Lista de Exercícios - Cálculo II - Regra da Cadeia - UFF

Lista 6 Calculo II B 20121 18 Universidade Federal Fluminense EGM Instituto de Matematica GMA Departamento de Matematica Aplicada LISTA 6 20121 Regra da cadeia 1 Se fx y exy gt cos t ht sen t e Ft fgt ht calcule F 0 2 Calcule w r e w t para w xy yz xz x r y r cos t e z r sen t 3 Seja z xf y x g y x onde f e g sao de classe C1 em R Mostre que zx y x zy f y x 4 Um ponto se desloca sobre a curva x 2 sen t y 7 cos t 3 z f2 sen t 7 cos t 3 onde fx y 49 x2 y2 Qual a componente vertical em z da velocidade no instante que o ponto esta na posicao x y z 2 3 6 5 O que esta errado com o seguinte argumento Suponha que w fx y com y x2 Pela regra da cadeia w x w x x x w y y x w x w x 2 x w y Assim 0 2 x wy de modo que wy 0 6 Seja w x2 y2 z2 x ρ sen φ cos θ y ρ sen φ sen θ e z ρ cos φ Calcule wρ wφ e wθ 7 Se w fx y f derivavel em R2 x r cos θ e y r sen θ mostre que wx2 wy2 wr2 wθ2 r2 8 Se u xmf y x x z z x f diferenciavel em R3 mostre que x u x y u y z u z mu 9 Sejam g e h funcoes de classe C1 em R2 e fx y gx yhxy Assuma que g1 2 2 h1 2 2 gx1 2 1 gy1 2 3 hx1 2 5 e hy1 2 0 Encontre fx1 2 e fy1 2 10 Seja w y x et2 dt x rs4 e y r4s Calcule w r e w s 11 Considere as funcoes f g e h tais que fx y xy x2 y x y gu v w 2w lnuv e hs R s R Seja Hx y h g fx y h derivavel em R a Para ser possıvel calcular H x 1 3 para que valor de s e preciso conhecer hs b Supondo que para o valor de s do item anterior hs 5 calcule H x 1 3 12 Mostre que a funcao ux t Fx ct Gx ct onde c e constante e F G sao de classe C2 em R e solucao da equacao da onda 2u t2 c2 2u x2 13 A distribuicao da temperatura de um disco com centro na origem e dada por Tx y T de classe C2 em R2 Sabese que 2T yxx y 0 e T y x y 2 Calcule 2U θ2 ρ θ sendo Uρ θ Tρ cos θ ρ sen θ 14 Seja gu v fuv uv f de classe C2 em R2 x uv y uv Calcule g u1 1 e 2g uv1 1 sabendo que fx2 1 3 fy2 1 3 fxx2 1 0 fxy2 1 fyx2 1 1 fyy2 1 2 Lista 6 Calculo II B 20121 19 15 Se a b c e k sao constantes mostre que w a cos cx b sen cxekc2t satisfaz a equacao do calor w t k2w x2 16 Sejam z zx y z de classe C2 em R2 x eu cos v e y eu sen v Suponha que 2z x2 2z y2 0 Calcule 2z u2 2z v2 17 Suponha que f C2 em R2 c 0 c constante e fx t satisfaz a equacao 2f t2 c2 2f x2 Determine constantes m n p e q para que gu v fx t onde x mu nv mn 0 e t pu qv pq 0 satisfaca a equacao 2g uv 0 RESPOSTAS DA LISTA 6 com indicacao ou resumo de algumas resolucoes 1 F 0 1 2 wr r2 sen t 2 cos t sen 2t wt r2cos t sen t cos 2t 3 Aplicando a regra da cadeia e simplificando zx f y x y x f y x y x g y x e zy f y x 1 x g y x Substituindo zx e zy na expressao do lado esquerdo da equacao e simplificando verificase que e igual a expressao do lado direito da equacao 4 dz dt π 2 7 2 5 Nao e possıvel cortar os termos w x que aparecem dos dois lados da equacao pois apesar de aparente mente serem iguais tˆem significados diferentes O termo do lado esquerdo e a derivada parcial da funcao composta e o do lado direito e a derivada parcial da funcao externa na composta 6 wρ 2ρ cos2φ wφ 2ρ2 sen 2φ wθ 0 7 Aplicando a regra da cadeia wr wx cos θwy sen θ e wθ wx r sen θwy r cos θ Substituindo wr e wθ na expressao do lado direito da equacao e usando simplificacao trigonometrica verificase que e igual a expressao do lado esquerdo da equacao 8 Seja r y x s x z t z x e v fr s t Aplicando a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais multiplicandoas pelos termos indicados na expressao do lado esquerdo da equacao e simplificando obtemse xu x m xm v xm y x v r x z v s z x v t y u y xm y x v r z u z xm x z v s z x v t Somando e simplicando verificase que e igual a expressao do lado direito da equacao 9 fx1 2 1 5 ln 2 4 fy 1 2 3 4 10 wr s4er2s8 4r3s er8s2 ws 4rs3er2s8 r4er8s2 11 as 4 ln 12 bH x 1 3 30 10 ln 12 12 2u t2 F x ct c2 Gx ct c2 c2 2u x2 c2F x ct Gx ct Sao iguais 13 2ρ sen θ ρ cos θ T x ρ cos θ ρ sen θ ρ2 sen 2θ 2T x2 ρ cos θ ρ sen θ 14 g u1 1 0 2g uv 1 1 1 15 w t a cos cxb sen cx kc2 ekc2t k 2w x2 kac2 cos cxbc2 sen cxekc2t comparando sao iguais 16 0 17 Existem varias respostas pois mn c2pq 0 e np mq 0 sao condicoes suficientes Por exemplo m n 1 q 1 c2 p 1 c2