Lista de Exercícios Resolvidos - Massa e Centro de Massa de Lâminas

EXERCÍCIOS 183 Nos Exercícios de 1 a 12 ache a massa e o centro de massa da lâmina se a densidade de massa por unidade de área for a indicada A massa é medida em quilogramas e a distância em metros 1 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x 3 y 2 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é xy² kgm² 2 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x 4 y 5 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é x² y kgm² 3 A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta x 2y 6 A densidade em qualquer ponto é y² kgm² 4 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y x² pela reta y 1 e pelo eixo x A densidade em qualquer ponto é x y kgm² 4 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela parábola x² 8y pela reta y 2 e pelo eixo y A densidade de massa por unidade de área varia com a distância à reta y 1 1040 Integração Múltipla 6 A lâmina na forma da região limitada pela curva y ex pela reta x 1 e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x 7 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x² y² a² e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a soma das distâncias aos dois lados retos 8 A lâmina na forma da região limitada pelo triângulo cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta 3x 2y 18 A densidade de massa por unidade de área varia como o produto das distâncias aos eixos coordenados 9 A lâmina na forma da região limitada pela curva y sen x e pelo eixo x de x 0 a x π A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x 10 A lâmina na forma da região limitada pela curva y x e pela reta y x A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo y 11 A lâmina na forma da região do primeiro quadrante limitada pela circunferência x² y² 4 e pela reta x y 2 A densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é xy kgm² 12 A lâmina na forma da região limitada pela circunferência x² y² 1 e pelas retas x 1 e y 1 A densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é xy kgm² 1 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x 3 y 2 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é xy² kgm² ① CM x3 y2 ρxy² XCMxρxy dA ρxydA YCM yρxy dA ρxydA m m ₀³ ₀² xy² dy dx ₀³ ₀² xy² dy dx ₀³ 8x3 dx xy33 ₀² x3 2³ 0³ 8x3 m 83 x²2 ₀³ 86 3² 0² m 86 9 833 28 12 kg XCM 112 ₀³ ₀² x y² dy dx 112 ₀³ 8x²3 dx 112 83 x³3 ₀³ x² y³3 ₀² 8x²3 XCM 