x 4 Substituindo na derivada de Tx Tx 13x² 4x 1 6x 4 Simplificando Tx 6x 43x² 4x 1 Avaliando em x 1 Substituindo x 1 no derivada T1 61 431² 41 1 6 43 4 1 108 54 A taxa de variação da temperatura no instante x 1 é 54 5º DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL A função é da forma ft egt onde gt 2t² 3 A derivada de egt é egt gt DERIVADA DE gt 2t² 3 gt ddt 2t² 3 4t APLICANDO A REGRA DA CADEIA vt ddt 5 e2t² 3 5 e2t² 3 4t Portanto vt 20t e2t² 3 AVALIANDO EM t 3 v3 20 3 e23² 3 60 e18 3 60 e21 A taxa de variação do valor do Investimento no instante t 3 é 60 e21 6º A função dada é dt sin4t² 2t Seja ut 4t² 2t temos dt sinut Derivada de sinu em relação a t é ddt sinut cosut dudt Calculando dudt ut 4t² 2t dudt ddt 4t² 2t 8t 2 A derivada da função distância é vt cos4t² 2t 8t 2 Substituindo t 1 para encontrar a velocidade no instante t 1 v1 cos41² 21 81 2 v1 cos4 2 8 2 v1 cos6 10 A velocidade do objeto no instante t 1 é v1 10 cos6 7º ENCONTRANDO A DERIVADA Ct A função Ct cos 3t² 5t é uma composição de funções então usaremos a regra da cadeia Seja ut 3t² 5t Assim Ct cos ut A derivada de cos u em relação a u é sin u USANDO A REGRA DA CADEIA Ct sin ut ut CALCULANDO ut ut 3t² 5t ut 6t 5 SUBSTITUINDO NA EXPRESSÃO DE Ct Ct sin 3t² 5t 6t 5 AVALIAR Ct EM t 2 Substituindo t 2 na expressão de Ct C2 sin 3 2² 5 2 6 2 5 CALCULANDO OS VALORES 3 2² 5 2 3 4 10 12 10 22 6 2 5 12 5 17 PORTANTO C2 sin 22 17 A taxa de variação da concentração no instante t 2 é 17 sin 22 8º DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA A função Nt tan u onde u 2t² 3t A derivada de tan u em relação a u é sec² u DERIVADA DE u EM RELAÇÃO A t u 2t² 3t dudt ddt 2t² 3t 4t 3 DERIVADA DE Nt usando a regra da cadeia dNdt sec² u dudt Substituindo u e dudt dNdt sec² 2t² 3t 4t 3 AVALIANDO EM t 2 calculando u quando t 2 u 2 2² 3 2 8 6 2 Substituindo dNdt dNdt t2 sec² 2 4 2 3 sec² 2 5 CALCULANDO sec² 2 sec² 2 1cos 2² 1cos² 2 A taxa de variação no instante t 2 é dNdt t2 5cos² 2 9º Se ut 4t³ 2t 1 então ht ut⁵ A DERIVADA DE ht EM RELAÇÃO A t é ht 5 ut⁴ ut CALCULANDO ut ut 4t³ 2t 1 ut 12t² 2 SUBSTITUINDO ut e ut NA EXPRESSÃO PARA ht ht 5 4t³ 2t 1⁴ 12t² 2 CALCULANDO h1 calculando u1 u1 4 1³ 2 1 1 4 2 1 3 SUBSTITUINDO EM ht h1 5 3⁴ 12 1² 2 h1 5 x 81 x 10 h1 4050 10 DERIVADA DE Lt se ut 3t² 4t 1 então Lt ut⁵ A DERIVADA DE Lt EM RELAÇÃO A t é Lt 5 ut⁴ ut CALCULANDO ut ut 3t² 4t 1 ut 6t 4 SUBSTITUINDO NA EXPRESSÃO PARA Lt Lt 5 3t² 4t 1⁴ 6t 4 AVALIANDO Lt em t 1 substituindo t 1 na expressão de Lt u1 31² 4 1 1 3 4 1 0 u1 61 4 2 L1 50⁴ 2 0