Álgebra Linear

4 Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de R3 em R3 a Lx x3 x2 x1 b Lx x1 x2 0 c Lx x1 x1 x1 QUESTÃO 1 Considere a transformação linear L R3 R3 O núcleo ou kernel é kerL x R3 Lx 0 e a imagem é ImL Lx R3 x R3 Em cada item tomase x x1 x2 x3 a Lx x3 x2 x1 Primeiro determinase o núcleo impondo Lx 0 x3 x2 x1 000 Isto equivale ao sistema x30 x20 x10 cuja única solução é x1 x2 x3 0 0 0 Logo kerL 0 0 0 Para a imagem observase que L apenas permuta as coordenadas dado y1 y2 y3 R3 basta escolher x y3 y2 y1 pois então Ly3 y2 y1 y1 y2 y3 Assim todo vetor de R3 aparece como saída isto é ImL R3 b Lx x1 x2 0 Para o núcleo impõese Lx 0 o que fornece o sistema x10 x20 00 A terceira equação é uma identidade então a variável x3 fica livre Escrevendo x3 t com t R obtémse x1 x2 x3 0 0 t t0 0 1 Logo kerL 0 0 t t R span0 0 1 Para a imagem tomase um vetor genérico na saída Lx1 x2 x3 x1 x2 0 As duas primeiras coordenadas podem ser quaisquer reais e a terceira é sempre 0 Portanto ImL y1 y2 0 y1 y2 R Também é possível escrever essa imagem como plano gerado por dois vetores ImL span1 0 0 0 1 0 c Lx x1 x1 x1 Para o núcleo impõese Lx 0 x1 x1 x1 0 0 0 equivalente ao sistema x10 x10 x10 que reduz simplesmente a x1 0 Assim x2 e x3 são livres Escrevendo x2 s e x3 t com s t R x1 x2 x3 0 s t s010 t001 Logo ker L 0 a l a t ℝ span0 1 0 0 0 1 Para a imagem a saída sempre tem as três coordenadas iguais Lx1 x2 x3 x1 x1 x1 Seja a x1 Então os vetores da imagem são exatamente os da forma a a a com a ℝ isto é uma reta passando pela origem ImL a a a a ℝ span1 1 1 Resumo final das subseções obtidas a kerL 0 0 0 ImL ℝ³ b kerL span0 0 1 ImL span1 0 0 0 1 0 c kerL span0 1 0 0 0 1 ImL span1 1 1