Curvas Paramétricas - Exercícios Resolvidos e Análise de Gráficos

Lição 1 Curvas Camila Figueiredo Ekzinan 8146985 chutando valores e construir gráfico imagem 1 a Ft 2t1 t2 x2t1 yt2 t x y 3 1 1 1 2 0 1 3 1 3 4 2 ImF xy R² x2t1 e yt2 é uma reta passando por 50 em x e 052 em y reta crescente b Ft t t³ xt yt³ t xt yt³ xy 8 1 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 11 2 2 8 28 ImF xy R² xt e yt³ é um polinômio de ordem 3 passando pela origem 00 c Ft cos t 2 sen t x y zz sen t fazendo a relação x² y² 1 elipse elevando ao quadrado cos² t sen² t 1 x² 4 y² 4 1 ImF xy R² x cos t e y 2 sen t é uma elipse com 2 e2 cortando o eixo y d Ft 2 cos t 2 sen t xt 2 cos t yt 2 sen t isolando cos t x2 sen t y2 colocando em cos² t sen² t 1 ImF xy R² x 2 cos t e y 2 sen t é uma elipse centrada na origem com semieixo maior igual a 2 em y e 2 em x e Ft cos t sen t 2 x y z ImF xyz xcos t ysen t z2 xyz R³ xcos t xyz R³ ysen t z2 Assum ImF A B z2 representa plano paralelo ao plano xy jogando valores t x y z xyz π2 0 1 2 012 π 1 0 2 102 3π2 0 1 2 012 2π 1 0 2 102 x² y² 2 em R³ denota círculo com centro 002 e raio 2 pois faz a interseção x² y² 1 em R³ com o plano z 2 d Ft 1 t 1 t IR reta no plano tridimensional x y z t x y z xyz 1 1 1 1 111 0 1 0 1 101 1 1 1 1 111 2 1 2 1 121 g Ft ttt t 0 x y z t x y z xyz 0 0 0 1 001 1 1 1 1 111 2 2 2 1 221 3 3 3 1 331 Im é reta com z1 e x e y idênticos h Ft ttt² t 0 t x y z xyz 0 0 0 0 000 1 1 1 1 111 2 2 2 4 224 3 3 3 9 339 parábola i Ft tt1t t 0 j 2 Ft ln t t 1 t² t² a Dominio t e t² sem restrições ent t 0 1 t² 1 t² 0 t² 1 t 1 ou 1 t 1 juntando restrições 0 t 1 b calcular F35 F35 ln 35 35 1 35² 35² F35 ln 35 35 45 925 3 Ft t t 2t 1 ln5 t² et a dominio t e et sem restrição ln5 t² log 0 5 t² 0 t² 5 t 5 5 t 5 raiz não pode ser negativa t 2 0 t 1 somando 1 t 2 1 1 ou t 2 t 1 1 t 3 t 1 multiplicando tudo por t1 se t 1 0 2t 1 t 1 t 2 se t 1 0 1 t mas se t 1 0 t 1 então domínio e menor que 2 denominador 0 t 1 0 t 1 juntando restrições 5 t 5 t 2 t 1 Assim 2 t 5 ou 5 t 1 b Ft 2 1t 42 t² arctg t restrição 1t denominador 0 t 0 raiz 0 2 t² 0 2 t² t 2 2 t 2 juntando 2 t 2 t 0 é o dominio 4 a determinar função vetorial que representa curva dobrada pela interseção de cilindro x² y² 4 z x y parametrizar curva x² y² 4 r 2 sen²t cos²t 1 z x y sen2a 2 senacosa 2 sent² 2 cost² 4 4 sen²t 4 cos²t 4 sen²t cos²t 1 então x 2 cost e y 2 sent z 2 cost 2 sent 4 sentcost 2 sen 2t rt 2 cost 2 sent 2 sen2t b z x² y² igualar equações e parametrizar z y y x² y² y y x² y² y 1² x² y² y² 2y 1 x² 1 2y y x² 12 chamar x de t z y t² 12 z y t²2 12 z t² 12 rt t 12t² 1 12t² 1 c z 4x² y² y x² igualando e parametrização z 4y y² gerando função vetorial y t z 4t t² se y x² x t rt t t 4t t² lim t0 e3t t²sen² t cos 2t 1ª coordenada lim t0 e3t e0 1 2ª coordenada lim t0 t²sen² t dividindo pr t² lim t0 sen tt² lim t0 t2 sen2 t 1 1 3o coordenada lim t0 cos 2t cos 0 1 então lim t0 e3t sen2 t t2 sen2 t cos 2t 1 1 b lim t1 t2 t t 1 t 8 sen πt lnt simplificando em x xt t2 t t 1 tt 1 t 1 t lim t1 t 1 