Trabalho de Cálculo

1 Determine as antiderivadas ou integrais indefinidas a ³x2 dx b 2 3x⁴ dx 2 Calcule a integral iterada ₀²₀¹2x 3y⁴ dx dy 3 Calcule a integral dupla ₀²₀ˣ y dy dx 4 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide z 5 x² y² e acima do retângulo R xy 2 x 2 0 y 2 Resolução da Questão 1 Cálculo III 1 Determinar as antiderivadas ou integrais indefinidas a ³x2 dx Passo 1 Reescrevendo a raiz como potência fracionária Sabemos que x x¹² Portanto podemos reescrever a integral como 32 x¹² dx Passo 2 Aplicando a regra da potência A regra da potência para integrais indefinidas afirma que para qualquer número real n 1 xⁿ dx xⁿ¹n 1 C Aqui temos n ½ então somamos 1 ao expoente 12 1 32 Passo 3 Resolvendo a integral 32 x¹² dx 32 x³² 32 C Multiplicamos os coeficientes 32 23 x³² C Passo 4 Simplificando Os fatores 32 e 23 se cancelam resultando em x³² C Resposta final ³x2 dx x³² C b 2 3x⁴ dx Determinar a antiderivada I 2 3x⁴ dx Passo 1 Expansão do Binômio de Newton Sabemos que um binômio elevado a uma potência pode ser expandido utilizando o Teorema do Binômio de Newton a bⁿ Σ de k0 até n nk aⁿᵏ bᵏ Neste caso temos 2 3x⁴ onde a 2 b 3x n 4 Expansão do binômio 2 3x⁴ Σ de k0 até 4 4k 2⁴ᵏ 3xᵏ Passo 2 Cálculo dos Coeficientes Binomiajs Os coeficientes binomiais são dados por nk n k nk Calculamos cada um 40 1 41 4 42 6 43 4 44 1 Passo 3 Expansão do Binômio Substituímos os coeficientes na soma 2 3x⁴ 40 2⁴ 3x⁰ 41 2³ 3x¹ 42 2² 3x² 43 2¹ 3x³ 44 2⁰ 3x⁴ Agora calculamos cada termo Resolução da Questão 4 Cálculo III 4 Cálculo do Volume Abaixo do Paraboloíde A integral a ser resolvida é V from 2 to 2 from 0 to 2 5 x² y² dy dx Passo 1 Resolver a Integral Interna A integral mais interna é I₁ from 0 to 2 5 x² y² dy Integramos cada termo separadamente 5 dy 5y x² dy x²y y² dy y³ 3 Aplicamos os limites y0 e y2 I₁ 52 x²2 2³ 3 50 x²0 0³ 3 10 2x² 83 Passo 2 Resolver a Integral Externa Agora resolvemos V from 2 to 2 10 2x² 83 dx Separando em três integrais V from 2 to 2 10 dx 2 from 2 to 2 x² dx 83 from 2 to 2 dx Calculamos cada termo 10 dx 10x from 2 to 2 102 102 20 20 40 x² dx x³ 3 from 2 to 2 2³ 3 2³ 3 83 83 83 83 163 Multiplicamos por 2 2 163 323 dx x from 2 to 2 2 2 4 Multiplicamos por 83 83 4 323 Passo 3 Somando os Resultados V 40 323 323 V 40 643 V 1203 643 563 Passo 4 Resposta Final V 563 1161 483x 649x² 4227x³ 1181x⁴ 16 96x 216x² 216x³ 81x⁴ Passo 4 Integração Termo a Termo Agora integramos I 16 96x 216x² 216x³ 81x⁴ dx Utilizamos a Regra da Potência para Integrais xⁿdx xⁿ¹ n 1 C Calculando cada termo separadamente 16 dx 16x 96x dx 96x² 2 48x² 216x² dx 216x³ 3 72x³ 216x³ dx 216x⁴ 4 54x⁴ 81x⁴ dx 81x⁵ 5 Passo 5 Montando o Resultado Final I 81 5 x⁵ 54x⁴ 72x³ 48x² 16x C Resolução da Questão 3 Cálculo III 3 Cálculo da Integral Dupla A integral a ser resolvida é I 02 0x y dy dx Passo 1 Resolver a Integral Interna A integral mais interna é I1 0x y dy Usamos a Regra da Potência para integração yn dy yn1n1 C Para n 1 I1 y22 0x Substituímos os limites I1 x22 022 x22 Passo 2 Resolver a Integral Externa Agora resolvemos I 02 x22 dx Fatoramos 12 para fora I 12 02 x2 dx Usamos a Regra da Potência novamente x2 dx x33 Aplicamos os limites I 12 x33 02 I 12 233 033 I 12 83 0 I 12 83 I 86 43 Passo 3 Resposta Final I 43 Resolução da Questão 2 Cálculo III 2 Cálculo da Integral Iterada A integral a ser resolvida é I 02 01 2x 3y4 dx dy Passo 1 Resolver a Integral Interna A integral mais interna é I1 01 2x 3y4 dx Usamos a substituição Seja u 2x 3y Derivamos em relação a x du 2dx dx du2 Mudamos os limites Quando x 0 u 3y Quando x 1 u 2 3y Reescrevemos a integral I1 3y23y u4 du2 Aplicamos a regra da potência u4 du u55 Multiplicamos por 12 I1 110 2 3y5 3y5 Passo 2 Resolver a Integral Externa Agora resolvemos I 0 a 2 110 2 3y⁵ 3y⁵ dy Fatoramos 110 I 110 0 a 2 2 3y⁵ 3y⁵ dy Passo 3 Expansão do Binômio de Newton Utilizamos a expansão do Binômio de Newton para 2 3y⁵ 2 3y⁵ Σ de k0 a 5 5 escolhe k 25k 3yk Calculamos os termos 5 escolhe 0 2⁵ 3y⁰ 5 escolhe 1 2⁴ 3y¹ 5 escolhe 2 2³ 3y² 5 escolhe 3 2² 3y³ 5 escolhe 4 2¹ 3y⁴ 5 escolhe 5 2⁰ 3y⁵ 32 160 3y 240 9y² 160 27y³ 40 81y⁴ 243y⁵ 32 480y 2160y² 4320y³ 3240y⁴ 243y⁵ Agora subtraímos 3y⁵ 243y⁵ 2 3y⁵ 3y⁵ 32 480y 2160y² 4320y³ 3240y⁴ Passo 4 Integração Termo a Termo Agora resolvemos I 110 0 a 2 32 480y 2160y² 4320y³ 3240y⁴ dy Utilizamos a Regra da Potência yⁿ dy yn1 n1 Calculamos termo a termo 32 dy 32y 322 320 64 480y dy 480 y²2 2404 2400 960 2160y² dy 2160 y³3 7208 7200 5760 4320y³ dy 4320 y⁴4 108016 10800 17280 3240y⁴ dy 3240 y⁵5 3240325 1036805 20736 Somamos os valores I 110 64 960 5760 17280 20736 110 44800 5984 Passo 5 Resposta Final I 5984 5