Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais Ordinárias - EDO e Transformada de Laplace

1 Derivada de ordem 1 EDO de ordem 1 II dydx y dyy dx dyy dx Assim lny x c c IR y ex c ex ec c c IR y c ex III y x y 1 1 x y x 3 é exata IV De fato pois não há o termo y V É linear pois é do tipo ax y bx y cx y fx Verdadeiras Seja YS a solução da Equação Algébrica gerada pela aplicação da Transformada de Laplace na EDO com PVI abaixo y 2y ex onde y0 5 Suponha S0 qual é o valor de Y0 15 1 2 25 Pergunta 5 1 pts Dado a fração 4s2 s 1s1s2s3 os coeficientes A B e C que definem os numeradores da sua decomposição em frações parciais são respectivamente 1 7 5 15 17 2 5 1 7 2 15 17 y 2y ex Ly 2Ly Lex s3 Ys s2 y0 s y0 y0 2Ys 1s1 Para s0 obtemos 4 2Y0 101 4 2Y0 1 2Y0 3 Y0 15 alternativa A Temos L1 as2 a2 senhat L1 ss2 a2 coshat e sendo Ys 4s 1s2 9 4ss2 32 1s2 32 4ss2 32 13 3s2 32 então para a3 yt 4 cosh3t 13 senh3t alternativa A 2 Podemos escrever ft como ft 12 cos4t2 Como L1 1s e Lcosat ss2 a2 entao Fs 12 1s 12 ss2 42 Fs 12s s2s2 16 alternativa C 1 I Tem se yd x 2x dy 0 dxdy 2y x 0 O fator integrante é fy e 2y dy e2 lny elny2 y2 II Temos x y dx x 2y dy 0 x 2y dy x y dx dydx x y x 2y fxy Assim ftx ty tx ty tx 2ty tx y tx 2y fxy EDO homogênea de grau 1 III 2y y3 x2 12x 2ª ordem e é do tipo ax y bx y cx y fx linear IV Se y x3 y 3x2 y 6x Substituindo 2 6x 3x2 3 12x x2 é solução particular V é do tipo ax y bx y fx linear Verdadeiras 2 Tem se L eat cos bt s a s a2 b2 Assim para a 3 e b 2 L e3t cos 2t s 3 s 32 22 s 3 s 32 4 s 3 s2 6s 9 4 s 3 s2 6s 13 Alternativa D 3 y 2y ex Ly 2 Ly Lex s3 Ys s2 y0 s y0 y0 2Ys 1s1 Para s 0 obtenos 5 2Y0 101 5 2Y0 1 2Y0 4 Y0 2 Alternativa C 4 Tenemos Ys 6s2 8s 25 6s2 8s 16 9 6s 42 32 2 3s 42 32 Como L1 bsa2 b2 eat senbt entonces para b 3 e a 4 L1 Ys 2e4t sen3t Alternativa D 5 4s2 s 1 s1s2s3 As1 Bs2 Cs3 As2s3 Bs1s3 Cs1s2 s1s2s3 As2 5s 6 Bs2 4s 3 Cs2 3s 2 s1s2s3 s2A B C s5A 4B 3C 6A 3B 2C s1s2s3 A B C 4 5A 4B 3C 1 6A 3B 2C 1 2A 4 A 2 e estos 2 B C 4 10 4B 3C 1 B C 2 4B 3C 9 3 3B 3C 6 4B 3C 9 B 15 B 15 15 C 2 C 17 Alternativa D d3 y 4 d y d sen h t s3 Ys s2 y0 s y0 y0 4 s Ys y0 1 s2 1 s3 Ys 4 s Ys 1 s2 1 Ys s3 4 s 1 s2 1 Ys 1 s2 1s3 4 s 1 s2 1 s s2 4 ou seja Ys 1 s 1s 1 s s 2 s 2 Decompondo em frações parciais 1 s 1s 1 s s 2 s 2 A s 1 B s 1 C s D s 2 E s 2 A s 1 s s 2 s 2 B s 1 s s 2 s 2 C s 1 s 1 s 2 