Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear - Autovalores Espaços Nulos e Imagem

Os subespaços aNulA e ImA são importantes subespaços associados a uma transformação matricial Determine esses espaços para a matriz I2x2 Escolha uma opção a aNulA R2 e IA R4 b aNulA 0 e IA R4 c aNulA R2 e IA 0 d aNulA R2 e IA R2 e NulA 0 e IA R4 Em R5 considere o conjunto de vetores C 13041 34121 41120 05102 31204 e determine a dimensão e uma base para o gerado de C Escolha uma opção a C é linearmente independente e portanto uma base de um subespaço de dimensão 5 logo o gerado de C é o próprio R5 b O conjunto 13041 34121 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 2 c O conjunto 13041 34121 05102 31204 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 4 d O conjunto 13041 05102 31204 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 3 e O conjunto 13041 é uma base do gerado de C que é um subespaço de dimensão 1 I SMOnbsyh Arquivo1 det12 A 12 detA 12 det12 A 12 Arquivo 2 Próxima página Arquivo 3 det 2 1 1 5 4 2 2 10 0 1 0 1 7 21 13 99 1 132 2 1 5 9 2 10 7 13 99 134 2 1 1 4 2 2 7 21 13 2 1 5 4 2 10 7 13 99 4 2 8 1 1 9 2 7 21 13 896 70 260 70 260 396 52 17 84 17 84 4 13 0 det 2 1 1 5 4 2 2 10 0 1 0 1 7 21 13 99 0 Arquivo 2 O núcleo de B é o conjunto dos vetores ax² bx c tais que Bax² bx c 000 Logo temos que Bax² bx c 000 a b 2c 2a b c a 2b 3c 000 a b 2c 0 i 2a b c 0 ii a 2b 3c 0 iii fazemos i ii 3a c 0 I iii i 3b 5c 0 II Disso veja que i ii 2ii iii ou 2ii iii 3a c 0 III seja ii i iii De I obtemos que c 3a Por outro lado de II temos que 3b 5c 0 b 13 5c 3a53 5a Daí escrevemos o vetor nulo como ax² bx c a x² 5ax 3a a x² 5x 3 Logo com KerB x² 5x 3 segue que sua dimensão é 1 Portanto pelo teorema do núcleo e imagem temos que dim ImB dim KerB 3 dim ImB 2 Arquivo 4 A alternativa é o item d Arquivo 5 Logo temos que F xyz R³ x 2y 3z 0 5x 2y z 0 Logo x 2y 3z 0 5x 2y z 0 6x 4z 0 z 32 x Logo 5x 2y 32 x 0 72 x 2y 0 y 72 x Daí temos que os vetores de F são tais que xyz x 72 x 32 x x 1 72 32 x R e uma base de F é 1 72 32 ou 4 7 6 Resposta b Arquivo 6 A resposta é o item b pois dados dois vetores do conjunto se obtem sempre a condição de ortogonalidade que é uvD 0 uv 213123151210 De fato veja que 213123D 42 52 29 0 213151210D 430 512 230 120 60 60 0 123151210D 415 524 230 120 120 0 E a ortogonalidade é verificada Logo segue que a nulidade do conjunto é aNulI e a ImI Arquivo 10 A 3 6 2 5 Vamos achar as matrizes L e U tais que A LU Com feito 3 6 2 5 L2 L1 23 L2 3 6 0 1 Logo temos que a matriz U 1 2 0 1 Já a matriz L é L 1 0 23 1 Então temos que A LU 1 0 23 13 6 0 1 3 6 2 5 1 0 23 131 2 0 1 3 0 2 11 2 0 1 L 3 0 2 1 e U 1 2 0 1 Letra a 02112023 1018 ATIVIDADE ONLINE 2 AV220234 httpsmoodleeadunifcvedubrmodquizattemptphpattempt3151209 13 Painel Meus cursos GAALENGMDI AVALIAÇÕES 20234 ATIVIDADE ONLINE 2 AV220234 02112023 1018 ATIVIDADE ONLINE 2 AV220234 httpsmoodleeadunifcvedubrmodquizattemptphpattempt3151209 23 Questão 1 Ainda não respondida Vale 020 pontos Encontre as matrizes L e U que permitam efetuar uma fatoração LU da matriz Escolha uma opção a b c d 02112023 1018 ATIVIDADE ONLINE 2 AV220234 httpsmoodleeadunifcvedubrmodquizattemptphpattempt3151209 33 e Em R³ dados u u₁u₂u₃ v v₁v₂v₃ considere o produto interno ponderado u v D 4u₁v₁ 5u₂v₂ 2u₃v₃ e assinale o conjunto ortogonal de vetores em relação à D Se F é o subespaço vetorial de R³ formado pelos vetores v xyz que satisfazem x 2y 3z 0 e 5x 2y z 0 dê uma base de F e a dimensão desse subespaço Os elementos nulos de uma matriz são muito uteis no cálculo de determinantes assim como a análise das linhas de uma matriz Com isso em mente utilize as propriedades dos determinantes para calcular o determinante da matriz Considere P₂ o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais e a transformação linear B P₂ R³ tal que Bax² bx c a b 2c 2a b c a 2b 3c Podese afirmar sobre a imagem de B Escolha uma opção a ImB b ImB é um subespaço de dimensão 1 c ImB é um subespaço de dimensão 4 d ImB é um subespaço de dimensão 2 e ImB R³ Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades Utilizeas para calcular det12 A sabendo que a matriz A₃x₃ é tal que detA 1 Escolha uma opção a 12 b 14 c 110 d 0 e 18 O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e por consequência de seus autovetores Se uma matriz tem como polinômio característico pλ 3 λ1 λ4 λ indique a dimensão dessa matriz Escolha uma opção a 2 b 6 c 3 d 1 e 4 Sendo E um espaço vetorial e F um subconjunto de E assinale a afirmação correta Escolha uma opção a F não é subespaço de E se F E ou se F b Se F é subespaço então 0 F c Se u v F então não necessariamente u v F d F precisa ser fechado em relação às operações de E e Se u v pertencem à F então u v E