Prova de Álgebra Linear - Matrizes Determinantes e Sistemas Lineares

I 05 val Questões de escolha múltipla Em cada questão de escolha múltipla apenas uma das afirmações a b c d é verdadeira Indiquea marcando no quadrado respectivo Deve justificar a afirmação que escolheu como sendo a verdadeira Deve também justificar porque é que as outras afirmações estão erradas 1 Considere as matrizes AB e C definidas por A 2 3 2 0 3 1 B 3 1 e C 1 2 Então a AB não é definido b AC é definido c BC² é invertível d CB é invertível 2 Sejam ABC M44C tais que det A 3 e det B det C i Então para todas as opções possíveis de A B e C temos que a detA B C 3 i b detAB C1 3i c detA²BC 9i d detB CA1 i3 Nos grupos seguintes justifique todas as suas respostas apresentando os raciocínios e os cálculos que efetuou para as obter II 1 val Sejam A 2 1 0 3 0 3 1 1 4 0 0 0 2 1 1 0 0 3 0 1 0 0 1 0 2 b 0 1 2 r3 5 em que r3 consiste nos três últimos dígitos do seu número de estudante por exemplo se o seu número de estudante for 2300123 então r3 123 a Determine justificadamente det A b A equação AX b tem uma solução única X x1 x2 x3 x4 x5T Determine justificadamente o valor do x4 Página 3 de 4 III 09 val Considere o sistema ax cy 1 ax 2y az 3 2y 2az 2c 1 onde a c R Determine para quais combinações de a e c o sistema 1 não tem solução tem uma solução única ou tem infinitas soluções IV 07 val Seja A 1 i 0 i 1 0 0 0 3 M33C Encontrar todas as matrizes em M33C que comutam com A V 09 val Sejam n 1 A MnnR tal que A tem a forma A 0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 0 0 a3 0 an1 an onde a1 a2 an R e os representam também valores arbitrários de R que podem ou não ser distintos Mostre que det A a1a2 an e descreva como escolher o nesta expressão dica isto só depende de n Fim Página 4 de 4 I ① a AB não é definido Falso O número de colunas de A 2 é igual ao número de linhas de B 2 Logo AB é definido b AC é definido Falso O número de colunas de A 2 é diferente do número de linhas de C 1 Logo AC não é definido c BC² é invertível Falso BC 3 1 1 2 3 6 1 2 BC² BC BC 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 detBC² 6 6 0 Como detBC² 0 então BC² não é invertível d CB é invertível verdade CB 1 2 3 1 1 detCB 1 0 como detCB 0 então CB é invertível 2 Sejam A B C M4x4C tais que det A 3 e det B det C i a det A B C 3 i Falso Pois por propriedade determinante temos det A B C det A det B det C b det A B C1 3i Falso Temos det A B C1 det A det B C1 14 det A det B C1 13 det B C1 Logo det A B C1 3i c det A2 BC 9i Falso det A2 BC det A2 det B det C 32 det B i det B 9 det B i det B2 d det B C A1 i3 verdade det B C A1 14 det B C det A1 1 det B C 1det A det B C 13 i3 supondo nesse caso det B det C det B C II a Vamos calcular o determinante por triangulização det A 2 1 0 3 0 L2 32 L1 L2 3 1 1 4 0 0 0 2 1 1 0 0 3 0 1 0 0 1 0 2 2 1 0 3 0 L4 32 L3 L4 L5 12 L3 L5 2 1 0 3 0 0 52 1 12 0 0 0 2 1 0 0 0 32 12 0 0 0 12 52 L5 13 L4 L5 2 1 0 3 0 0 52 1 12 0 0 0 2 1 0 0 0 32 12 0 0 0 0 73 2 52 2 32 73 