Exercícios Resolvidos Produto Interno Vetores e Polinômios - Álgebra Linear

Questão 1 Ainda não respondida Vale 200 pontos Marcar questão Encontre um vetor não nulo w que seja ortogonal em relação ao produto interno canônico a u1 1 2 1 e u2 2 5 4 em R³ Produto Interno Canônico de R³ Sejam v v1 v2 v3 e w w1 w2 w3 vetores de R³ O produto interno canônico também chamado de produto interno usual de vetores do espaço R³ é definido pela seguinte fórmula v w v1w1 v2w2 v3w3 w Observação Digite x como x12 digite ab como ab Questão 2 Ainda não respondida Vale 300 pontos Marcar questão Considere P2R o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais com o produto interno definido da seguinte maneira dados dois polinômios vx a0 a1x a2x² e wx b0 b1x b2x² v w de 0 a 1 vxwx dx Dados px 7 3x 2x² qx 1 3x² e rx 2 αx três vetores de P2R determine a p q b p c q d dp q e o ângulo entre px e qx em graus com três casas após a vírgula usando arredondamento θ f o valor de α para que px e rx sejam ortogonais α Observação Digite x como x12 digite ab como ab Questão 3 Ainda não respondida Vale 250 pontos Marcar questão Considere P2R o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais com o produto interno definido da seguinte maneira dados dois polinômios vx a0 a1x a2x² e wx b0 b1x b2x² v w de 0 a 1 vxwx dx Seja W o subespaço de P2R gerado pelos vetores r1x 1 e r2x 1 x Determine uma base ortogonal para W B Escolher Escolher Questão 4 Ainda não respondida Vale 250 pontos Marcar questão Determine uma base ortonormal em relação ao produto interno canônico para o seguinte subespaço de R⁴ W x1 x2 x3 x4 R⁴ 3x1 2x3 x4 0 e x2 0 Produto Interno Canônico de R⁴ Sejam v v1 v2 v3 v4 e w w1 w2 w3 w4 vetores de R⁴ O produto interno canônico também chamado de produto interno usual de vetores do espaço R⁴ é definido pela seguinte fórmula v w v1w1 v2w2 v3w3 v4w4 Escolha uma opção a B 0 0 0 0 114 3 0 2 1 b Nenhuma das alternativas c B 110 1 0 0 3 135 3 0 5 1 d B 110 1 0 0 3 15 0 0 1 2 e B 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 LISTA 1 Encontre um vetor não nulo w que seja ortogonal em relação ao produto interno canônico a u1 1 2 1 e u2 2 5 4 em R³ Produto interno canônico de R³ Sejam v v1 v2 v3 e w w1 w2 w3 vetores de R³ O produto interno canônico também chamado de produto interno usual de vetores do espaço R³ é definido pela seguinte fórmula v w v1w1 v2w2 v3w3 RESOLUÇÃO Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é nulo u1 w 0 u2 w 0 Substituindo os vetores dados temos 1 2 1 w 0 2 5 4 w 0 Aplicando a definição temos w1 2w2 w3 0 2w1 5w2 4w3 0 Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo temos w2 2w3 0 w3 12 w2 Multiplicando a primeira equação por 4 e subtraindo temos 2w1 3w2 0 w1 32 w2 Substituindo na definição do vetor w temos w w1 w2 w3 32 w2 w2 12 w2 32 1 12 w2 w2 R Se tomarmos por exemplo w2 2 temos w 3 2 1 mas qualquer vetor proveniente de qualquer w2 0 seria resposta ao exercício 2 Considere P2 R o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais com o produto interno definido da seguinte maneira dados dois polinômios vx a0 a1 x a2 x2 e wx b0 b1 x b2 x2 v w 01 vxwx dx Dados px 7 3x 2x2 qx 1 3x2 e rx 2 αx três vetores de P2 R determine a p q b p c q d dp q e O ângulo entre px e qx em graus com três casas após a vírgula usando arredondamento f O valor de α para que px e rx sejam ortogonais RESOLUÇÃO a Pela definição dada p q 01 pxqx dx 01 7 3x 2x2 1 3x2 dx 01 7 3x 2x2 1 3x2 dx p q 01 7 3x 2x2 3x2 7 3x 2x2 dx 01 7 3x 2x2 3x2 7 3x 2x2 dx p q 01 7 3x 2x2 21x2 9x3 6x4 dx 01 7 3x 23x2 9x3 6x4 dx Integrando temos p q 7x 32 x2 233 x3 94 x4 65 x501 7 32 233 94 65 42060 9060 46060 13560 7260 p q 33060 32560 7260 65560 7260 72760 p q 72760 b A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno do vetor por ele mesmo p p p 01 px2 dx 01 7 3x 2x22 dx p 01 49 9x2 4x4 273x 272x2 23x 2x2 dx 01 49 9x2 4x4 42x 28x2 12x3 dx p 01 49 42x 37x2 12x3 4x4 dx Integrando temos p 49x 21x2 373 x3 3x4 45 x501 49 21 373 3 45 28 3 18515 1215 p 37515 19715 57215 p 5721512 c A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada do produto interno do vetor por ele mesmo q q q 01 qx2 dx 01 1 3x22 dx q 01 1 9x4 213x2 dx 01 1 6x2 9x4 dx Integrando temos q x 2x3 95 x501 1 2 95 3 95 155 95 245 q 24512 d A distância entre dois vetores é dada pela norma da diferença entre eles dp q p q 01 px qx2 dx 01 px2 qx2 2pxqx dx dp q 01 px2 dx 01 qx2 dx 2 01 pxqx dx p2 q2 2p q Como nos itens anteriores