Limites e Continuidade

5 UFB 79 adaptada Sobre a função fx x² 5x 6 x² 3x 2 são feitas as seguintes afirmativas I f é contínua para todo x real II f é descontínua em x₀ 1 III f é contínua se f2 1 Sobre essas afirmativas podemos afirmar que a apenas I e III são verdadeiras b apenas I é verdadeira c apenas II é verdadeira d todas são falsas e todas são verdadeiras Err Como justificar Odete Amanda UCSal 20242 Escola de Arquitetura e Engenharias de Tecnologias Curso Bacharelado em Engenharias Cálculo 1 Professora Odete Amanda Discente Data 24092024 Trabalho Efetivo Discente 1 cálculo de limites especiais Total de pontos 50 Valor 20 Instruções 1 Imprima este documento identifiquese no cabeçalho e resolva a sua atividade atentando para as instruções a seguir Se necessário anexe folhas extras desde que organizadas e apresentáveis 2 Leia as questões com atenção e resolvaas com calma de forma organizada sempre usando caneta de tinta azul ou preta 3 É obrigatória a apresentação de todos os procedimentos desenvolvidos em cada item das questões Isto poderá lhe ajudar na pontuação pois resposta parcialmente correta é parcialmente pontuada 4 A atividade só será corrigida se respondida de acordo com estas instruções 5 Entregue sua atividade física e impreterivelmente até o dia 22 de outubro Sucesso 12 1 Calcule se existir os seguintes limites do tipo 0 0 A lim x 2 x3 x 6 2x2 x 10 B lim x 6 x 6 x 6 12 2 Calcule os limites das funções racionais abaixo pelo caminho indicado C lim x 4 x2 16 x 2 Racionalização D lim x 8 x 3 2 x 8 Mudança de variável 10 3 Calcule os seguintes limites envolvendo o infinito E lim x x25 3x 1 4x2 2 F lim x 1 5x 2 3x2 3 14 4 Calcule os seguintes limites envolvendo G função trigonométrica lim x π 2 sen 3x 1 2x H função exponencial lim x 2 e x24 2 x I função limitada lim x cos 3x x 12 5 Calcule os seguintes limites fundamentais J lim x 0 sen 3x 2x K lim x 01 2x 1 x MeuGuru Matheus 5 Sobre a função 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6𝑥2 3𝑥 2 são feitas as seguintes afirmativas I 𝑓 é contínua para todo 𝑥 real II 𝑓 é descontínua em 𝑥0 1 III 𝑓 é contínua se 𝑓2 1 Resolução A função 𝑓 é dada por 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6 𝑥2 3𝑥 2 Nós podemos fatorar o denominador e o numerador 𝑓𝑥 𝑥2 6𝑥 𝑥 6 𝑥2 𝑥 2𝑥 2 Colocando os termos em evidência 𝑓𝑥 𝑥𝑥 6 1𝑥 6 𝑥𝑥 1 2𝑥 1 Logo a fatoração é dada por 𝑓𝑥 𝑥 1𝑥 6 𝑥 1𝑥 2 Então nós podemos simplificar a função Porém há uma indeterminação quando 𝑥 1 Logo nossa função simplificada é 𝑓𝑥 𝑥 6 𝑥 2 𝑥0 1 Também podemos verificar pela função simplificada que a função também é descontínua em 𝑥 2 Sendo assim a única afirmativa verdadeira é a II 1 Calcule se existir os seguintes limites do tipo 00 a lim 𝑥2 𝑥3 𝑥 6 2𝑥2 𝑥 10 Resolução Assim como na questão anterior nós podemos fatorar o denominador e o numerador Como nós já sabemos pelo enunciado que 2 é uma raiz