35 Portanto det A 35 b Seja r3 659 Temos o seguinte sistema linear 2x1 x2 3x4 0 3x1 x2 x3 4x4 1 2x3 x4 x5 2 3x3 x5 659 x3 2x5 5 Vamos resolver o sistema por escalonamento método de Gauss 2 1 0 3 0 0 3 1 1 4 0 1 0 0 2 1 1 2 0 0 3 0 1 659 0 0 1 0 2 5 L2 32 L1 L2 2 1 0 3 0 0 0 52 1 12 0 1 0 0 2 1 1 2 0 0 3 0 1 659 0 0 1 0 2 5 L4 32 L3 L4 L5 12 L3 L5 2 1 0 3 0 0 0 52 1 12 0 1 0 0 2 1 1 2 0 0 0 32 12 656 0 0 0 12 52 4 L5 13 L4 L5 2 1 0 3 0 0 0 52 1 12 0 1 0 0 2 1 1 2 0 0 0 32 12 656 0 0 0 0 73 6443 Logo 2x1 x2 3x4 0 1 52 x2 x3 12 x4 1 2 2x3 x4 x5 2 3 32 x4 12 x5 656 4 73 x5 6443 5 De 5 73 x₅ 6443 x₅ 6443 37 x₅ 92 De 4 32 x₄ 12 x₅ 656 32 x₄ 12 92 656 x₄ 468 Portanto x₄ 468 III Considere o seguinte sistema linear ax cy 1 ax 2y az 3 2y 2ay 2c Vamos resolver o sistema por escalonamento método de Gauss i Suponha que a 0 Temos a c 0 1 a 2 a 3 0 2 2a 2c l2 l1 l2 a c 0 1 0 c 2 a 2 0 2 2a 2c l3 l2 l3 c x 2 l2 l3 a c 0 1 0 2 2a 2c 0 0 a ac dc dc x a c 0 1 0 2 2a 2c 0 c 2 a 2 Se c 1 a 0 o sistema tem 3 equações e 3 incognitas logo o sistema tem uma única solução Se c 1 a 0 A 3a equação do sistema é 0 c² 2c 2 onde c² 2c 2 0 Logo o sistema naõ tem solução 1 0 ii Suponha a 0 Temos 0 c 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2c l2 l1 0 2 0 3 0 c 0 1 0 2 0 2c l2 c 2 l1 l2 l3 l1 l3 0 2 0 3 0 0 0 3c 2 2 0 0 0 2c 3 Se 3c 2 0 c 2 3 A 2a equação do sistema é 0 3c 2 2 0 Logo o sistema não tem solução Se 2c 3 0 c 32 O sistema não tem solução Pois a 3ª equação do sistema será 0 2c 3 0 Observe ainda que c 32 e c 23 o sistema não terá solução Portanto o sistema tem uma solução se a 0 e c 1 O sistema não tem solução se a 0 e c 1 ou se a 0 e c IR qualquer O sistema não possui infinitas soluções IV Suponha que AB BA onde B a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 M3x3ℂ Temos AB 1 i 0 i 1 0 0 0 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 a4 i a2 a5 i a3 a6 i a4 a1 i a5 a2 i a6 a3 i 3 a7 3 a8 3 a9 Por outro lado BA a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 1 i 0 i 1 0 0 0 3 a1 a2 i a2 a2 a3 3 a3 a4 a5 i a4 i a5 3 a6 a7 a8 i a7 i a8 3 a9 Logo a1 a4 i a2 a5 i a3 a6 i a4 a1 i a5 a2 i a6 a3 i 3 a7 3 a8 3 a9 a1 a2 i a2 a2 a3 3 a3 a4 a5 i a4 i a5 3 a6 a7 a8 i a7 i a8 3 a9 Daí segue a1 a4 i a1 a2 i a4 a2 a2 a5 i a1 i a2 2 a2 a1 a5 i a4 a1 a5 i2 a3 a6 i 3 a3 2 a3 a6 i a3 a6 i 2 a4 a1 i a4 a5 i a1 i a5 i 2a4 a1 a5 i 2a4 a1 i a5 i 2 a1 i a5 i 2 a1 i a5 i a1 i a5 i 0 0 a5 a4 i a4 i a5 a4 a2 a6 a3 i 3a6 a6 a6 2 3a6 a6 0 3a7 a7 a8i 2a7 a8 i a7 a8 i 2 3a8 a7 i a8 3a8 a8 2 a8 a8 0 3a9 3a9 a9 a9 Logo a1 a1 a2 a1 a5 i 2 a3 0 a4 a1 a5 i 2 a5 a5 a6 0 a7 0 a8 0 a9 a9 Portanto as matrizes que comutam com A são da forma B a1 a1 a5 i 2 0 a1 a5 i 2 a5 0 0 0 a9 com a1 a5 a9 ε C V Por Laplace temos detA 0 Δ₁₁ 0 Δ₁₂ a₁ Δ₁ₙ onde Δ₁ₙ 1¹ⁿ 0 0 0 a₂ 0 0 a₃ 0 aₙ₁ aₙ 1¹ⁿ 0 Δ₁₁ aₙ₁ Δ₁ₙ₁ 1¹ⁿ a₂ Δ₁ₙ₁ onde Δ₁ₙ₁ 1¹ⁿ¹ 0 0 0 a₃ 0 0 a₄ aₙ Prosseguindo dessa forma obtemos detA a₁ a₂ aₙ Além disso se n é par o determinante é negativo se n é ímpar o determinante é positivo