Prova de Cálculo 3

UFCGCCTUnidade Acadêmica de Matemática DISCIPLINA Cálculo Diferencial e Integral III Professor Lindemberg Alunoa Vinicius Pavio dos Santos Primeira avaliação ATENÇÃO Desligue e guarde qualquer aparelho eletrônico Não remova o grampo da prova Questões sem os cálculos serão desconsideradas 1 15 pontos Determine e esboce o domínio da função fx y lnx⁴ 4x² 4y² 2 20 pontos Considere a função fx y x⁴ 1 a Determine a imagem de f b Esboce o gráfico de f 3 15 pontos De acordo com a lei dos gases ideais a pressão P o volume V e a temperatura T de um gás condicionado estão relacionados pela fórmula PV Φ l T para uma constante l Expresse P como uma função de V e T e desenre as curvas de nível associadas a essa função Qual é o significado físico dessas curvas de nível 4 30 pontos Determine o limite se existir ou mostre que o limite não existe a lim y² x² x4 1uyu 2 b Lim x² 4y 3 xx 4y 3 c limp y² y7 y 9 5 10 ponto Determine o conjunto dos pontos no plano xy no qual a função fx y lnx y 1 é contínua 6 10 ponto Existe algum valor de k de modo que a função gx y rr se x y 0 0 2 22 se x y 00 seja contínua em todo ponto de R² Justifique Boa Prova QUESTAO 1 Para determinar o domínio da função devemos garantir que o argumento do logaritmo seja positivo já que a função logaritmo só é definida para valores positivos Plotando no Geogebra temos QUESTAO 2 A B Plotando no Geogebra temos QUESTAO 3 QUESTAO 4 A B QUESTAO 6 Para que a função seja contínua em 00 é necessário que o limite de gx y quando x y 0 0 seja igual ao valor de g0 0 k Ou seja queremos que lim xy 00 x² y x² 3y² k Se o limite existir ele deve ser igual a k para garantir a continuidade em 0 0 Vamos calcular o limite lim xy 00 x² y x² 3y² por diferentes caminhos e ver se ele depende da direção de aproximação Caminho 1 y 0 Se y 0 a função se torna x² 0 x² 3 0² 0 Então ao aproximar xy de 00 ao longo do eixo x o limite é 0 Caminho 2 x 0 Se x 0 a função se torna 0² y 0² 3y² 0 Então ao aproximar xy de 00 ao longo do eixo y o limite também é 0 Caminho 3 y x Se y x a função se torna x² x x² 3x² x³ 4x² x 4 Então ao aproximar x y de 00 ao longo da reta y x o limite é 0 quando x 0 Caminho 4 y x² Se y x² a função se torna x² x² x² 3x⁴ x⁴ x²1 3x² x² 1 3x² Quando x 0 o limite também é 0 Como o limite da função x² y x² 3y² é 0 em todos os caminhos que testamos podemos concluir que o limite existe e é igual a 0 Para que a função seja contínua em 0 0 precisamos que o valor de g0 0 k seja igual a este limite Ou seja k 0 Para que a função seja contínua em todo o plano R² o valor de k deve ser 0 Logo a resposta é que existe um valor de k e esse valor é k 0 QUESTAO 5 c lim xy 00 2xy x² y⁴ Substituindo x 0 e y 0 200 0² 0⁴ 00 Isso resulta em uma indeterminação 00 portanto devemos analisar o comportamento da função ao se aproximar de 0 0 por diferentes caminhos Caminho 1 x 0 y 0 20y 0² y⁴ 0 y² 0 Caminho 2 y 0 x 0 2x0 x² 0⁴ 0 x 0 Podemos tentar resolver esse limite usando coordenadas polares Em coordenadas polares temos x r cosθ e y r sinθ Substituindo essas expressões na função original temos 2r cosθr sinθ r cosθ² r sinθ⁴ O denominador se torna r² cos²θ r⁴ sin⁴θ rcos²θ r² sin⁴θ 2r¹ cosθ sinθ rcos²θ r² sin⁴θ 2r cosθ sinθ cos²θ r² sin⁴θ Quando r 0 o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1 Portanto o limite é 0 O limite existe e é igual a 0