2412 2 m YCM 112 ₀³ ₀² x y³ dy dx 112 ₀³ 4x dx 112 4 x²2 ₀³ 1812 xy44 ₀² x4 2⁴ 0⁴ 4x YCM 15 m 2 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x 4 y 5 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é x² y kgm² ② m ρxy dA ⁴₀ ⁵₀ x² y dy dx x² y y²2 5 x² 252 m ⁴₀ 5 x² 252 dx 5 x³3 252 x⁴₀ 1567 kg Xcm 11567 ⁴₀ ⁵₀ x x² y dy dx 11567 ⁴₀ 5 x³ 25 x2 dx ⁵₀ x³ xy dy x³ y x y²2⁵₀ 5 x³ 25 x2 Xcm 11567 5 x⁴4 252 x²2⁴₀ 4201567 268 m Ycm 11567 ⁴₀ ⁵₀ y x² y dy dx ⁵₀ x² y y² dy x² y²2 y³3⁵₀ 25 x²2 1253 Ycm 11567 ⁴₀ 25 x²2 1253 dx 43331567 277 m 3 A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta x 2y 6 A densidade em qualquer ponto é y² kgm² 3 ρ xy y2 x 2y 6 X 6 2y 0 x 6 2y 0 y 3 m 03 062y ρxy dx dy 062y y2 dx y2 x 0 62y y2 6 2y 0 6y2 2y3 m 03 6y2 2y3 dy 6 y33 2 y44 03 272 135 kg Xcm 1135 03 062y x ρxy dx dy 062y x y2 dx x2 y2 2 062y y22 6 2y2 2 y2 3y2 9 6 y y2 Xcm 1135 03 2 y4 12 y3 18 y2 dy Xcm 1135 2 y55 12 y4 4 18 y33 03 162135 12 m Ycm 1135 03 062y y y2 dx dy 062y y3 x 062y y3 62y 6 y3 2 y4 1135 03 6 y3 2 y4 dy 1135 6 y 44 2 y55 03 293135 Ycm 18 cm 0 x 1 x2 y 1 m 01 x21 x y dy dx x y y2 2 x21 x 1 x2 12 x22 2 x x3 x5 2 12 m 01 x x3 x42 12 dx x2 2 x4 4 12 x5 5 12 x 01 1320 065 kg Xcm 1065 01 x21 x x y dy dx x2 x4 x5 2 12 x Xcm 1065 01 x2 x4 x5 2 12 x dx 033065 0507 Xcm 051 m Ycm 1065 01 x21 y x y dy dx 1065 01 x2 x5 2 13 x6 3 dx y3 3 x y2 2 x21 x 2 x5 2 1 3 x6 3 Ycm 1065 12 x2 2 12 x6 6 13 x 13 x7 7 01 045065 069 m 4 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y x2 pela reta y 1 e pelo eixo y A densidade em qualquer ponto é x y kgm2 5 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela parábola x² 8y pela reta y 2 e pelo eixo y A densidade de massa por unidade de área varia como a distância à reta y 1 5 y x²8 x² 8y ρxy y 1 x²8 y 2 0 x 4 m ₀⁴ ₓ²₈² y1 dy dx ₀⁴ 4 x³8 x⁵128 dx x²8 y x²8 y² 4 x²8 x⁴128 m 4x 13x³ 1128x⁵5₀⁴ 1173 kg Xcm ₀⁴ ₓ²₈² xy1 dy dx 11173 11173 ₀⁴ 4x x³8 x⁵128 dx x 4 x²8 x⁴128 4x x³8 x⁵128 Xcm 11173 4x²2 19 x⁴4 1128 x⁶6₀⁴ 18671173 159 m Xcm 159 m Ycm 11173 ₀⁴ ₓ²₈² yy1 dy dx 11173 ₀⁴ 83 x⁶1536 x⁴128 2 dx y³3 y²2 ₓ²₈ Ycm 11173 ₀⁴ 143 x⁶1536 x⁷128 dx 11173 143 x x⁷15367 x⁵1285₀⁴ Ycm 11173 1554 132 m 6 A lâmina na forma da região limitada pela curva y eˣ pela reta x 1 e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x 6 y ex x 1 ρxy y distância até o eixo x que fica em y 0 0 x 1 0 y ex m ρxy dy dx m ₀¹ ₀ex y dy dx ₀¹ e2x2 dx 12 12 e2x 01 e214 y22 ₀ex e2x2 