lim t1 t 8 9 3 lim t1 sen πt lnt se substituir t1 zero Utilizar regra de lHospital p calcular limite deriva numerador e denominador lim t1 π cos πt 1t lim t1 π t cos πt π cos u π lim t1 t2 t t 1 t 8 sen πt lnt 1 3 π c lim t t et t3 t 2t3 1 t sen 1 t 0 12 1 lim t t et lim t t et se substituir t ambos p usar regra de lHospital lim t 1 et 0 lim t t3 t 2t3 1 3t2 1 6t2 lim t 6t 1 6t2 lim t 6 12t 12 lim t t sen 1 t lim t sen Jt Jt lHospital deriva t11 t2 lim t 1 t2 cos Jt J t2 lim t cos 1 t cos 0 1 Lista 2 derivada de curvas Camila Figueredo Ekizian 814695 1 a esboce imagem da curva plana Ft com eq vetorial dada encontrar tg passando por ft0 e esboçar ft t 2 t2 1 t0 1 usar t parametrizar e substituir em outra pi deixar curva no formato Yx em seguida determinar derivada de rt Plusso determinar separadamente cada uma dos equações paramétricas em relação a t vetor na posição rt e vetor tg rt pi t 1 x t 2 t x 2 y t2 1 y x 22 1 y x2 4x 5 função quadrática parábola rt t 2 t2 1 x t 2 dxdt 1 dydt 2t rt dxdt dydt 1 2t rt em t 1 r1 1 2 12 1 r1 3 2 vetor tg r1 1 21 1 2 2 a calcular dFdt e d²Fdt² Ft 3t² et lnt² 1 derivada dFdt 6t et 2t t² 1 2a derivada ddt 2t t² 1 2t² 1 2t2t t² 1² 2t² 2 4t² t² 1² 2 2t² t² 1² d²Fdt² 6 et 2 2t² t² 1² b Ft t3 cos t² 3t 1a derivada dFdt 23 t13 2t sen t² 3 2a derivada ddt 2t sen t² 2 sen t² 4t² cos t² d²Fdt² 23 t43 2 sen t² 4t² cos t² c Ft sen 5t cos 4t e2t dFdt 5 cos 5t 4 sen 4t 2 e2t d²Fdt² 25 sen 5t 16 cos 4t 4 e2t 3 Eq da reta tangente à trigédrica da curva derivar e substituir valor dado na função p encontrar ponto na derivada p encontrar vetor tangente a Ft cos t sen t t e fπ3 4 Ft sent cost t Gt t cost sent where ddt Ft Gt Ft Gt Ft Gt ddt Ft Λ Gt Ft Λ Gt Ft Λ Gt para calculor ddt Ft Gt e ddt Ft Λ Gt 5 gq reta fo interseccao cilindros x2 y2 25 e y2 z2 20 em 34z encontar funo vetorial Ft que represente a curva substitua uma na curva se houvermos a2 b2 r2 entao e parametrizado pos a rconst b rsent t 0 2pi do centro 0 0 e raio r x2 y2 25 x 5cost y 5sent parametrizado y2 z2 20 z0 z 20 y2 z 20 5sent2 z 20 25sent2 ep vetorial rt 5cost 5sent 20 25 sent2 derivando por regra de cadeia ddt zt ddu u dudt 20 25 sent2 rt 5sent ccost 12 20 25 sent212 50 sent cost nos pontos 5cost 3 cost 35 t cos1 35 vetor tangente e r cos1 35 5 sent cos1 35 5cost cos1 12 20 25 sent2 cos1 3512 50 sent cos1 35 cost cos1 r cos1 35 5 45 5 35 12 20 25 452 12 50 45 35 r cos1 35 4 3 6 vetorial rt 3 4t î 4 3t ĵ 2 6t k 7 a dfdt ti 2k f0 i j Lista 4 comp arco Camila Ekzon 814695 1 a 01 ti et ĵ dt t22 î et ĵ01 12 e 0 1 12 e1 12 î e1 ĵ b 11 sen 3t î 11t2 ĵ k dt cos 3t3 î arctg t ĵ tk k11 cos 33 arctg 1 1 cos33 arctg1 1 0 2 arctg 1 2 arctg 1 π4 0 π2 2 π2 ĵ 2k c 12 3t î 2ĵ t k2 dt 3t î 2t ĵ t k12 6 4 2 3 2 1 3 2 1 3 î 2 ĵ k 2 Ft ti ĵ et k Gt î ĵ k a 01 Ft Λ Gt dt Ft Gt î ĵ k t 1 et 1 1 1 1 et î et t ĵ t 1 k ₀¹ F t G t dt ₀¹ 1 eᵗ dt ₀¹ eᵗ t dt ₀¹ t s dt xⁿ dt xⁿ¹ n1 c n 1 eˣ dx eˣ c integramos ₀¹ F t G t dt t eᵗ i eᵗ t¹¹ 11 j t¹¹ t 11 k₀¹ t eᵗ i eᵗ t²2 j t²2 t k₀¹ Asrom em 0 e 1 1 e e 12 12 1 