Exercícios

EPPEN UNIFESP Lista Revisao Algebra Linear 1º Semestre de 2025 Prof Francisco Marcelo Turmas Integral e Noturno Matrizes e Sistemas Lineares 1 Responda os itens abaixo a Verifique se a matriz abaixo e nilpotente de ordem trˆes A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b Verifique se a matriz abaixo e idempotente A 1 6J6 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 2 Obtenha usando as operacoes matriciais o vetor com as medias de cada produto e uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal sao as variˆancias de cada produto Cliente Produto Valor 1 A 15 2 A 25 3 A 10 4 A 30 5 B 25 6 B 35 7 B 45 8 B 15 9 C 55 10 C 65 11 C 75 12 C 45 Definicao O produto de Kronecker de uma matriz A de dimensao m n com uma matriz B de dimensao p q denotado por A B e uma matriz de dimensao mp nq definida por blocos como A B a11B a12B a1nB a21B a22B a2nB am1B am2B amnB onde aij são os elementos da matriz A Exemplo Sejam as matrizes A 1 2 3 4 e B 0 1 1 2 Aqui A tem dimensão m 2 n 2 e B tem dimensão p 2 q 2 O produto de Kronecker A B terá dimensão 2 2 2 2 4 4 Aplicando a definição A B 1 0 1 1 2 2 0 1 1 2 3 0 1 1 2 4 0 1 1 2 Multiplicando os escalares pelos blocos de matrizes A B 0 1 1 2 0 3 3 6 0 2 2 4 0 4 4 8 Finalmente expandindo para formar a matriz 4 4 A B 0 1 0 2 1 2 2 4 0 3 0 4 3 6 4 8 O exemplo acima ilustra como o produto de Kronecker combina os elementos de duas matrizes para formar uma matriz maior com uma estrutura de blocos bem definida a Considere a coluna valor na tabela acima como uma matriz coluna Leia com atenção a definição e o exemplo de produto de Kronecker acima Agora obtenha a matriz X I3 141 em que 141 é a matriz coluna de uns de dimensão 4 1 Note que a matrix X é o resultado do produto de Kronecker de uma matriz identidade de ordem trˆes e uma matriz coluna de uns de dimensao 4 1 Y 15 25 10 30 25 35 45 15 55 65 75 45 b Agora obtenha XX e XY c Resolva usando o metodo de GaussJordan o sistema linear XXβ XY em que β β1 β2 β3 β4 Podemos afirmar que os valores da variaveis βi i A B C obtidos da resolucao do sistema correspondem aos valores medios observados desses produtos 3 Considere X numero anos de servico e Y numero de clientes usando os dados contidos na tabela abaixo responda Id X Y 1 2 7 2 3 10 3 4 14 4 6 17 5 5 16 6 7 18 7 8 19 8 9 20 9 10 22 10 11 20 a Construa o grafico de Y em funcao de X Nao ligue os pontos E possıvel afirmar com base no grafico que o numero de clientes aumenta quando o numero de anos de servico aumenta do produto de Kronecker de uma matriz identidade de ordem três e uma matriz coluna de uns de dimensão 4 1 Y 15 25 10 30 25 35 45 15 55 65 75 45 b Agora obtenha XT X e XT Y c Resolva usando o método de GaussJordan o sistema linear XT Xβ XT Y em que β β1 β2 β3 β4 Podemos afirmar que os valores da variáveis βi i A B C obtidos da resolução do sistema correspondem aos valores médios observados desses produtos d x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 1 2x1 3x2 4x3 5x4 6x5 7x6 8x7 x8 2 3x1 4x2 5x3 6x4 7x5 8x6 x7 2x8 3 4x1 5x2 6x3 7x4 8x5 x6 2x7 3x8 4 5x1 6x2 7x3 8x4 x5 2x6 3x7 4x8 5 6x1 7x2 8x3 x4 2x5 3x6 4x7 5x8 6 7x1 8x2 x3 2x4 3x5 4x6 5x7 6x8 7 8x1 x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 7x8 8 b Calcule XT X e XT Y usando as matrizes X e Y abaixo Y 7 10 14 17 16 18 19 20 22 20 X 1 2 1 3 1 4 1 6 1 5 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 c Resolva usando o método de GaussJordan o sistema linear XT Xβ XT Y em que β β0 β1 4 Obetenha as soluções dos sistemas lineares abaixo usando o método de GaussJordan a 2x1 3x2 x3 4x4 5x5 6x6 12 x1 5x2 2x3 x4 3x5 x6 9 4x1 2x2 x3 5x4 x5 2x6 20 x1 x2 x3 x4 x5 x6 6 3x1 x2 2x3 4x4 x5 2x6 15 7x1 6x2 3x3 10x4 2x5 11x6 47 b 3x 2y z 7w 5v 4u 12 6x 4y 2z 14w 10v 8u 24 9x 6y 3z 21w 15v 12u 36 12x 8y 4z 28w 20v 16u 48 15x 10y 5z 35w 25v 20u 60 18x 12y 6z 42w 30v 24u 72 c x y z w v u 6 2x 2y 2z w v u 6 x y z w v u 0 3x y z w 2v u 5 x 4y 3z 2w v u 7 5x 3y z w v 2u 12 2 Obtenha usando as operações matriciais o vetor com as médias de cada produto e uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são as variâncias de cada produto Cliente Produto Valor 1 A 15 2 A 25 3 A 10 4 A 30 5 B 25 6 B 35 7 B 45 8 B 15 9 C 55 10 C 65 11 C 75 12 C 45 Definição O produto de Kronecker de uma matriz A de dimensão m n com uma matriz B de dimensão p q denotado por A B é uma matriz de dimensão mp nq definida por blocos como A matriz coluna de uns de dimensão 4 1 denotada por 1₄₁ é O produto de Kronecker de I₃ e 1₄₁ é dado por Calculando cada bloco Assim a matriz X é Agora vamos considerar a coluna de valores Y dada no problema Note que a matriz X obtida é uma matriz de 12 x 3 enquanto Y é uma matriz coluna de 12 x 1 Portanto a matriz X é X 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B I3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 14x1 1 1 1 1 O produto de Kronecker X I3 14x1 é X 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Agora vamos calcular XT X XT 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 XT X 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 4 0 0 0 4 Agora vamos calcular XT Y Y 15 25 10 30 25 35 45 15 55 65 75 45 XT Y 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 15 25 10 30 25 35 45 15 55 65 75 45 15 25 10 30 25 35 45 15 55 65 75 45 80 120 240 Portanto XT X 4 0 0 0 4 0 0 0 4 e XT Y 80 120 240 c Temos o sistema XT X β XT Y Substituindo os valores calculados 4 0 0 0 4 0 0 0 4 β1 β2 β3 80 120 240 Este sistema é bastante simples de resolver 4β1 80 β1 804 20 4β2 120 β2 1204 30 4β3 240 β3 2404 60 Portanto β 20 30 60 Os valores das variáveis βi correspondem às médias dos valores observados nesses produtos Especificamente β1 é a média dos primeiros quatro valores de Y 152510304 804 20 β2 é a média dos próximos quatro valores de Y 253545154 1204 30 β3 é a média dos últimos quatro valores de Y 556575454 2404 60