Lista de Álgebra Linear

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA PRÓREITORIA DE PESQUISA E PÓSGRADUAÇÃO Q1 seja VC0ab conjunto das funções contínuas fabR ou C mostre que fg ab ftgt dt fg V é um produto interno sejam ft1 gtt e htcost calcule a k g e h b o angulo entre gtt e mtt3 c calcule a distancia entre g e m d calcule a projeção de m em g Q2 Prove que o conjunto AeintLcosnπtLi sennπtLnZ é ortonormal Q3 seja VC004 e fg04 ftgtdt fgV sabemos que 1ttn é uma base de Pn considere 1tt2 base de P2 Calcule uma base ortonormal na P2 Q4 seja VR4 WV subespaço onde w1w2w3W onde w11110 w20201 w31001 encontre uma base ortonormal em W Boa sorte obs 1 entrega dia 19 as 18h na sala 332 Bloco 3 UFRR ou na minha casa até as 22h Rua dos Petunias 791 Primavera 2 prova deve ser escrito de caneta azul ou preta com letra legível 3 resgate usam o livro do nosso colega Reginaldo santos UFMG QUESTÃO 1 Para verificar que é um produto interno em R ou C basta checar as três propriedades Linearidade no primeiro argumento para αβK com KR ou C e f1f2ξV αf1 βf2ξ ab αf1tβf2tξt dt α ab f1tξt dt β ab f2tξt dt αf1ξ βf2ξ simetria conjugada para fξV ξf ab ξt ft dt ab ξtft dt ab ξt ft dt ab ft ξt dt fξ logo fξ ξf positividade definida para fV ff ab ftft dt ab ft2 dt 0 se ff0 então ab ft2 dt0 como ft20 a é contínua isso implica ft20 em ab isto é ft0 Portanto é produto interno A norma induzida é fff a para ft1 f2 ab 11 dt ab 1 dt tab ba fba para gtt g2 ab tt dt ab t2 dt t33ab b3 a33 gb3 a33 para htcosπt h2 ab cosπtcosπt dt ab cos2πt dt Umase a identidade cos2πt 1cos2πt2 então u2 ab 1 cos2πt2 dt 12 ab 1 dt 12 ab cos2πt dt b a2 12 sin2πt2πab g2 b a2 sin2πb sin2πa4π u sqrtb a2 sin2πb sin2πa4π b Para ut t3 o ângulo θ entre g e u satisfaz cos θ g u g u Calculase g u ab t t3 dt ab t4 dt t55ab b5 a55 u2 ab t3 t3 dt ab t6 dt t77ab b7 a77 u sqrtb7 a77 Logo cos θ b5 a55 sqrtb3 a33 sqrtb7 a77 c A distância entre g e u é g u isto é dg u sqrtg u g u sqrtab t t3t t3 dt sqrtab t t32 dt Expandese t t32 t2 2t4 t6 então dg u2 ab t2 2t4 t6 dt t33ab 2 t55ab t77ab b3 a33 2 b5 a55 b7 a77 dg u sqrtb3 a33 2 b5 a55 b7 a77 d A projeção de u em g é projgu u g g g g Como u g g u e aqui as funções são reais u g ab t3 t dt ab t4 dt b5 a55 g g ab t2 dt b3 a33 Assim projgu b5 a55 b3 a33 g 3b5 a5 5b3 a3 t QUESTÃO 2 Seja φnt ei n π t L com n Z Considerase o espaço de funções por exemplo L2L L ou CL L munido do produto interno usual das séries de Fourier complexas f g 12L LL ft overlinegt dt Para provar que A φn n Z é ortonormal calculase φn φm e verificase que o resultado é 1 quando n m e 0 quando n m Como φmt ei m π t L ei m π t L temse φn φm 12L LL ei n π t L ei m π t L dt 12L LL ei n m π t L dt Caso n m Nesse caso n m 0 e o integrando vira e0 1 então φn φn 12L LL 1 dt 12L tLL 12L L L 1 Logo φn2 φn φn 1 isto é cada φn já está normalizada Caso n m Definese k n m com k Z 0 Então