Exercicios Resolvidos de Algebra Linear - Sistemas Lineares e Determinantes

ATENÇÃO É OBRIGATORIO APRESENTAR OS CALCULOS DAS ATIVIDADES 1 Calcule o determinante de A 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 5 3 5 6 2 utilizando a regra de Chiô 2 Conceitue sistema linear e sistema linear homogêneo destacando qual a principal diferença entre eles 3 Qual o sistema cuja forma matricial é S 1 6 8 2 8 1 x y 5 8 16 1 5 6 4 se A 2 8 4 1 3 1 1 2 2 é a matriz incompleta do sistema S e B 2 8 4 8 1 3 1 7 1 2 2 20 é sua matriz completa qual é este sistema 5 Podemos afirmar que a én upla 3 2 1 é solução do sistema S x y z 3 2x y z 1 x y 4z 2 porque apresentar os cálculos 1 S 2x y z 0 4x y 2z 0 o que podemos afirmar quanto a solução deste sistema Ele é possível e determinado Qual a solução Ele é impossível Ele é possível e indeterminado 2 Encontre a solução do sistema S x 2y 2z 6 x y z 0 por meio do teorema de Cramer x 2y z 5 3 Classifique o sistema S 2x 2y 2z 6 2x y z 10 em possível e 2x 2y z 5 determinado impossível ou possível e indeterminado seguindo o teorema de RouchéCapelli cálculos devem ser apresentados 4 Elabore um problema o qual a solução possa ser obtida por meio de sistema linear monte o sistema e a solução pelo método que achar melhor 1 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 5 3 5 6 2 1 23 1 22 2 23 2 33 2 32 5 33 5 33 6 32 2 33 5 3 4 11 4 4 4 0 7 det 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 5 3 5 6 2 det 5 3 4 11 4 4 4 0 7 140 48 64 231 107 2 Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que podem ter várias incógnitas e é dito homogêneo quando o termo independente de todas as equações é nulo Por exemplo 2x y 4 é um sistema linear mas não é 2x y 0 homogêneo pois o termo independente da primeira equação não é nulo é 4 Já o sistema x y 0 é homogêneo x y 0 3 Basta resolver 1 6 8 x 5 2 8 1 y 8 1 5 6 z 16 x 6y 8z 5 2x 8y z 8 x 5y 6z 16 x 6y 8z 5 2x 8y z 8 x 5y 6z 16 4 Assim o sistema tem a forma 2 8 4 x 8 1 3 1 y 7 1 2 2 z 20 2x 8y 4z 8 x 3y z 7 x 2y 2z 20 5 Para verificar vamos substituir x3 y2 z1 3 2 5 3 23 2 1 1 3 2 41 2 6 3 5 1 5 2 mas 6 3 5 1 5 2 logo 3 2 1 nao e solucao de S 1 Vamos passar o sistema para a forma matricial e escalonar 2 1 1 0 4 1 2 0 L2 L2 2L1 2 1 1 0 0 3 4 0 2x y z 0 3y 4z 0 Logo o sistema tem 3 incógnitas e a matriz dos coeficientes tem posto 2 e a matriz aumentada tem posto 2 Logo e um sistema possivel e indeterminado y 43 z 2x z 43 z x 16 z Logo as solucoes tem forma 16 z 43 z z z R 2 D 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 4 2 2 2 9 Dx 6 2 2 0 1 1 5 2 1 6 10 10 12 18 Dy 1 6 2 1 0 1 1 5 1 6 10 6 5 27 Dz 1 2 6 1 1 0 1 2 5 5 12 6 10 9 x 189 2 y 279 3 z 99 1 x 2 y 3 z 1 3 Colocando na forma matricial e escalonando para descobrir o posto da matriz dos coeficientes e a matriz aumentada 2 2 2 6 2 1 1 10 2 2 1 5 L2 L2 L1 2 2 2 6 0 3 3 4 0 4 1 11 L3 L3 43 L2 2 2 2 6 0 3 3 4 0 0 3 493 Logo o posto da matriz dos coeficientes e 3 e o posto da matriz aumentada e 3 e como o sistema possui tres incognitas entao ele e possivel e determinado 4 Problema Em um cercado ha pessoas e cachorros Num total ha 10 cabeças nesse cercado e 30 pernas Qual o numero de pessoas nesse cercado Solucao Sendo x o numero de pessoas e y de cachorros como cada pessoa ou cachorro tem exatamente 1 cabeça e cada pessoa tem 2 pernas e cachorro 4 pernas entao x y 10 y 10 x 2x 4y 30 2x 40 4x 30 4x 2x 40 30 2x 10 x 5 Logo sao 5 pessoas no cercado