Limites e Funções

23 Exercícios 1 Dado que lim x2 fx 4 lim x2 gx 2 lim x2 hx 0 encontre se existir o limite Caso não exista explique por quê a lim x2 fx 5gx b lim x2 gx³ c lim x2 fx d lim x2 3fxgx e lim x2 gxhx f lim x2 gxhxfx 2 Os gráficos de f e g são dados Useos para calcular cada limite Caso não exista explique por quê a lim x2 fx gx b lim x1 fx gx c lim x0 fxgx d lim x1 fxgx e lim x2 x³fx f lim x1 3 fx 39 Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas 3 lim x2 3x⁴ 2x² x 1 4 lim x1 x⁴ 3xx² 5x 3 5 lim t2 t⁴ 2 2t² 3t 2 6 lim u2 u⁴ 3u 6 7 lim x8 1 x2 6x² x³ 8 lim t2 t² 2 t³ 3t 5² 9 lim x2 2x² 1 3x 2 10 a O que há de errado com a equação a seguir x² x 6 x 2 x 3 b Em vista de a explique por que a equação lim x2 x² x 6 x 2 lim x2 x 3 está correta 1132 Calcule o limite se existir 11 lim x2 x² x 6 x 2 12 lim x4 x² 5x 4 x² 3x 4 13 lim x2 x² x 6 x 2 14 lim x1 x² 4x x² 3x 4 15 lim t3 t² 9 2t² 7t 3 16 lim x1 2x² 3x 1 x² 2x 3 17 lim h0 5 h² 25 h 18 lim h0 2 h³ 8 h 19 lim x2 x 2 x³ 8 20 lim t1 t⁴ 1 t³ 1 21 lim h0 9 h 3 h 22 lim u2 4u 1 3 u 2 23 lim x4 14 1x 4 x 24 lim x1 x² 2x 1 x⁴ 1 25 lim t0 1 t 1 t t 26 lim t0 1t 1t² t 27 lim x16 4 x 16x x² 28 lim h0 3 h¹ 3¹ h 29 lim t0 11 t 1t 30 lim x4 x² 9 5 x 4 31 lim h0 x h³ x³ h 32 lim h0 x h² x² h 33 a Estime o valor de lim x0 x1 3x 1 traçando o gráfico da função fx x 1 3x 1 b Faça uma tabela de valores de fx para x próximo de 0 e estime qual será o valor do limite c Use as Propriedades dos Limites para mostrar que sua estimativa está correta 34 a Use um gráfico de fx 3 x 3 x para estimar o valor de lim x0 fx com duas casas decimais b Use uma tabela de valores de fx para estimar o limite com quatro casas decimais c Use as Propriedades dos Limites para encontrar o valor exato do limite 35 Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x0 x² cos 20πx 0 Ilustre fazendo os gráficos das funções fx x² gx x² cos 20πx e hx x² na mesma tela 01 a lim x2 fx 5gx 4 10 6 b lim x2 gx³ lim x2 gx³ 8 c lim x2 fx lim x2 fx 2 d lim x2 3fxgx 3lim x2 fx lim x2 gx 122 6 e lim x2 gxhx NÃO EXISTE lim x2 gxhx fx 00 24 0 03 lim x2 3x⁴ 2x² x 1 PROPRIEDADE DA SOMA E DIFERENÇA lim xa fx gx lim xa fx lim xa gx lim x2 3x⁴ 2x² x 1 lim x2 3x⁴ lim x2 2x² lim x2 x lim x2 1 Aplicando o limite em cada termo da soma 48 8 2 1 59 04 lim x1 x⁴ 3xx² 5x 3 lim xa fx x gx lim xa fx x lim xa gx lim x2 x⁴ 3x x² 5x 3 lim x1 x⁴ 3x x lim x1 x² 5x 3 Aplicando a propriedade da soma e da diferença dos limites Lim xa fx gx Lim xa fx Lim xa gx Assim temos I Lim x1 x4 3x Lim x1 x4 Lim x1 3x II Lim x1 x2 Lim x1 5x Lim x1 3 Calculando I 1 3 4 II 1 5 3 1 OU SEJA Lim x1 x4 3x x2 5x 3 4 1 4 05 Lim t2 t4 2 2t2 3t 2 Aplica propriedade do quociente do limite Lim xa fxgx Lim xa fx Lim xa gx se Lim xa gx 0 Assim temos Lim t2 t4 Lim t2 2 Lim t2 2t2 Lim t2 3t Lim t2 2 16 2 8 6 2 14 16 7 8 06 Lim u2 u4 3u 6 Aplicado para Raizes Lim xa nfx n Lim xa fx