φn φm 12L LL ei k π t L dt Integrase a exponencial complexa ei k π t L dt L i k π ei k π t L logo φn φm 12L L i k π ei k π t LLL 12L L i k π ei k π ei k π Como k π L k π obtêmse φn φm 12L L i k π ei k π ei k π Umase a identidade ei θ ei θ 2 i sinθ com θ k π Assim ei k π ei k π 2 i sink π 0 pois k Z sink π 0 e consequentemente φn φm 0 n m Reunindo os dois casos φn φm 1 n m 0 n m isto é φn φm δnm Portanto o conjunto A ei n π t L n Z é ortonormal para o produto interno 12L LL dt Observação útil se o produto interno fosse tomado sem o fator 12L isto é LL f g dt então φn φm 0 para n m e φn φn 2L nesse caso o conjunto seria ortogonal e a versão ortonormal seria 12L ei n π t L QUESTÃO 3 Considere P₂ span1 t t² V C⁰0 4 com o produto interno f g ₀⁴ ftgt dt Uma base ortonormal pode ser obtida aplicandose GramSchmidt à base v₀ v₁ v₂ 1 t t² Começase com u₀ v₀ 1 A norma é u₀² 1 1₀⁴ 1 dtt₀⁴4 u₀2 logo e₀t u₀tu₀ 12 Em seguida ortogonalizase v₁ t em relação a u₀ u₁ v₁ v₁ u₀u₀ u₀ u₀ Calculase v₁ u₀ t 1 ₀⁴ t dt t²2₀⁴ 8 u₀ u₀ 1 1 4 portanto u₁ t 84 1 t 2 A norma de u₁ é u₁² t 2 t 2 ₀⁴ t 2² dt ₀⁴ t² 4t 4 dt u₁² t³3₀⁴ 4t²2₀⁴ 4t₀⁴ 643 32 16 163 u₁ 43 Logo e₁t u₁tu₁ 34t 2 Agora ortogonalizase v₂ t² em relação a u₀ e u₁ u₂ v₂ v₂ u₀u₀ u₀ u₀ v₂ u₁u₁ u₁ u₁ Primeiro v₂ u₀ t² 1 ₀⁴ t² dt t³3₀⁴ 643 u₀ u₀ 4 v₂ u₀u₀ u₀ 6434 163 Depois v₂ u₁ t² t 2 ₀⁴ t² t 2 dt ₀⁴ t³ 2t² dt v₂ u₁ t⁴4₀⁴ 2t³3₀⁴ 64 1283 643 u₁ u₁ u₁² 163 v₂ u₁u₁ u₁ 643163 4 Assim u₂ t² 1631 4t 2 t² 4t 83 A norma u₂² ₀⁴ t² 4t 83² dt 25645 u₂ 25645 1645 1635 Logo e₂t u₂tu₂ 4516t² 4t 83 3516t² 4t 83 Portanto uma base ortonormal de P₂ para f g ₀⁴ ftgt dt é e₀t e₁t e₂t 12 34t 2 3516t² 4t 83 e satisfaz eᵢ eⱼ δᵢⱼ para i j 0 1 2 QUESTÃO 4 Considere em ℝ⁴ o produto interno usual x y x y ₖ₁⁴ xₖ yₖ e o subespaço W spanω₁ ω₂ ω₃ ω₁ 1 1 1 0 ω₂ 0 2 0 1 ω₃ 1 0 0 1 Uma base ortonormal em W pode ser obtida pelo processo de GramSchmidt Começase com ū₁ ω₁ A norma é ū₁² ω₁ ω₁ 1² 1² 1² 0² 3 ū₁ 3 Em seguida ortogonalizase ū₂ em relação a ū₁ ū₂ ω₂ ω₂ ū₁ū₁ ū₁ ū₁ Calculase ω₂ ū₁ ω₂ ū₁ 01 21 01 10 2 ū₁ ū₁ 3 logo ū₂ ω₂ 23 ū₁ 0 2 0 1 23 23 23 0 23 43 23 1 Sua norma ū₂² 23² 43² 23² 1² 49 169 49 1 249 1 83 1 113 ū₂ 113 333 Agora ortogonalizase ū₃ em relação a ū₁ e ū₂ ū₃ ω₃ ω₃ ū₁ū₁ ū₁ ū₁ ω₃ ū₂ū₂ ū₂ ū₂ Primeiro coeficiente û3 û1 û3 û1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 û3 û1û1 û1 13 Segundo coeficiente û3 û2 û3 û2 1 23 0 43 0 23 1 1 23 1 53 û2 û2 113 û3 û2û2 û2 53 113 511 Assim û3 û3 13 û1 511 û2 û3 13 û1 511 û2 Calculando cada parcela û3 13 û1 1001 13 13 13 0 23 13 13 1 511 û2 511 23 43 23 1 1033 2033 1033 511 û3 23 13 13 1 1033 2033 1033 511 411 311 711 611 Sua norma û3² 411² 311² 711² 611² 16 9 49 36121 110121 û3 11011 Como û1 û2 û3 não são nulos e ortogonais entre si a família normalizada ê1 û1û1 ê2 û2û2 ê3 û3û3 é uma base ortonormal de W Substituindo as normas obtidas ê1 13 1110 ê2 133 2423 ê3 1110 4376