Lista de Exercício de Cálculo

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral II Prova 03 Prof Roberto Pettres Estudante 1 2 Em virtude da variação térmica e da carga dos condutores os mesmos sofrem dilatação fazendo com que o cabo varie seu comprimento tornando se em determinadas situações mais comprido e em outra mais curto As linhas de transmissão deverão ser projetadas para que esta dilatação não resulte em um aumento da flecha assim comprometendo a segurança do sistema esta flecha é definida como a distância entre o ponto mais baixo da linha e uma referência reta imaginária interligando os isoladores de ancoragem como representado pela letra F na figura abaixo Os dados utilizados são baseados em rede de alta tensão 230 kV com cabo CAA 763 KCM com coeficiente de dilatação de 189x106 localiza em zona rural onde as torres possuem uma altura de 26 metros de altura até o isolante H e de 500 metros de distância representada pela letra A necessitando de um vão livre de no mínimo 7 metros de altura em sua parte mais baixa F dados retirados da NBR 5422 Calcule o comprimento do cabo entre dois isoladores supondo que a curva se aproxima de uma parábola e a variação no comprimento do cabo para uma variação de temperatura de 30 oC Figura 1 Linha de transmissão Sugestões Fixe como 0 0 o ponto mais baixo a curva e 3 Numa fábrica de circuitos impressos a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade fx 0002 e 0002x se x 0 onde x é medido em horas a Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas b Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas 4 Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custobenefício Além da resistência que pode adquirir possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção Porém os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes Um desses cuidados refere se às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto O processo de hidratação do cimento é exotérmico ou seja libera calor enquanto a reação química ocorre Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto elevando a temperatura da mistura Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos a execução de peças muito robustas com grande volume de concreto passou a ser comum nas obras mais convencionais e não mais apenas em obras especiais como barragens e pontes A produção de grandes volumes de concreto portanto necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos o que pode causar fissuração interna do concreto e consequentemente perda de resistência O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa Em geral os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto tipo do cimento quantidade de água temperatura ambiente temperatura de lançamento do concreto espessura das camadas de concreto etc Para evitar o problema térmico no concreto devese fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura APLICAÇÃO Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por Txy 36 x 2 y 2 em C cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a 2 2 2 2 2 2 e 2 2 determine a As curvas de nível de Txy b O vetor gradiente de temperatura c Partindo do 1 1 em qual direção a temperatura aumenta d Partindo do ponto 1 1 em qual direção a temperatura aumenta e Partido do ponto 0 0 em qual direção a temperatura aumenta f Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal g Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de 28 C e que uma elevação de temperatura superior a 4 C provoque a fissuração térmica indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante Questão 1 A função f é contínua se o limite lim xy00 fxy lim xy00 x² y²sqrty² 1 1 existir e for igual a f00 Então multiplicando e dividindo pelo conjugado sqrty²11 temos lim xy00 lim xy00 x² y²sqrty²1 1 lim xy00 x² y²sqrty²1 1 sqrty²11sqrty²11 lim xy00 x² y² sqrty²11y² 1 1 lim xy00 x² y² sqrty²11y² lim xy00 x² sqrty²11 0 Como f00a 4 segue que f000 a 4 0 a4 Questão 2 Temos os seguintes dados H26m é altura das torres até o isolante A500m é a distância entre as torres e F7m chamada de flecha é a distância do ponto mais baixo do cabo à uma linha reta imaginária ligando as duas