s 2 D s 1 s 1 s s 2 E s 1 s 1 s s 2 s 1 s 1 s s 2 s 2 A s3 s s2 4 B s3 s s2 4 C s2 1 s2 4 D s2 1 s2 2 s E s2 1 s2 2 s s 1 s 1 s s 2 s 2 A s4 4 s2 s3 4 s B s4 4 s2 s3 4 s C s4 4 s2 s2 4 D s4 2 s3 s2 2 s E s4 2 s3 s2 2 s s 1 s 1 s s 2 s 2 s4 A B C D E s3 A B 2 D 2 E s2 4 A 4 B 5 C D E s 4 A 4 B 2 D 2 E 4 C s 1 s 1 s s 2 s 2 Assim A B C D E 0 I A E 2 D 2 E 0 II 4 A 4 B 5 C D E 0 III 4 A 4 B 2 D 2 E 0 IV 4 C 1 C 14 II IV 3 A 3 B 0 3 A 3 B A B I III 3 A 3 B 4 C 0 3 B 3 B 4 14 0 6 B 1 0 B 16 A 16 Assim em I 1 C 16 14 D E 0 e em II 2 D 2 E 0 16 14 D E 0 D E 112 D E logo D D 112 2D 112 D 124 E portanto Ys 16 1s1 16 1s1 14 1s 124 1s2 124 1s2 sendo L1 1sa eat e L1 1s 1 segue que yt 16 et 16 et 14 124 e2t 124 e2t Como cosht et et2 então yt 13 et et2 14 112 e2t e2t2 yt 13 cosht 14 112 cosh2t Alternativa B Pergunta 1 15 pts Marque abaixo TODAS as afirmativas VERDADEIRAS fy y é um fator integrante de y dx 2x dy 0 x y dx x 2y dy 0 é uma EDO homogênea de grau 2 2y y3 x2 12x é uma EDO de segunda ordem não linear y x3 é uma solução particular da equação 2y y3 x2 12x 3 dydx sen2x y x2 é uma EDO linear Pergunta 4 1 pts Qual é a transformada inversa de Laplace da função YS 6S2 8S 25 yt 6e4t sen3t yt 6e5t sen8t yt 2e5t sen8t yt 2e4t sen3t Pergunta 2 1 pts Qual é a transformada de Laplace da função ft e3t cos2t Fs ss 3s2 4 Fs ss2 4 Fs ss2 9 Fs s 3s2 6s 13 Pergunta 6 15 pts Encontre por Laplace a solução da EDO3 abaixo y 4y senh t y0 0 y0 0 y0 0 yt 14 13 senht 112 senh2t yt 14 13 senht 112 cosh2t yt 14 13 cosht 112 cosh2t yt 14 13 cosht 112 senh2t Pergunta 1 15 pts Marque abaixo TODAS as afirmativas VERDADEIRAS dydx7 3y8 é uma equação diferencial de ordem 7 y cex é uma solução geral da equação diferencial y y 0 x y 1 dx y x 3 dy 0 é um EDO exata y 2y 0 é uma EDO de segunda ordem não redutível à primeira ordem y 5y x2 y 0 é uma equação de segunda ordem não linear Pergunta 2 1 pts Qual é a transformada de Laplace da função ft cos22t Fs 1 2s 4 s2 16 Fs 1 2s s 2s2 16 Fs 1 2s s 2s2 16 Fs 1 2s 1 s2 4 Pergunta 3 1 pts Seja YS a solução da Equação Algébrica gerada pela aplicação da Transformada de Laplace na EDO com PVI abaixo y 2y ex onde y0 y4 Suponha S0 qual é o valor de Y0 1 25 2 15 Pergunta 4 1 pts Qual é a transformada inversa de Laplace da função YS 4S1 S2 9 yt 4cosh3t 13 senh3t yt 13 cos3t 4sen3t yt 13 cosh3t 4senh3t yt 4cos3t 13 sen3t