e o limite resultará em 00 Então podemos deixar 𝑥 2 em evidência nas duas partes da função e multiplicala pelo resto lim 𝑥2 𝑥 2𝑥2 2𝑥 3 𝑥 22𝑥 5 Simplificando lim 𝑥2 𝑥2 2𝑥 3 2𝑥 5 Agora podemos apenas aplicar o 𝑥 2 na função lim 𝑥2 𝑥2 2𝑥 3 2𝑥 5 22 22 3 22 5 Logo o limite existe e seu resultado é lim 𝑥2 𝑥3 𝑥 6 2𝑥2 𝑥 10 11 9 b lim 𝑥6 𝑥 6 𝑥 6 Resolução Aqui nós temos uma indeterminação Então vamos verificar o que acontece quando nos aproximamos pela direita e esquerda de 6 O denominador nunca assumirá valor negativo Porém o numerador pode assumir Portanto analisando a função quando nos aproximarmos pela direita 𝑥 6 nós teremos 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 1 Agora quando nos aproximarmos pela esquerda de 𝑥 6 o numerador assumirá um valor negativo logo 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 1 Sendo assim como nós encontramos valores diferentes para a esquerda e direita nós podemos concluir que o limite não existe Afim de comprovar os sinais podemos montar a tabela abaixo Intervalo 𝑥 6 𝑥 6 Numerador 𝑥 6 Denominador 𝑥 6 Sinal da função 2 Calcule os limites das funções racionais abaixo pelo caminho indicado c Racionalização lim 𝑥4 𝑥2 16 𝑥 2 Resolução Primero antes de usarmos a racionalização podemos fatorar o numerador lim 𝑥4 𝑥 4𝑥 4 𝑥 2 Agora vamos aplicar a racionalização multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de 𝑥 2 lim 𝑥4 𝑥 4𝑥 4𝑥 2 𝑥 2𝑥 2 Realizando a multiplicação do denominador lim 𝑥4 𝑥 4𝑥 4𝑥 2 𝑥 4 Simplificando lim 𝑥4𝑥 4𝑥 2 Então agora podemos apenas substituir o valor de 𝑥 na função 4 44 2 Portanto o valor do limite é lim 𝑥4 𝑥2 16 𝑥 2 32 d Mudança de variável lim 𝑥8 𝑥 3 2 𝑥 8 Resolução A mudança de variável que iremos aplicar é 𝑢 𝑥 3 então 𝑥 𝑢3 Portanto nós devemos alterar o limite também que agora será 𝑢 8 3 2 Sendo assim realizando a substituição nosso limite fica lim 𝑢2 𝑢 2 𝑢3 8 Fatorando o denominador pela diferença dos cubos nós encontramos lim 𝑢2 𝑢 2 𝑢 2𝑢2 2𝑢 4 Simplificando lim 𝑢2 1 𝑢2 2𝑢 4 Então agora basta aplicarmos o valor do limite na função 1 22 22 4 Logo o limite da função é dado por lim 𝑥8 𝑥 3 2 𝑥 8 1 12 3 Calcule os seguintes limites envolvendo o infinito a lim 𝑥 𝑥25 3𝑥 1 4𝑥2 2 Resolução Para resolver esse limite nós vamos dividir todos os termos pelo 𝑥 de maior grau que nesse caso é 𝑥2 lim 𝑥 𝑥25𝑥2 3𝑥𝑥2 1𝑥2 4𝑥2𝑥2 2𝑥2 Simplificando lim 𝑥 5 3𝑥 1𝑥2 4 2𝑥2 Então agora nós podemos analisar cada termo sempre que tivermos um número divido por seu valor pode ser considerado como 0 Logo aplicando o em cada termo 5 0 0 4 0 Simplificando nós encontramos que o valor do limite é lim 𝑥 𝑥25 3𝑥 1 4𝑥2 2 5 4 f lim 𝑥1 5𝑥 2 3𝑥2 3 Resolução Se nós aplicarmos o valor do limite na função nós encontraremos a seguinte indeterminação 7 0 O que indica que o limite tende a dependendo se o limite se aproxima da direta ou da esquerda Então vamos analisar o que acontece em cada caso