Algebra Linear - Espaços Vetoriais - Base e Geradores

só tem a solução trivial e para provar que esses vetores geram R³ devemos mostrar que cada vetor b b₁ b₂ b₃ de R³ pode ser expresso como c₁v₁ c₂v₂ c₃v₃ b Igualando componentes correspondentes dos dois lados essas duas equações podem ser expressas como os sistemas lineares c₁ 2c₂ 3c₃ 0 2c₁ 9c₂ 3c₃ 0 c₁ 4c₃ 0 c₁ 2c₂ 3c₃ b₁ 2c₁ 9c₂ 3c₃ b₂ c₁ 4c₃ b₃ verifique Assim reduzimos o problema a mostrar que o sistema homogêneo 3 só tem a solução trivial e que o sistema não homogêneo 5 é consistente com quaisquer valores de b₁ b₂ e b₃ Mas os dois sistemas 3 e 5 têm a mesma matriz de coeficientes A 1 2 3 2 9 3 1 0 4 de modo que segue das partes b c e g do Teorema 238 que podemos provar ambos resultados simultaneamente mostrando que detA 0 Deixamos para o leitor confirmar que detA 1 o que prova que os vetores v₁ v₂ e v₃ formam uma base de R³ EXEMPLO 4 A base canônica de M₂ₙ Mostre que as matrizes M₁ 1 0 0 0 M₂ 0 1 0 0 M₃ 0 0 1 0 M₄ 0 0 0 1 formam uma base do espaço vetorial M₂₂ das matrizes 2 x 2 Solução Devemos mostrar que as matrizes são linearmente independentes e que geram M₂₂ Para mostrar a independência linear devemos mostrar que a equação vetorial c₁M₁ c₂M₂ c₃M₃ c₄M₄ 0 4 só tem a solução trivial em que 0 é a matriz nula 2 x 2 e para provar que essas matrizes geram M₂₂ devemos mostrar que cada matriz 2 x 2 B a b c d pode ser expressa como c₁M₁ c₂M₂ c₃M₃ c₄M₄ B 5 As formas matriciais das Equações 4 e 5 são c₁1 0 0 0 c₂0 1 0 0 c₃0 0 1 0 c₄0 0 0 1 0 0 0 0 e c₁1 0 0 0 c₂0 1 0 0 c₃0 0 1 0 c₄0 0 0 1 a b c d que podem ser reescritas como c₁ c₂ c₃ c₄ 0 0 0 0 e c₁ c₂ c₃ c₄ a b c d Como a primeira equação só tem a solução trivial c₁ c₂ c₃ c₄ 0 as matrizes são linearmente independentes e como a segunda equação tem a solução c₁ a c₂ b c₃ c c₄ d