Propriedades de Polinômios Irredutíveis sobre K

Se fx for irreduzível sobre K então o teorema é verdadeiro Se fx não é irreduzível sobre K então fx gx hx com 1 deggx n deghx n Pela hipótese indutiva temos que gx b q1x q2x qrx hx c q1x q2x qsx com b c K e qix qjx polinômios irreduzíveis sobre K Logo fx gx hx b c q1x q2x qrx q1x q2x qsx com b c K Vejamos agora a unicidade suponhamos que fx a p1x p2x pmx a p1x p2x pmx Então p1x a p1x p2x pmx pelo corolário 83 temos que existe 1 j s tal que p1x pj0x Como pjx é redutível sobre K temos que pj0x aj0p1x com aj0 K Isto é p1x e pj0x são polinômios associados Como Kx é um anel de integridade temos que a p2x pmx a aj0 p1x pj01x pj01x psx O mesmo raciocínio para p2x p3x Obtendo assim que m s e que a a a1 am 84 Exercícios 1 Determine todos os polinômios de grau 2 em Zx 2 Determine todos os polinômios monômios de grau 2 em Z3x e em Z5x 3 Sejam p primo e d N