Gás Ideal - Termodinamica

3 Dois sistemas A e B encontramse inicialmente a temperaturas TA e TB com volumes VA e VB Uma vez postos em contacto os dois sistemas podem interagir termicamente e mecanicamente A única variável mecânica relevante é o volume Passado um tempo atingem uma situação de equilíbrio Quais das seguintes afirmações são corretas na situação de equilíbrio final Assinale todas as que ache corretas a A energia interna de A é igual à energia interna de B b A energia média por grau de liberdade do sistema é aproximadamente em A e em B c A pressão final de A e B é a mesma d O volume final de A e B é o mesmo e A temperatura final de A e B é a mesma f Nenhuma das anteriores 4 Um certo sólido formado por N moléculas fixas numa rede cristalina está em equilíbrio térmico com uma fonte de calor a temperatura T Cada uma das moléculas do sólido tem dois níveis de energia possíveis ε1 e ε2 com ε2 ε1 O número de moléculas no estado 1 de energia ε1 é n1 e no estado 2 de energia ε2 é n2 Considere um processo termodinâmico quaseestático no qual uma das moléculas que estava no estado 2 desce para o estado 1 Nesta transição n1 aumenta uma unidade e n2 diminui uma unidade Nas questões a seguir considere que N n1 e n2 são números muito 4 Um certo sólido formado por N moléculas fixas numa rede cristalina está em equilíbrio térmico com uma fonte de calor a temperatura T Cada uma das moléculas do sólido tem dois níveis de energia possíveis ε1 e ε2 com ε2 ε1 O número de moléculas no estado 1 de energia ε1 é n1 e no estado 2 de energia ε2 é n2 Considere um processo termodinâmico quaseestático no qual uma das moléculas que estava no estado 2 desce para o estado 1 Nesta transição n1 aumenta uma unidade e n2 diminui uma unidade Nas questões a seguir considere que N n1 e n2 são números muito grandes tais que N n1 n2 1 Pode utilizar a aproximação Stirling sempre que achar necessário a Mostre que a variação de entropia quando uma molécula passa do estado ε2 para o estado ε1 vem dada por ΔS kB ln n2n1 b Calcule a variação de entropia da fonte de calor e encontre uma relação para o quociente n2n1 em função da temperatura da fonte e de ε1 e ε2 Considere que o reservatório e o sólido cristalino estão isolados termicamente do entorno envolvente c Se n1 N3 qual será a probabilidade de que o sólido volte espontaneamente ao seu estado inicial d Exprima a entropia em função da energia total do sistema e de N e mostre que a relação entre energia e temperatura para este sólido cristalino é dada por T ε2ε1kB lnNε2EENε1 03 quando o equilíbrio ocorre a entropia total é máxima Daí U UA UB dll 0 dUA dUB 0 dUA dUB i V VA VB dV 0 dVA dVB dVA dVB ii Stotal SA UA VA SB UB VB dStot SA UA dUA SA VA dVA SB UB dUB SB VB dVB substituindo i e ii na equação dStot SA UA SB UB dUA SA VA SB VB dVA como no equilíbrio dStot 0 SA UA SB UB e SA VA SB VB mas S U v 1T e S V u pT Daí 1TA 1TB TA TB PATA PBTB como TA TB PA PB verificando energia interna UA nA N2 RTA nA nB e não se sabe o N de cada logo UA UB UB nB N2 RTB verificando energia sabese que E 12 kBT εA 12 kB TA εB 12 kB TB como TA TB εA εB verificando volume PATA PBTB nA RVA nB RVB nAVA nBVB como nA nB VA VB Logo as letras B C e E são corretas 04 a n1 n1 1 n2 n2 1 n1 n2 N S kB ln Ω kB ln N n1 N n1 Da approx de Stirling ln n n ln n n S kB N ln N N n1 ln n1 n1 N n1 ln N n1 N n1 S kB n1 ln n1 N n1 ln N n1 N ln N ΔS Sn11 Sn1 dSdn1 dSdn1 kB ln n1 ln N n1 dSdn1 kB ln n1n2 ΔS kB ln n2n1 b ΔU sólido ε1 ε2 ΔQ como o sistema é isolado a fonte de calor ganha energia ΔSfonte ΔQT ε2 ε1T ΔSTOTAL ΔS sólido ΔS fonte ΔStotal kB ln n2n1 ε2 ε1T Equilíbrio ΔStotal 0 Daí kB ln n2n1 ε2 ε1T lnn2n1 ε2 ε1kB T 0 n2n1 eε2 ε1kB T c n3 N3 n2n1 eε2 ε1kB T n1 N 1 eε2 ε1kB T Pn1 α N n1 N n1 P eΔSkB como ΔS é da ordem de N essa probabilidade é muito pequena P eΔSkB 1 logo é praticamente zero d E n2 ε1 n2 ε2 n1 n2 N E n2 ε2 N ε2 n1 ε2 E n1 ε1 ε2 N ε2 n1 N ε2 E ε2 ε1 n2 E N ε1 ε2 ε1 S kB ln E N ε1 N ε2 E 1T SEN kB ln n1 dn1dE ln n2 dn2dE kB ln n1 1ε2 ε1 ln n2 1ε2 ε1 1T kB ε2 ε1 ln n2n1 T ε2 ε1 kB ln n2n1 T ε2 ε1 kB ln N ε2 E E N ε1