Lista de Álgebra

Seja T ℝ² ℝ² operador linear e a base α 34 57 B 11 11 subespaço Tₓ 2 4 2 1 calcule a O polinômio característico de T os autovalores de T e os autovetores correspondente b Ache Tᵦ o polinômio característico e conclua que o polinômio característico não depende da base c Encontre uma base γ de ℝ² tal que Tᵧ seja diagonal 2 Encontre o polinômio mínimo e característico da matriz abaixo A a q 0 0 0 a q 0 0 0 a q 0 0 0 a 3 Seja A a b c d e f g h i calcule o polinômio característico de A pₐx x³ trA x² a b d e a c g i e f h i x det A essa é o polinômio característico de A 14 Utilize a forma diagonal para encontrar Aⁿ nos seguintes casos n natural a A 3 4 1 2 b A 0 7 6 1 4 0 0 2 2 Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz quadrada qualquer Quais são as condições Biblioteca de T 12 Mostre que A 3 0 0 0 2 5 0 1 2 não é diagonalizável No entanto se A representar numa certa base um operador linear T V V onde V é um espaço vetorial complexo então T é diagonalizável Verifique este fato ou equivalentemente que existe uma matriz com elementos complexos P3x3 inversível tal que P1AP 3 0 0 0 i 0 0 0 i a Tα 2 4 2 1 detTα λI 2 λ 4 2 1 λ 0 2 λ1 λ 8 0 2 2λ λ λ² 8 0 λ² 3λ 6 0 polinômio característico λ 3 9242 3 332 λ1 3 332 λ2 3 332 2 λx 4y 0 2x 1 λy 0 y 2 λx4 Autovetor é da forma v x 2λx4 para x 1 v 1 2λ4 Assim V1 2 λ14 1 2 3 3324 1 1 338 1 V2 2 λ24 1 2 3 3324 1 1 338 1 b α β P Iαβ 34 x11 y11 x y x y x y 3 x y 4 x 72 y 12 57 x11 y11 x y x y x y 5 x y 7 x 6 y 1 P 72 6 12 1 det P 72 3 12 P1 21 6 12 72 P1 2 12 1 7 Tβ PTα P1 PTα 72 6 12 1 2 4 2 1 5 8 1 1 PTα P1 5 8 1 12 12 1 7 2 4 1 5 Tβ 2 4 1 5 detTβ λ I 2 λ 4 1 5 λ 0 2λ5λ 4 0 10 2λ 5λ λ² 4 0 λ² 3λ 6 0 mesmo pol característico portanto não depende da base c A base que diagonaliza a matriz é simplesmente seus autovetores são γ V₁ V₂ 1 1 338 1 1 338 2 A r a 0 0 0 r a 0 0 0 r a 0 0 0 r det A λI r λ a 0 0 0 r λ a 0 0 0 r λ a 0 0 0 r λ 0 r λ a 0 0 0 r λ a 0 0 0 r λ a 0 0 0 r λ r λ r λ a 0 0 r λ a 0 0 r λ r λ r λ³ r λ⁴ Para o caso específico de a0 o polinômio mínimo se torna r λ já que a matriz ficará diagonal 3 A a b c d e f g h i det A λI a λ b c d e λ f g h i λ 0 a λe λi λ bfg cdh cge λ fha λ bdi λ 0 λ³ λ²a e i λae bd ai cg ei fh aei bfg cdh cge fha bdi 0 λ³ λ²a e i λae bd ai cg ei fh aei bfg cdh cge fha bdi 0 λ³ λ² tr A λa bd e g ch i e fh i det A 0 pλ λ³ λ² tr A λa bd e g ch i e fh i det A 0 14 a A 3 4 1 2 detA 2I 32 4 1 22 0 322 λ 9 0 6 3λ 2λ λ² 9 0 λ² 2λ 2 0 λ₁ 1 λ₂ 2 Para λ 1 A I V₁ 0 4 4 1 1 x y 0 4x 4y 0 x y 0 x y V₁ x x x 1 V₁ 1 1 Para λ 2 A 2I V₂ 0 1 4 1 4 x y 0 x 4y 0 y x4 x 1 V₂ 1 14 P V₁ V₂ 1 1 1 14 P¹ 43 14 1 1 1 13 43 13 13 D 1 0 0 2 A P D P¹ Aⁿ P Dⁿ P¹ Aⁿ 1 1 1 14 n 0 0 2ⁿ 13 43 13 13 Aⁿ 4 2ⁿ 13 23n3 4 42ⁿ3 b A 0 f 6 1 4 0 0 2 2 det A λI 2 7 6 1 4 2 0 0 2 2 λ 0 24 λ 2 λ 12 2 λ 7 1 0 λ² 2λ² λ 2 λ 2 λ² 1 λ 22 11 2 λ₁ 2 λ₂ 1 λ₃ 1 Para λ 2 A 2IV₁ 0 2 7 6 1 2 0 0 2 4 x y z 0 V₁ x y z 2x 7y 6z 0 x 2y 0 2y 9z 0 y x2 z x4 x 1 V₁ 1 12 14 Para λ 1 A IV₂ 0 1 7 6 1 3 0 0 2 3 x y z 0 x 7y 6z 0 x 3y 0 2y 3z 0 y y3 z 2x9 V₂ x y3 y9 x 1 V₂ 1 13 29 Para λ 1 A IV₃ 0 1 7 6 1 5 0 0 2 1 x y z 0 x 7y 6z 0 x 5y 0 2y z 0 y x5 z 2x5 V₃ x y5 2y5 x 1 V₃ 1 15 25 P 1 1 1 12 13 15 14 29 25 P¹ 83 169 4 92 272 9 56 156 5 D 2 0 0 0 1 0 0 0 1 Aⁿ P Dⁿ P¹ 2⁴ 27 51ⁿ6 2³ 9 1ⁿ6 2¹ 1ⁿ33 2ⁿ5 27 51ⁿ6 2ⁿ4 9 1ⁿ6 2ⁿ2 1ⁿ33 2ⁿ2 9 5 1ⁿ 2ⁿ1 3 1ⁿ 2ⁿ 1 21ⁿ Sim Para o caso da matriz ser diagonalizável usase An P Dn P1 já que não seja usase a forma de Jordan ficando An P Jn P1 12 A 3 0 0 0 2 5 0 1 2 detA 2I 32 0 0 0 22 5 0 1 22 322222 532 0 x3 3x2 4x 18 15 3x 0 x3 3x2 7x 3 0 3 2x2 1 0 x1 3 x2 i x3 i x2 e x3 são complexos por isso num espaço real A não é diagonalizável A 3 I V1 0 0 0 0 0 1 5 0 1 5x y z 0 y 5z 0 y 5z 0 y 0 z 0 V1 x 0 0 x 1 V1 1 0 0 A i I V2 0 3i 0 0 0 2i 5 0 1 2ix y z 0 3 i x 0 2 i y 5z 0 y z2 i 0 x 0 y 2 i z z 1 V2 0 2 i 1 A i I V3 0 3 i 0 0 0 2 i 5 0 1 2 i 3 i x 0 2 i y 5z 0 y 2 i z 0 x 0 y 2 i z V3 0 2 i z z z 1 V3 0 2 i 1 P 1 0 0 0 2 i 2 i 0 1 1 det P 2 i 2 i 2i 0 P é inversível em ℂ AP P 3 0 0 0 i 0 0 0 i P1 AP 3 0 0 0 i 0 0 0 i