Lim u2 u4 Lim u2 3u Lim u2 6 16 6 6 16 4 07 Lim x8 1 3x2 6x2 x3 Lim x8 1 3x x Lim x8 2 6x2 x3 1 22 384 512 3 130 390 08 Lim t2 t2 2 t3 3t 5 2 Aplicação do expoente Lim xa fxn Lim xa fxn Lim t2 t2 2 t3 3t 52 Lim t2 t2 Lim t2 2 Lim t2 t3 Lim t2 3t Lim t2 52 22 2 8 6 5 272 449 09 Lim x2 2x2 1 3x 2 Lim x2 2x2 1 3x 2 Lim x2 2x2 Lim x2 1 Lim x2 3x Lim x2 2 94 32 10 a Analisando a igualdade x2 x 6 x 2 x 3 O denominador não pode ser zero então x 2 0 logo x 2 Isto significa que Df R 2 Fa a função gx x 3 temse Dg R Desta forma percebese que as duas funções não são iguais e que há um erro naquela igualdade b Aplica o limite lim x2 x2 x 6 x 2 lim x2 x 3 Simplificando lim x2 x 3 lim x2 x 3 Essa igualdade é valida porque o limite considera os valores de uma função nas proximidades do ponto não no ponto exatamente 11 lim x2 x2 x 6 x 2 lim x2 x 2x 3 x 2 lim x2 x 3 2 3 5 12 lim x1 x2 5x 4 x2 3x 4 lim x1 x 1x 4 x 1x 4 lim x1 x 1 x 1 1 1 1 1 0 2 35 13 lim x2 x2 x 6 x 2 lim x2 8 0 Portanto limite não existe nesse ponto 14 lim x1 x2 4x x2 3x 4 Pela esquerda lim x1 x x4 x1x4 1 0 Pela direita lim x1 1 0 Como os limites laterais são diferentes temos que o limite não existe 15 lim x3 x2 9 2x2 7x 3 lim x3 x3x3 2x1x3 lim x3 x3 2x1 3 231 65 16 lim x1 2x2 3x 1 x2 2x 3 lim x1 2x1x1 x1x3 Lim x1 2x1x3 211 13 14 14 Lim h0 h2 6h 12 02 60 12 12 21 Lim h0 sqrt9 h 3 h INVECE TROVARE POSITIVO Lim h0 1 sqrt9 h 3 1 sqrt9 3 16 lim x4 x4 4xx4 1 4x lim x4 1 44 1 16 3t 1t t 2 1t 1t lim t0 2 1t 1t 2 1 1 1 1 lim x16 16 x x16 x4 x lim x16 1 x4 x 1 16 4 16 1 128 lim t0 1 1 t t 1 t 1 1 t 1 2 lim x4 x² 9 5 x 4 4 15 lim h0 x h³ x³ h lim h0 3x²h 3xh² h³ h lim h0 3x² 3xh h² 3x² 3x0 0² 3x² lim h0 1 x h³ 1 x² h Podemos encontrar o mlet pelo co mum de 1 x h² 4 x² no caso x² x²x h² x h² x²x h² x² x h² x²x h² x² x² 2xh h² x²x h² x² x² 2xh h² x²x h² 2xh h² x²x h² lim h0 2xh h² x² x h² h lim h0 2xh h² h x² x h² lim h0 h 2x h h x² x h² lim h0 2x h x² x h² lim h0 2x 0 x² x 0² 2 x³ 33 x fx 0001 06661663 00001 06666167 000001 06666617 0000001 06666602 0000001 06666672 000001 06666717 0001 06667167 001 06671663 b Os pontos da tabela representam os pontos ao pa fias onde pode se ver que o va lor de x esta se aproximando mais e mais do zero tanto pela direta quanto pela es queda é 2 3 c lim x0 x 1 3x 1 lim x0 x1 3x 1 1 3x 11 3x 1 lim x0 x 1 3x 1 3x lim x0 1 3x 1 3 13 lim x0 1 3 lim x0 x lim x0 1 13 1 30 1 23 3 x Fx 0001 02886992 00001 02886775 000001 02886754 0000001 02886752 0000001 02886751 000001 02886749 00001 02886727 0001 02886511 Onde podese observar que o limite se aproxima de 02887 c lim x0 3 x 3 x lim x0 3 x 33 x 3 x 3 x 3 lim x0 3 x 3 3 x 3 3 x 3 x 3 x 3 lim x0 3 x 3 x 3 x 3 lim x0 1 3 x 3 1 3 0 3 1 23 35 lim x0 x2 cos20πx 0 gx fx hx lim xa gx lim xa hx l lim xa x2 lim x0 x2 0 Em Nossa função 1 cos 20πx 1 x2 x2 cos 20 π x x2 lim x0 x2 lim x0 x2 lim x0 x2 02 0 a sim lim x0 x2 cos 20 π x 0