m 160 kg Xcm 1160 ₀¹ ₀ex x y dy dx 1160 12 ₀¹ x e2x dx x y22 ₀ex x e2x2 Integrais por partes ₀¹ x e2x dx x e2x2 01 12 ₀¹ e2x dx e202 e2x4₀1 e22 e214 e214 u x du dx e2x dx du v e2x2 Xcm 1160 12 e214 066 m Ycm 1160 ₀¹ ₀ex y2 dy dx 1160 ₀¹ e3x3 dx e311609 y33 ₀ex e3x3 e3x9 01 Ycm 133 m 7 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x² y² a² e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a soma das distâncias aos dois lados retos 7 x² y² a² ρ x y 0 y a 0 x a² y² m ₀ª ₀a² y² x y dx dy x²2 yx ₀a² y² a² y²2 ya² y² m ₀ª a² y²2 y a² y² dy ₀ª a² y²2 dy ₀ª y a² y² dy m 2a³3 kg a² y2 12 y³3 ₀ª a³3 μ a² y² du 2y dy du y dy 12 a² u du a³3 Xcm 12a³3 ₀ª ₀a² y² x x y dx dy x³3 yx²2 ₀a² y² a² y²323 y a² y²2 Xcm 12a³3 ₀ª a² y²323 dy ₀ª y a² y²2 dy I II 1º quadrante y a x a x² y² a² cm 7 continuação parte 1 I 0a a2 y232 3 dy por partes 13 γ a2 y232 0a 3 0a γ2 a2 y212 dy 0 03 0 38 a4 arcsinya 14 sin4 arcsinya 13 0 38 a4 π2 π a416 II 12 0a γ a2 y2 dy 12 12 u du 14 u2 u a2 y2 u28 y2 a28 0a a48 du2 y dy Xcm 12a3 π a416 a48 32 a32 π16 18 32 a π16 18 Xcm 048 a m III IV Ycm 32 a3 0a 0a γ ry dx dy 32 a3 0a γ2 a2 y2 dy 0a γ a2 y22 dy γ x22 γ y22 0a γ a2 y2 γ a2 y22 7 continuação parte 2 III 0a γ2 a2 γ2 dy Substituição γ a sinu dy a cosu du 0a² γ2 a2 γ2 dy u1u2 a2 sin2u a2 a2 sin2u a cosu du a21 sin2u a cosu 0π2 a4 sin2u cos2u du 1 cos4u8 a48 0π2 1 cos4u du 0 π2 du π20 cos4u du π2 0 μ1 arcsin0a 0 μ2 arcsinaa π2 III a48 π2 a4 π16 7 continuação parte 3 IV 0a γ a2 γ22 dy 12 a2 0a γ dy 0a γ3 dy a48 γcm 32a3 III IV 32a3 a4 π16 a48 γcm 32 π16 18 a 048 a m 8 A lâmina na forma da região limitada pelo triângulo cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta 3x 2y 18 A densidade de massa por unidade de área varia como o produto das distâncias aos eixos coordenados 8 Continuação Xcm 1m ₀⁶ ₀183x2 x² y dy dx 18m ₀⁶ 324x² 108x³ 9x⁴ dx Xcm 1121518324x³3 108x⁴4 9x⁵5₀⁶ 291161215 Xcm 24 m Ycm 1m ₀⁶ ₀183x2 x y² dy dx x y³3 ₀183x2 x24183x³ x245832 2916x 486x² 27x³ Ycm 11215124 ₀⁶ 5832x 2916x² 486x³ 27x⁴ dx 5832x²2 2916x³3 486x⁴4 27x⁵5 ₀⁶ 104976 Ycm 36 m 9 A lâmina na forma da região limitada pela curva y sen x e pelo eixo x de x 0 a x π A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x γ minx 0 y minx 0 x π ρxy y distância ao eixo x m ₀π ₀minx y dy dx 12 ₀π min²x dx y²2 ₀minx min²x2 12 1 cos2x m 12 12 ₀π dx 12 ₀π cos2x dx 12 π2 π4 kg x2 ₀π π2 12 min2x ₀π 002 0 Xcm 1m ₀π ₀minx xy dy dx 12m ₀π x min²x dx x