1 0 0 2 e e 32 12sho e 2 e i e 32 j 12 k b ₀¹ Ft Gt dt F t G t k j eᵗ ₀¹ t j eᵗ dt t²2 t eᵗ₀¹ 12 1 e 1 12 e 3 a Ft t cost t sent t 0 2π comprimento calcular γt xt J cost t sent cost t sent yt J sent t cost sent t cost Pt cost t sent sent t cost comprimento L ₜ₁ₜ² σt dt t₁ 0 t₂ 2π σt cos t t sen t² sen t t cos t² σt cos²t 2t cos t sen t t² sen²t sen²t 2t cos t sen t t² cos²t 1 t² L ₀²π 1 t² dt t tg u 1 t² sec² u dt sec² u du 1 t² dt t t² 1 ln t t² 1 2 c L 2π 4π² 1 ln 2π 4π² 1 2 b Ft 2t 1 t 1 t 1 2 xt 2t 1 xt 2 yt t 1 yt 1 L ₐᵇ xt² yt² dt L ₁² 2² 1² dt ₁² 5 dt 5 t₁² 5 c Ft eᵗ cos t eᵗ sen t eᵗ t 0 1 LFt ₐᵇ Ft dt Ft eᵗ cos t eᵗ sen t eᵗ sen t eᵗ cos t eᵗ Ft eᵗ cos t eᵗ sen t² eᵗ sen t eᵗ cos t² eᵗ² eᵗ 2 sen²t 2 cos²t 1 sen²t cos²t 1 eᵗ 3 L ₀¹ eᵗ 3 dt 3 ₀¹ eᵗ dt 3 eᵗ₀¹ LFt 3 1 e¹ Lista 5 Lista 5 curva de nivel e limite Camila Ekizian 814695 1 gxy x2 ln xy a g31 x3 y1 g31 32 ln 31 g31 9 ln4 12474 b dominio polinômio log definido só p lnⁿ restritos x y 0 y x acima da linha OK dominio g xy é todo conjunto de pontos xy que estão acima da linha y x no plano xy c imagem x2 0 independente do valor p log x y 0 z g xy x2 lnt onde t x y e t 0 é todo o conjunto de ℝ reais ℝ 2 a Determinar espaço domínio da função fxy x2 y1 soma de duas raízes restrição x2 0 x 2 y1 0 y 1 domínio D xy x 2 y 1 quadrante superior direito a partir do ponto 21 b gxy x 4x2 y2 restrição x 0 4x2 y2 0 D xy x2 y24 0 e x 0 elipse c fxy x yx y função racional restrição x y 0 x y 0 Dr xy ℝ2 x y d fxy xyx1 x 1 0 x 1 Dr xy ℝ2 x 1 e ψxyz 4 x2 9 y2 1 z2 4 x2 0 9 y2 0 1 z2 0 x2 4 y2 9 z2 1 2 x 2 3 y 3 1 z 1 Dr α xyz 2 x 2 3 y 3 1 z 1 3 Desenhe curvas de nível gráfico a fxy x2 y2 iguala função dada a uma constante c x2 y2 c2 x2 y2 A curva fxy c é uma projeção do plano xy circunferência de centro na origem da interseção do gráfico de f com e raio c2 c o plano z c x 0 y z no plano yz Assim q x 0 z y z c x2 y2 z2 c2 no eixo z restrição da raiz x2 y2 0 b fxy 4x2 y2 curva de nível fxy z chutamos z e substituindo na função z1 z3 e z5 z1 fxy z1 4x2 y2 x21 y21 1 elipse xx02a2 yy02b2 1 12 12 1 a b z3 fxy z3 4x2 y2 x234 y23 x2a2 y2b2 1 34 3 34 34 54 54 5 5 z5 fxy z5 4x2 y2 x254 y25 1 a b pl 3 dimensões a ϕxy 3 x² y² 30 3133 32 30 3 x² y² 0 x² y² 1 x² y² 1 circunferencia d radio r1 31 1 x² y² 2 x² y² 1 aroma xx0² yy0² r² centro 00 33 1 x² y² 3 x² y² 4 x²4 y²4 1 ellipse 34 1 x² y² 4 x² y² 5 x²5 y²5 1 ellipse d ϕxy x 3y 3 30 x 3y 0 droits de une reta 31 x 3y 1 32 x 3y 2 e ϕxy 10 4x 5y 3 4x 5y 3 10 y30 25 0 0 x30 0 2 0 xy0 0 0 10 4 a ϕxyz x b ϕxyz x² y² c ϕxyz z d ϕxyz x² 4y² z² elipsoide 5 a lim xy 12 x²y xy² 3³ polinomio substituir 1² 2 12² 3 b lim xy 23 3x 2y 4x² y² não continua em 00 denominador 0 aproximando em x 3 2 2 3 4 2² 3² 0 4 0 2 e 3 estão rodando substituir c lim xy 00 xy² x² y² não é continua aproxima x y² lim ϕy²y y³cos y y² y² y⁴cos y 2y² cos y 2 12 lim ϕ0y 0 y² lim valores diferentes p1 mesmo limite d lim xy 00 x² y² x² y² 1 1 racionalizando x² y² 1 1 x² y² 1 1 x² y² x² y² 1 1 x² y² lim xy 00 0² 0² 1 1 1 1 2 existe