Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares e Matrizes - Rotação Reflexão e Cisalhamento

46 Usando a matriz rotação Onde Rotacionando 𝜃 90 Então O vetor que liga os vértices A e D do quadrado é Então 𝐴𝐷 é Portanto Para o vetor C giramos o vetor D em 90 Girando no sentido contrário podemos obter outras soluções 𝜃 90 Então Temos Ou 47 Matriz rotação Com Em 𝜃 90 Então Portanto Logo Efetuando no sentido contrario 𝜃 90 Portanto 48 Triangulo isósceles B e C medindo 75 Vemos que o ângulo A mede 30 e os lados AB e AC são iguais Em 30 obtemos o vetor AC Calculando para 𝜃 30 Portanto Ou 49a Lembrando que A primeira transformação é uma reflexão em torno do eixo y Onde a matriz transformação é O segundo cisalhamento é por fator 5 na direção x A transformação resultante é Dessa forma 49b A primeira transformação é uma rotação de 30 no sentido horário 𝜃 30 A segunda é uma dilatação por fator 2 seguida por uma inversão de sentido Assim A transformação resultante é 49c A primeira é uma rotação em 60 no sentido antihorário 𝜃 60 A segunda é uma reflexão com eixo y A transformação é 49d A primeira transformação é uma rotação de 𝜃 no sentido antihorário A segunda é uma reflexão com relação a origem Portanto A transformação é 49e A primeira transformação é uma reflexão em torno do de yx A segunda é uma dilatação em relação ao eixo x A terceira é um cisalhamento por fator 3 na direção y A transformação resultante é 50 Vamos fazer o exercício de trás pra frente achar a matriz a transformação calcular o vetor resultante quando a transformação age sobre v32 A primeira transformação é uma reflexão em torno da reta yx A segunda transformação é um cisalhamento de fator 2 na direção x A terceira é uma contração por fator 13 na direção y Por fim a última transformação é uma rotação de 90 no sentido antihorário 𝜃 90 A matriz resultante é Dessa matriz tiramos que Então 50a Queremos o ângulo entre v e Tv sendo T a rotação em torno do eixo z 𝜃 180 de modo que Então Achando o ângulo entre v e Tv Além disso temos que Assim 51b Achando o ângulo entre v e Tv Para 𝜃 180 Então Achando o ângulo entre v e Tv 51c Seguindo a lógica dos exercícios anteriores Para 𝜃 60 Neste caso temos Logo