y²2 ₀minx x min²y2 Xcm 12π4 ₀π x min²x dx 2π ₀π2 x 1 cos2x dx 1π ₀π x dx ₀π x cos2x dx μ x du dx do cos2x dx v min2x2 x²2 ₀π π²2 por partes ₀π x cos2x dx x min2x2 ₀π 12 ₀π min2x dx Xcm π2 157 m 9 contínuo γcm 4π ₀π ₀minx y² dy dx 43π ₀π min³x dx y³3 ₀minx min³x3 ₀π min³x dx ₀π 1 cos²x minx dx ₀π minx dx ₀π cos²x minx dx 2 23 43 cosx ₀π μ Kosx du minx dx cos²x3 cos³x ₀π 13 13 23 γcm 93π 43 169π 057 m 10 A lâmina na forma da região limitada pela curva y x e pela reta y x A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo y γ x y x x x x x² x 1 او x 0 x y x 0 x 1 pxy x m ₀¹ₓx x dy dx ₀¹ xx x² dx ₀¹ x³² x² dx m ₀¹ x³² dx ₀¹ x² dx x⁵²52 0¹ x³3 0¹ 25 13 m 6515 115 kg Xcm 1m₀¹ₓx x² dy dx 1m ₀¹ x⁵² x³ dx 15 x⁷²72 x⁴4 ₀¹ x² y x x x² x x x⁵² x³ Xcm 15 27 14 1528 054 m Ycm 15₀¹ₓx x y dy dx 15 ₀¹ x²2 dx ₀¹ x³2 dx x y²2 x x x2 x x² Ycm 15 x³23 0¹ x⁴24 0¹ 1524 063 m 11 A lâmina na forma da região do primeiro quadrante limitada pela circunferência x² y² 4 e pela reta x y 2 A densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é x y kgm² CM x y 2 y² 4 x² ρxy xy x2 y2 4 x y 2 y 4x2 2 x 4 x2 2 x2 4 4x x2 2x2 4x 0 x 2x 4 0 x422 x 2 y 2 x 2 2 0 x 0 y 2 0 2 m 02 2x4x2 xy dy dx x y22 2x4x2 x2 4x2 2x2 x2 2x2x m 02 x2 2x dx m 02 2 x2 dx 02 x3 dx 2 x33 02 x44 02 23 8 164 43 m 43 kg 133 kg m 43 kg 133 kg Xcm 1m 02 2x4x2 x y2 dy dx 1m 02 2x3 x4 dx 1m 2x44 x55 02 x y22 2x4x2 x22 4x2 2x2 Xcm 85 43 85 34 12 m Continuación Ycm 1m 02 2x4x2 x y2 dy dx x y33 2x4x2 x3 4x232 2x3 34 02 x3 4x232 8 12x 6x2 x3 dx 14 13 02 x 4x232 dx 02 x3 6x2 12x 8 dx u 4 x2 du 2x dx dy2 x dx x44 6x33 12x22 8x 02 4 12 40 u32 du 325 Ycm 12 m 12 A lâmina na forma da região limitada pela circunferência x2 y2 1 e pelas retas x 1 e y 1 A densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é xy kgm2 12 ρxy xy x2 y2 1 x 1 y 1 y 1x2 1x2 y 1 0 x 1 m ₀¹ 1x2¹ xy dy dx xy22 x2 1² 1x2 x32 m ₀¹ x32 dx 12 x44₀¹ 18 0125 kg Xcm 1m ₀¹ 1x2¹ x²y dy dx x²y22₁1x2 x22 1²1x2 x42 Xcm 8 ₀¹ x42 dx 12 x55₀¹ 110 Xcm 810 08 m Ycm 8 ₀¹ 1x2¹ x y2 dy dx 83 ₀¹ x 11x232 dx Ycm 83 ₀¹ x dy ₀¹ x1x232 dx 83 12 μ1x2 du2 x dx u32 du u52 25₁₀ 810 08 m Calcule R x 2ydA onde R é a região limitada pelas parábolas y 2x² e y 1 x² como no gráfico da figura 1 Figura 1 7 R x 2y dA y 2x² y 1 x² y 2x² 1 x² 2x² x² 1 x² 1 x 1 ₁¹ 1x² 2x² x 2y dy dx xy 2 y²2 2x²¹ x y y² 2x²¹ x 1 x² 2x² 1x²² 2x²² x x³ 1 2x² 3x4 ₁¹ x x³ 1 2x² 3x4 dx x²2 x44 x 2x³3 3x55 ₁¹ 1² 1²2 1⁴ 1⁴4 1 1 23 1³ 1³ 35 1⁵ 