torres Esses dados estão ilustrados na figura abaixo bem como os eixos coordenados considerando 00 o ponto mais baixo da curva definida pelo cabo Como a a curva formada pelo cabo se aproxima de uma parábola e o seu ponto de mínimo ponto mais baixo é a origem podemos assumir que yax² Para determinar o valor da contante a observe que considerando a parte direita da curvacabo para x250 temos que y7 Logo yax² 7a250² a7250² Portanto obtemos que a equação da curva definida pelo cabo é yx 7x²250² 250 x 250 De posse da equação da curva podemos calcular seu comprimento L utilizando a expressão L from 250 to 250 sqrt1dydx² dx Sendo dydx 14x250² e usando que sqrt1kx² dx 12 x sqrt1kx² 12sqrtk lnsqrtkx sqrt1kx² C obtemos que o comprimento L é dado por L from 250 to 250 sqrt1 14x250²² from 250 to 250 sqrt1 14250²² x² 12 x sqrt1 14250²² x² 12 sqrt14250² ln sqrt14250²² x² sqrt114250²² x² evaluated from 250 to 250 12 x sqrt1 14250²² x² 250²28 ln 14250² x sqrt114250²² x² evaluated from 250 to 250 50026 m Sendo α189 10⁶ o coeficiente de dilatação térmica do material do cabo temos que a variação no comprimento do cabo ΔL é dada por ΔL L α ΔT onde ΔT é a variação de temperatura de 30 graus Assim substituindo os valores na expressão anterior obtemos ΔL50026 18 10⁶ 30 02701404 m Questão 3 A vida útil dos circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade dada por fx0002e⁰⁰⁰²ˣ x0 a A probabilidade dos circuitos funcionaram em menos de 600 horas P0 x 600 é dada por P0 x 600 from 0 to 600 0002 e⁰⁰⁰²ˣ dx e⁰⁰⁰²ˣ evaluated from 0 to 600 e⁰⁰⁰²600 e⁰ e¹² 1 06988 b A probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas P600 x é dada por P600 x ₆₀₀ 0002e⁰⁰⁰²ˣ dx limb ₆₀₀ᵇ 0002e⁰⁰⁰²ˣ dx limb e⁰⁰⁰²ˣ ᵇ₆₀₀ limb e⁰⁰⁰²b e⁰⁰⁰²600 limb e⁰⁰⁰²b 0301194 0301194 Questão 4 Seja Txy 36 x² y² a distribuição de temperatura em uma seção transversal S xy x 2 y 2 esboçada na figura abaixo a As curvas de nível de Txy são as equações Txy 36 x² y² k x² y² 36 k com k constante Logo para cada k temos que as curvas de nível são círculos centrados na origem de raio 36 k Por exemplo a curva de nível k 0 é x² y² 6 ou seja um círculo centrado na origem e raio 6 b O vetor gradiente T é dado por Txy Tx Ty 2x 2y c Sabendo que o vetor gradiente Txy 2x 2y é a direção de maior crescimento da função quando x 1 e y 1 temos que T11 2 2 T11 2² 2² 22 Assim partindo do ponto 11 a direção em que a temperatura aumenta é a do vetor unitário u 22 22 d Sabendo que o vetor gradiente Txy 2x 2y é a direção de maior crescimento da função quando x 1 e y 1 temos que T11 22 T11 2² 2² 22 Assim partindo do ponto 11 a direção em que a temperatura aumenta é a do vetor unitário u 22 22 e Como T00 00 partindo da origem em nenhuma direção a temperatura aumenta f Como T é contínua no quadrado fechado e limitado S o Teorema do Valor Extremo nos garante que existem um máximo e mínimo absolutos em S Começamos calculando os pontos críticos extremos de T Temos que Tₓ Tx xy 2x e Tᵧ Ty xy 2y Os pontos críticos de T são os pontos xy tais que 2x 0 2y 0 Logo temos que 00 é o único ponto crítico no interior de S Agora vamos analisar a fronteira de S que é composta por quatro segmentos nomeados na figura abaixo Claramente os vertices A B C e D do quadrado sao pontos extremos Resta investigar cada aresta de S em busca de pontos crıticos Seja L1 o segmento de reta entre os pontos 2 2 e 2 2 e defina T1x Tx 2 32x2 com 2 x 2 Entao T 1x 2x e 0 2 e um ponto crıtico Seja L2 o segmento de reta entre os pontos 2 2 e 2 2 e defina T2y T2 y 32y2 com 2 y 2 Entao T 2y 2y e 2 0 e um ponto crıtico Seja L3 o segmento de reta entre os pontos 2 2 e 2 2 e defina T3x Tx 2 32 x2 com 2 x 2 Entao T 3x 2x e 0 2 e um ponto crıtico Seja L4 o segmento de reta entre os pontos 2 2 e 2 2 e defina T4y T2 y 32 y2 com 2 y 2 Entao T 4y 2y e 2 0 e um ponto crıtico Como T0 0 36 T2 2 T2 2 T2 2 T2 2 28 e T0 2 T2 0 T0 2 T2 0 32 concluımos que 0 0 e ponto de maximo e os vertices de S sao pontos de mınimo Ou seja a temperatura maxima em S e 36 graus e a mınima e 28 graus g Uma fissura podera ocorrer em areas tais que Tx y 28 36 x2 y2 28 x2 y2 8 x2 y2 2 2 ou seja no disco centrado na origem com raio 2 2 6