Quando 𝑥 1 o denominador será positivo o que indica que o limite tenderá a lim 𝑥1 7 0 Já quando 𝑥 1 que seria um valor muito próximo de 1 só que menor que ele o limite tenderá a lim 𝑥1 7 0 Logo como entramos valores diferentes para a esquerda e direita de 1 isso indica que o limite não existe Afim de comprovar os sinais nós podemos encontrar as raízes do denominador e do numerador igualandoos a zero Para o numerador 5𝑥 2 0 𝑥 2 5 Já para o denominador 3𝑥2 3 0 𝑥1 1 𝑥2 1 Com isso podemos montar a seguinte tabela Intervalo 𝑥 1 1 𝑥 2 5 2 5 𝑥 1 𝑥 1 Numerador 5𝑥 2 Denominador 3𝑥2 3 Sinal da função 4 Calcule os seguintes limites envolvendo g Função trigonométrica lim 𝑥𝜋2 sin3𝑥 1 2𝑥 Resolução Como não há nenhuma indeterminação na função para o ponto 𝑥 𝜋2 nós podemos encontrar o limite apenas aplicando o ponto na função sin3𝜋2 1 2𝜋2 Sendo assim o valor do nosso limite é lim 𝑥𝜋2 sin3𝑥 1 2𝑥 2 𝜋 h Função exponencial lim 𝑥2 𝑒 𝑥24 2𝑥 Resolução Nesse caso nós podemos fatorar o numerador do expoente pela diferença dos quadrados que nos resulta em lim 𝑥2 𝑒 𝑥2𝑥2 2𝑥 Trocando o sinal do denominador lim 𝑥2 𝑒 𝑥2𝑥2 𝑥2 Simplificando lim 𝑥2 𝑒𝑥2 lim 𝑥2 𝑒𝑥2 Portanto agora podemos apenas aplicar o valor do limite na função 𝑒22 Logo o valor do limite da nossa função no ponto dado é lim 𝑥2 𝑒 𝑥24 2𝑥 𝑒4 i Função limitada lim 𝑥 cos3𝑥 𝑥 Resolução Por trigonometria nós sabemos que a função cosseno só pode ter a seguinte variação 1 cos3𝑥 1 Então usando o teorema do sanduíche nós podemos concluir que 1 𝑥 cos3𝑥 𝑥 1 𝑥 Portanto vamos aplicar o limite quando 𝑥 para os dois extremos quando cosseno é 1 lim 𝑥 1 𝑥 0 Já quando cosseno é 1 lim 𝑥 1 𝑥 0 Sendo assim nós podemos afirmar que o limite é dado por lim 𝑥 cos3𝑥 𝑥 0 5 Calcule os seguintes limites fundamentais j lim 𝑥0 sin3𝑥 2𝑥 Resolução Nós sabemos que o limite fundamental lim 𝑢0 sin𝑢 𝑢 1 Então vamos aplicar a substituição onde 𝑢 3𝑥 logo nós teremos também que 𝑥 𝑢3 Aplicando na função lim 𝑥0 sin𝑢 2 𝑢 3 Simplificando e removendo a constante do limite 3 2 lim 𝑢0 sin𝑢 𝑢 Usando o resultado do limite fundamental 3 2 1 Portanto o valor do nosso limite fundamental do enunciado é lim 𝑥0 sin3𝑥 2𝑥 3 2 k lim 𝑥01 2𝑥1𝑥 Resolução Para resolver esse limite nós vamos assumir a seguinte equação 𝑦 lim 𝑥01 2𝑥1𝑥 Então colocando o logaritmo natural nos dois lados ln𝑦 lim 𝑥0 ln 1 2𝑥 1 𝑥 Aplicando a propriedade logarítmica ln𝑎𝑏 𝑏 ln𝑎 ln𝑦 lim 𝑥0 1 𝑥 ln1 2𝑥 Portanto agora nós podemos aplicar a regra de LHôpital já que temos uma indeterminação 00 ao aplicar no ponto do limite derivando o numerador 𝑑 𝑑𝑥 ln1 2𝑥 2 1 2𝑥 Derivando o denominador 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 Logo aplicando no limite nós ficamos com a equação ln𝑦 lim 𝑥0 2 1 2𝑥 Portanto agora podemos aplicar no ponto ln𝑦 2 1 20 Simplificando ln𝑦 2 Colocando exponencial em ambos os lados 𝑦 𝑒2 Por fim o valor do limite solicitado no enunciado é lim 𝑥01 2𝑥1𝑥 𝑒2