1⁵ 12 14 2 23 11 35 11 3215 R x 2y dA 3215 213 Dada a região Q mostrada na figura 2 encontre a integral tripla sen y² sen v² dV em Q 3 Integrar 0³ 09x² 09x² dzdydx 0³ 09x² dz 09x² dy dx 0³ 9x² 09x² 0 dx 0³ 9 x² dx 9x x³3 0³ 930 13 3³ 0³ 27 3³3 27 9 18 4 y² 2x x y 9 x y²2 4 y y² 24 y y² 8 2y y² 2y 8 0 y 2 4 418 21 y 2 36 2 2 6 2 y₁ 2 y₂ 4 4 y 2 y²2 x 4 y A 4 to 2 y²2 to 4y dx dy 4 to 2 4 y y²2 dy 4 to 2 4 y y²2 dy 4y y²2 12 y³3 4 to 2 24 6 12 18 A 18 5 Calcule o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e o plano 3x 6y 4z 12 representado na figura 4 Figura 4 3x 6y 4z 12 z 123x6y 4 z 0 y 123x 6 zy 0 x 12 3 4 V 04 0123x6 0123x6y4 dz dy dx z0123x6y4 123x6y4 V 04 0123x6 14 123x6y dy dx 19 12y 3xy 6y²20123x6 V 14 04 3x²4 6x 12 dx 14 34 x³3 6x²2 12x04 V 4 1 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x 3 y 2 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é xy² kgm² 1 CM X 3 Y 2 p 𝑥𝑦2 X𝑐𝑚 𝑥 𝜌𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝜌𝑥𝑦 𝑑𝐴 Y𝑐𝑚 𝑦 𝜌𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝜌𝑥𝑦 𝑑𝐴 m m m 03 02 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 03 02 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 03 8𝑥3 𝑑𝑥 𝑥𝑦33 02 𝑥3 23 03 8𝑥3 m 83 𝑥22 03 86 32 02 m 86 9 83923 12 kg X𝑐𝑚 112 03 02 𝑥 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 112 03 8𝑥23 𝑑𝑥 11283 𝑥33 03 𝑥2 𝑦33 02 8𝑥23 X𝑐𝑚 2912 2 m Y𝑐𝑚 112 03 02 𝑥 𝑦3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 112 03 4𝑥 𝑑𝑥 112 4 𝑥22 03 1812 𝑥𝑦44 02 𝑥4 24 04 4𝑥 Y𝑐𝑚 15 𝑚 2 A lâmina na forma de uma região retangular limitada pelas retas x4 y 5 e pelos eixos coordenados A densidade em qualquer ponto é 𝑥2 𝑦 kgm2 2 m 𝜌𝑥𝑦 𝑑𝐴 04 05 𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 x2 𝑦 𝑦22 05 5𝑥2 252 m 04 5𝑥2 252 𝑑𝑥 5𝑥33 252 x 04 1567 kg X𝑐𝑚 11567 04 05 x 𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 11567 04 5𝑥3 25𝑥2 𝑑𝑥 05 𝑥3 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑥3 𝑦 𝑥𝑦22 05 5𝑥3 25𝑥2 X𝑐𝑚 11567 5𝑥44 252 𝑥22 04 4201567 268 𝑚 Y𝑐𝑚 11567 04 05 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 05 𝑥2 𝑦 𝑦3 3 𝑑𝑦 𝑥2 𝑦22 𝑦33 05 25𝑥22 1253 Y𝑐𝑚 11567 04 25𝑥22 1253 𝑑𝑥 43331567 217 𝑚 252 𝑥33 1253 x 04 3 A lâmina na forma de uma região retangular cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta x 2y 6 A densidade em qualquer ponto é y² kgm² 3 ρxy y² x 2y 6 x 6 2y 0 x 6 2y 0 y ³ m ₀³ ₀⁶²ʸ ρxy dx dy ₀⁶²ʸ y² dx y²x ₀⁶²ʸ y² 6 2y 0 6 y² 2 y³ m ₀³ 6 y² 2 y³ dy 6 y³3 2 y⁴4₀³ 272 135 kg Xcm 1135 ₀³ ₀⁶²ʸ x ρxy dx dy ₀⁶²ʸ x y² dx x² y²2 ₀⁶²ʸ y²2 6 2y² 2 y² 3 y² 9 6y y² Xcm 1135 ₀³ 2 y⁴ 12 y³ 18 y² dy Xcm 1135 2 y⁵5 12 y⁴4 18 y³3₀³ 162135 12 m Ycm 1135 ₀³ ₀⁶²ʸ y y² dx dy y³ x ₀⁶²ʸ y³ 6 2y 6 y³ 2 y⁴ 1135 ₀³ 6 y³ 2 y⁴ dy 1135 6 y⁴4 2 y⁵5₀³ 293135 Ycm 218 cm 4 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y x² pela reta y 1 e pelo eixo y A densidade em qualquer ponto é x y kgm² 0 x 1 x² y 1 m ρ xy d A 0¹ x²¹ x y dy dx x y y²2 x²¹ x 1 x² 1 x²²2 x x³ x⁴2 12 m 0¹ x x³ x⁴2 12 dx x²2 x⁴4 12 x⁵5 12 x ₀¹ 1320 065 kg xcom 1065 0¹ x²¹ xx y dy dx x² x⁴ x⁵2 12 x xcom 1065 0¹ x² x⁴ x⁵2 12 x dx 033065 0507 x³3 x⁵5 12 x⁶6 12 x²2 ₀¹ 310 033 xcom 051 m Ycom 1065 0¹ x²¹ yx y dy dx 1065 0¹ x²2 x⁵2 13 x⁶3 dx y³3 x y²2 x²¹ x2 x⁵2 13 x⁶3 Ycom 1065 12 x²2 12 x⁶6 13 x 13 x⁷7 ₀¹ 045065 069 m 5 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitadapela parábola x² 8y pela reta y 2 e pelo eixo y A densidade de massa por unidade de área varia como a distância à reta y 1 y y 2 y x²8 x 5 y x²8 x² 8y ρ xy y 1 x²8 y 2 0 x 4 m 0⁴ x²8² y 1 dy dx 0⁴ 4 x²8 x⁴128 dx y²2 y x²8 ² 4 x²8 x⁴128 m 4x 18 x³3 1128 x⁵5 ₀⁴ 1173 kg xcom 0⁴ x²8² x y 1 dy dx 11173 11173 0⁴ 4x x³8 x⁵128 dx x 4 x²8 x⁴128 xcom 11173 4 x²2 18 x⁴4 1128 x⁶6 ₀⁴ 18671173 159 m xcom 159 m Ycom 11173 0⁴ x²8² y y 1 dy dx 11173 0⁴3 83 x⁶1536 x⁴128 2 dx y³3 y²2 x²8² γ33 0⁴ 143 x x⁶1536 x⁹128 dx 11173 143 x x⁷15367 x⁵1285 ₀⁴ Ycom 11173 15154 132 m 6 A lâmina na forma da região limitada pela curva y ex pela reta x 1 e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x 6 y ex x 1 ρxy y distância até o eixo x que fica em y 0 0 x 1 0 y ex m ρxy dx dy m ₀¹ ₀ex y dy dx ₀¹ e2x2 dx ½ ½ e2x₀¹ e² 14 y²2₀ex e2x2 m 160 kg Xcm 1160 ₀¹ ₀ex x y dy dx 1160 ½ ₀¹ x e2x dx x y²2₀ex x e2x2 Integração por partes ₀¹ x e2x dx x e2x2₀¹ ½ ₀¹ e2x dx e² 02 e2x4₀¹ e² 02 e² 14 e²14 u x du dx e2x dx dσ σ ex2 Xcm 1160 ½ e² 14 066 m Ycm 1160 ₀¹ ₀ex y² dy dx 1160 ₀¹ e3x3 dx e³ 11609 Ycm 133 m 7 A lâmina na forma da região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x² y² a² e pelos eixos coordenados A densidade de massa por unidade de área varia como a soma das distâncias aos dois lados retos x² y² a² p x y 0 y a 0 x a² y² m ₀ᵃ ₀a² y² x y dx dy x²2 yx a² y² ₀ a² y² 2 y a² y² m ₀ᵃ a² y² 2 y a² y² dy ₀ᵃ a² y² 2 dy ₀ᵃ y a² y² dy m 2a³3 kg a²2 y 12 y³3 ₀ᵃ a³ 3 μ a² y² du 2y dy du2 y dy ᵃ₀ u du a³3 xcm 12a³3 ₀ᵃ ₀a² y² xx y dx dy x³3 yx²2 ₀ a² y² a² y²³2 3 y a² y²² 2 xcm 12a³3 ₀ᵃ a² y²³2 3 dy ₀ᵃ y a² y² 2 dy I II 7 continuação parte 1 I ₀ᵃ a² y²³2 3 dy por partes 13 y a² y²³2 ₀ᵃ 3 ₀ᵃ y² a² y²¹2 dy 0 0 3 0 38 a⁴ arcsin ya 14 sin4 arcsiny2 13 0 38 a⁴ π2 π a⁴ 16 II 12 ₀ᵃ y a² y² dy 12 12 u du 14 u²2 u a² y² u² 8 y² a² 8₀ᵃ a⁴ 8 Xcm 12a²3 π a⁴ 16 a⁴ 8 32 a π 16 13 Xcm 648 a m III IV Ycm 32a³ ₀ᵃ ₀a² y² y x y dx dy 32a³ ₀ᵃ y² a² y² dy ₀ᵃ y a² y² 2 dy y x²2 y² x a² y² ₀ y² a² y² y a² y² 2 7 continuação parte 2 III ₀ᵃ y² a² y² dy Substituição y a sinu dy a cosu du ₀ᵃ y² a² y² dy ᵤ₁ᵤ₂ a² sin²u a² a² sin²u a cosu du a² a² sin²u a² 1 sin²u a² cos²u a cosu ₀ᴨ2 a⁴ sin²u cos²u du 1 cos4u8 a⁴8 ₀ᴨ2 1 cos4u du ₀ᴨ2 du ₀ᴨ2 cos4u du π2 0 μ₁ arcsin0a 0 μ₂ arcsinaa π2 III a⁴8 π2 a⁴ π 16 7 continuação parte 3 IV ₀ᵃ γ a² γ² 2 dy 12 a² ₀ᵃ γ dy ₀ᵃ γ³ dy a⁴8 γ²2₀ᵃ γ⁴4₀ᵃ γcm 32a³ III IV 32a³ a⁴π16 a⁴8 γcm 32 π16 13 a 048 a m 8 A lâmina na forma da região limitada pelo triângulo cujos lados são segmentos dos eixos coordenados e a reta 3x 2y 18 A densidade de massa por unidade de área varia como o produto das distâncias aos eixos coordenados 3x 2y 18 8 3x 2y 18 ρxy xy γ 0 x 183 6 0 x 6 x 0 γ 182 9 0 y 18 3x2 m ₀⁶ ₀ 18 3x2 xy dy dx xy²2₀ 183x2 x2 18 3x 2² x8 183x² 324 108x 9x² M 18 ₀⁶ 324 x 108x² 9x³ dx 18 324x²2 108 x³3 9 x⁴4₀⁶ m 1215 kg 8 Continuação Xcm 1m ₀⁶ ₀ 183x2 x² y dy dx 18m ₀⁶ 324 x² 108x³ 9 x⁴ dx x² y²2 ₀ 183x2 18 324 x² 108x³ 9 x⁴ Xcm 1121518 324 x³3 108 x⁴4 9 x⁵5₀⁶ 29161215 Xcm 24 m γcm 1m ₀⁶ ₀ 183x2 x y² dy dx xy³3 ₀ 183x2 x24 183x³ x24 5832 2916 x 486 x² 27 x³ γcm 11215124 ₀⁶ 5832 x 2916 x² 486 x³ 27 x⁴ dx 5832 x²2 2916 x³3 486 x⁴4 27 x⁵5 ₀⁶ 104976 γcm 36 m 9 A lâmina na forma da região limitada pela curva y sen x e pelo eixo x de x 0 a x π A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x 9 y sinx 0 y sinx 0 x π ρxyy distância ao eixo x m 0π0sinx y dy dx 12 0π sin²x dx y²2 0 sinx2 12 1cos2x m 12 0π 12 dx 12 0π cos2x dx 12 π2 π4 kg x2 0π2 π2 12 sin2x π 0 0 02 0 Xcm 1m 0π0sinx xy dy dx 12m 0π x sin²x dx x y²2 0 sinx x sin²x2 Xcm 12π4 0π x sin²x dx 2π 0π x2 1cos2x dx 1π 0π x dx 0π x cos2x dx μ x du dx du cos2x dx ν sin2x2 k²2 0 π²2 por partes 0π x cos2x dx x sin2x2 0π 12 0π sin2x dx 0 12 sin2x2 π 0 Xcm π2 157 m 9 conti nuação Ycm 4π 0π0sinx y²dy dx 43π 0π sin³x dx y³3 0 sinx sin³x 3 0π sin³x dx 0π 1cos²xsinx dx 0π sinx dx 0π cos²x sinx dx 2 23 43 cosx π 0 μ cosx du sinx dx cosπ cos0 1 1 2 u² du u³3 cos³x3 π 0 1 13 23 Ycm 93π 43 169π 057 m