Integral por Substituição

LISTA 3 INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO fazer somente os ímpares 1 a 23 Nos Problemas 3 a 36 determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado 3 2x 65 dx 4 e5x dx 5 4x 1 dx 6 13x 5 dx 7 e1 x dx 8 x 15 3x 12 5 dx 9 xe2 dx 10 2xex2 1 dx 11 x2 15 dt 12 3r2 8 dt 13 x2 x3 134 dx 14 x e1 xx dx 15 2y7y5 1 dy 16 y2y3 523 dy 17 x 1x2 2x 512 dx 18 3x2 1ex2 x dx 19 3x4 12x3 6x5 5x4 10x 12 dx 20 10x3 5xx4 x2 6 dx 21 3u 3u2 2u 62 du 22 6u 34u2 4u 1 du 23 ln 5xx dx 24 1x ln x dx 25 1xln x2 dx 26 ln x2x dx 27 2x lnx2 1x2 1 dx 28 exx dx 29 ex exex ex dx 30 ex1 e2x dx 31 x2x 1 dx 32 t 1t 1 dt 3 2x 65 dx Para resolver essa integral podemos usar a substituição Seja u 2x 6 Então du 2 dx e dx 12 du Substituindo na integral temos u5 12 du 12 u5 du Agora integramos u5 em relação a u 12 u5 du 12 u66 C u612 C Substituímos u de volta por 2x 6 2x 6612 C Portanto a integral é 2x 65 dx 2x 6612 C Para verificar se o cálculo está correto derivamos o resultado em relação a x ddx 2x 6612 C 112 6 2x 65 2 2x 65 5 u 4x 1 Então o diferencial de u é du 4 dx Ou equivalentemente dx 14 du Agora substituímos na integral original u 14 du 14 u12 du Agora integramos u12 em relação a u 14 u12 du 14 u32 32 C 14 23 u32 C 16 u32 C Finalmente substituímos u de volta por 4x 1 16 4x 132 C Portanto a integral é 4x 1 dx 16 4x 132 C ddx 16 4x 132 C 16 32 4x 112 4 16 32 4 4x 112 4x 1 u 1 x Então o diferencial de u é du dx Ou equivalentemente dx du Agora substituímos u e dx na integral original e1 x dx eu du eu du A integral de eu em relação a u é simplesmente eu eu du eu C Finalmente substituímos u de volta por 1 x eu C e1 x C Portanto a integral de e1 x é e1 x dx e1 x C u x2 Então a derivada de u em relação a x é dudx 2x Portanto du 2x dx Podemos reescrever a integral original em termos de u x ex2 dx 12 eu du Agora a integral de eu em relação a u é simplesmente eu 12 eu du 12 eu C Finalmente substituímos u por x2 para obter a resposta final 12 ex2 C Onde C é a constante de integração Portanto x ex2 dx 12 ex2 C tt2 15 dt Para resolver essa integral podemos usar a substituição Seja u t2 1 Então du 2t dt Podemos reescrever a integral em termos de u tt2 15 dt 12 t2 15 2t dt 12 u5 du Agora integramos u5 em relação a u 12 u5 du 12 u66 C u612 C Substituímos u de volta por t2 1 t2 1612 C Portanto a integral é tt2 15 dt t2 1612 C ddt t2 1612 C 112 6t2 15 2t tt2 15 13 x²x³ 1³⁴ dx Para resolver esta integral podemos usar a substituição Seja u x³ 1 Então a derivada de u em relação a x é dudx 3x² du 3x² dx x² dx 13 du Agora podemos substituir na integral original x²x³ 1³⁴ dx u³⁴ 13 du 13 u³⁴ du Agora integramos u³⁴ em relação a u 13 u³⁴ du 13 u341 341 C 13 u74 74 C 13 47 u74 C 421 u74 C Finalmente