já calculamos esses valores basta substituílos dp q 57215 245 272760 57215 245 72730 114430 14430 72730 56130 18710 dp q 1871012 e Para o ângulo temos cosθ p q p q Novamente já temos esses valores calculados cosθ 72760 57215 245 15 72712 15 5723 24 727 4 1433 6 727 286 727 48286 089559 θ 04610364 rad Convertendo para graus temos θg 180π θ θg 26415º f Para que os vetores sejam ortogonais temos p r 0 01 px rx dx 0 Substituindo os polinômios temos 01 7 3x 2x2 2 αx dx 0 Multiplicando temos 01 2 7 3x 2x2 αx 7 3x 2x2 dx 0 01 14 6x 4x2 7αx 3αx2 2αx3 dx 0 01 14 7α 6 x 4 3α x2 2αx3 dx 0 Integrando temos 14x 7α 6 2 x2 4 3α 3 x3 α 2 x401 0 14 7α 6 2 4 3α 3 α 2 0 14 8α 6 2 4 3α 3 0 14 4α 3 4 3α 3 0 11 4α 4 3α 3 0 Multiplicando a equação por 3 temos 33 12α 4 3α 0 37 9α 0 α 37 9 α 379 3 Considere P2 R o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais com o produto interno definido da seguinte maneira dados dois polinômios vx a0 a1x a2x2 e wx b0 b1x b2x2 v w 01 vxwx dx Seja W o subespaço de P2 R gerado pelos vetores r1x 1 e r2x 1 x Determine uma base ortogonal para W RESOLUÇÃO Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que geram o subespaço e que são ortogonais entre si Antes de mais nada vamos verificar qual é o subespaço W escrevendo um vetor genérico desse subespaço vx ar1x br2x a 1 b 1 x a b bx Veja que esse é um polinômio de grau menor ou igual a 1 qualquer P1 R visto que seja um b real qualquer o coeficiente a b pode também assumir qualquer valor real independente de b Vamos agora usar o processo de ortogonalização de GramSchmidt para obter uma base ortogonal a partir dessa que temos O primeiro vetor será o próprio vetor que já temos u1x r1x 1 Para o segundo vetor temos u2x r2x r2 u1 u12 u1x Aplicando a definição de produto interno temos u2x 1 x 01 1 x dx 01 1 dx 1 1 x 01 1 x dx 01 1 dx Integrando temos u2x 1 x x 12 x201 x01 1 x 1 121 12 x De forma que temos a base procurada B 1 12 x De qualquer forma vamos calcular o produto interno entre os elementos dessa base para garantir que de fato seja ortogonal u1 u2 01 u1xu2x dx 01 1 12 x dx 12 x 12 x201 12 12 0 5 4 Determine uma base ortonormal em relação ao produto interno canônico para o seguinte subespaço de R4 W x1 x2 x3 x4 R4 3x1 2x3 x4 0 e x2 0 Produto interno canônico de R4 Sejam v v1 v2 v3 v4 e w w1 w2 w3 w4 vetores de R4 O produto interno canônico também chamado de produto interno usual de vetores do espaço R4 é definido pela seguinte fórmula v w v1 w1 v2 w2 v3 w3 v4 w4 Escolha uma opção a B 0 0 0 0 1sqrt14 3 0 2 1 b Nenhuma das alternativas c B 1sqrt10 1 0 0 3 1sqrt35 3 0 5 1 d B 1sqrt10 1 0 0 3 1sqrt5 0 0 1 2 e B 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 RESOLUÇÃO Uma base ortonormal é aquela em que seus vetores são ortogonais entre si e as normas de cada um deles é 1 Escrevendo de forma matemática ui uj δij 0 i j 1 i j Antes de determinar a base ortonormal de fato vamos escrever o vetor em uma base qualquer x x1 x2 x3 x4 x1 0 x3 3x1 2x3 x1 1 0 0 3 x3 0 0 1 2 Isso já nos leva a duas conclusões A dimensão de W é 2 e temos esses dois vetores dentre as alternativas Então vamos verificar se eles já são ortogonais entre si 1 0 0 3 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 3 2 6 Logo eles não são ortogonais o que nos leva a eliminar a alternativa D Mas já sabemos que a dimensão de W é 2 o que faz com que a base ortonormal deva ter 2 vetores não nulos eliminando também as alternativas A E e F Como nos resta apenas uma alternativa é mais simples testar se ela de fato é a correta do que resolver o exercício de fato Conforme ela a base é B 1sqrt10 1 0 0 3 1sqrt35 3 0 5 1 Vejamos se os dois vetores estão normalizados 1sqrt10 1 0 0 3 1sqrt10 1 0 0 3 110 1 1 0 0 0 0 3 3 1 910 1 1sqrt35 3 0 5 1 1sqrt35 3 0 5 1 135 3 3 0 0 5 5 1 1 9 25 135 1 Se são ortogonais 7 1sqrt10 1 0 0 3 1sqrt35 3 0 5 1 1sqrt350 1 3 0 0 0 5 3 1 3 3sqrt350 0 Por último vamos testar se o vetor de fato gera o espaço que estamos estudando x a 1 0 0 3 b 3 0 5 1 a 3b 0 5b 3a b x1 0 x3 3x1 2x3 Transformando em sistema de equações temos a 3b x1 5b x3 3a b 3x1 2x3 Veja que conseguimos determinar x1 e x3 em função de a e b ou seja a base obtida inicialmente e essa são equivalentes x x1 1 0 0 3 x3 0 0 1 2 a 3b 1 0 0 3 5b 0 0 1 2 a 3b 0 5b 3a 9b 10b a 3b 0 5b 3a b x x1 1 0 0 3 x3 0 0 1 2 a 1 0 0 3 b 3 0 5 1 Ou seja as duas são bases sendo a segunda ortogonal como já verificado anteriormente Temos portanto que a alternativa correta é a C