substituímos u de volta por x³ 1 421 x³ 174 C Portanto a integral é x²x³ 1³⁴ dx 421 x³ 174 C ddx 421 x³ 174 C 421 74 x³ 1741 3x² 421 74 x³ 1³⁴ 3x² 13 x³ 1³⁴ 3x² x²x³ 1³⁴ 15 2y⁴ y⁵ 1 dy Para resolver esta integral podemos usar a substituição Seja u y⁵ 1 Então a derivada de u em relação a y é dudy 5y⁴ Portanto du 5y⁴ dy Podemos reescrever a integral original em termos de u 2y⁴ y⁵ 1 dy 25 5y⁴ y⁵ 1 dy 25 1u du Agora a integral de 1u em relação a u é ln u 25 1u du 25 ln u C Finalmente substituímos u de volta por y⁵ 1 25 ln y⁵ 1 C Como y⁵ 1 pode ser negativo para alguns valores de y usamos o valor absoluto Portanto a solução da integral é 2y⁴ y⁵ 1 dy 25 ln y⁵ 1 C 17 x 1x2 2x 512 dx Para resolver esta integral podemos usar a substituição Seja u x2 2x 5 Então a derivada de u em relação a x é dudx 2x 2 2x 1 Portanto du 2x 1 dx 12 du x 1 dx Agora podemos substituir na integral original x 1x2 2x 512 dx u12 12 du 12 u12 du Agora integramos u12 em relação a u 12 u12 du 12 u13 13 C u13 26 C 19 3x4 12x3 6 x5 5x4 10x 12 dx podemos usar a substituição Seja u x5 5x4 10x 12 Então a derivada de u em relação a x é dudx 5x4 20x3 10 Podemos reescrever isso como du 5x4 20x3 10 dx Observe que o numerador da integral original é 3x4 12x3 6 que pode ser reescrito como 355x4 20x3 10 Portanto podemos escrever 3x4 12x3 6 355x4 20x3 10 Agora podemos reescrever a integral original em termos de u 3x4 12x36 x5 5x410x 12 dx 355x4 20x310 x55x410x12 dx 35 duu Finalmente substituímos u de volta por x2 2x 5 x22x513 26 C Portanto a integral é x 1x2 2x 512 dx x22x513 26 C ddx x22x513 26 C 126 13x2 2x 512 2x 2 1326 x2 2x 512 2x 1 12 x2 2x 512 2x 1 x 1x2 2x 512 A integral de 1u em relação a u é lnu então temos 35 duu 35 lnu C onde C é a constante de integração Finalmente substituímos u de volta por x5 5x4 10x 12 35 lnx5 5x4 10x 12 C Portanto a integral é 3x412x36x55x410x12 dx 35 lnx5 5x4 10x 12 C ddx 35 lnx5 5x4 10x 12 C 35 5x420x310x55x410x12 3x44x32x55x410x12 3x412x36x55x410x12 3x412x36x55x410x12 dx 35 lnx5 5x4 10x 12 C 21 3u3u22u62 du podemos usar uma substituição Seja v u2 2u 6 Então dv 2u 2 du 2u 1 du Podemos reescrever a integral como 3u1u22u62 du 32 2u1u22u62 du 32 dvv2 Agora podemos integrar em relação a v 32 v2 dv 32 1v C 32v C Substituindo v de volta por u2 2u 6 obtemos 32u22u6 C Portanto a integral é 3u3u22u62 du 32u22u6 C 23 ln 5xx dx Para resolver essa integral podemos usar a substituição Seja u ln 5x Então a derivada de u em relação a x é dudx 15x 5 1x Portanto du 1x dx Agora podemos substituir na integral original ln 5xx dx u du A integral de u em relação a u é u du 12 u2 C Substituímos u de volta por ln 5x 12 ln 5x2 C Portanto a solução da integral é ln 5xx dx 12 ln 5x2 C ddx 12 ln 5x2 C 12 2ln 5x 15x 5 ln 5xx 12 ln 5x2 C