Lista de Exercícios de Cálculo B - MATA03

MATA03 Calculo B Lista 10 Henrique B da Costa Exercıcio 1 Mostre que se f e diferenciavel em x0 y0 ponto interior do domınio de f entao o plano tangente a f em x0 y0 e paralelo ao plano xy isto e o plano z 0 Exercıcio 2 Encontre os pontos crıticos e determine a natureza dos extremantes locais a fx y x2 xy y2 6x 2 b fx y x2 2xy 2y2 3x 5y c fx y x sen y d fx y xy yx e fx y x 3 lnxy f fx y x2 y2ex2y2 g fx y ex cos y h fx y sen x sen y i fx y y2 2y cos x Exercıcio 3 Uma caixa de papelao sem tampa deve ter um volume de 32000cm3 Encontre as dimensoes que minimizem a quantidade de papelao utilizado Exercıcio 4 Encontre trˆes numeros positivos tais que a soma seja 100 e o produto seja o maior possıvel Exercıcio 5 Determine o ponto do plano x2y z 4 que se encontra mais proximo da origem Exercıcio 6 Determine os pontos da superfıcie y2 9 xz que estao mais proximos da origem Exercıcio 7 Duas partıculas P1 e P2 deslocamse no espaco com velocidades constantes v1 1 1 0 e v2 0 1 1 respectivamente No instante t 0 P1 encontrase na posicao 1 1 3 Sabese que a trajetoria descrita por P2 passa pelo ponto 1 1 0 Qual devera ser a posicao de P2 no instante t 0 para que a distˆancia mınima entre elas seja a menor possıvel Exercıcio 8 Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades sao indicadas por x e y Tais produtos sao oferecidos ao mercado consumidor a precos unitarios p1 e p2 respectivamente que dependem de x e y conforme as equacoes p1 120 2x e p2 200 y O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos e dado por C x2 2y2 2xy Admitindo que toda producao da empresa seja absorvida pelo mercado determine a producao que maximiza o lucro Exercıcio 9 Determine o maximo e mınimo da funcao no domınio dado a fx y 3x y D e tal que x 0 y 0 y x 3 x y 4 e 3x y 6 b fx y xy D x y R2 x 0 y 0 e 2x y 5 c fx y x2 y2 D x y R2 x2 y2 4 d fx y x2 y2 3x D e a regiao triangular fechada de vertices 2 0 0 2 e 0 2 e fx y x2 y2 x2y 4 D x y R2 x 1 y 1 Exercıcio 10 A base de um aquario com volume V e feita de ardosia e os lados sao de vidro Se o preco da ardosia por unidade de area equivale a cinco vezes o preco do vidro determine as dimensoes do aquario para minimizar o custo do material 1 MATA03 Calculo B Lista 10 Henrique B da Costa Exercıcio 11 Trˆes alelos versoes alternativas de um gene A B e O determinam os quatro tipos de sangue A AA ou AO B BB ou BO O OO e AB A Lei de HardyWeinberg afirma que a proporcao de indivıduos em uma populacao que carregam dois alelos diferentes e P 2pq 2pr 2rq em que p q e r sao as proporcoes de A B e O na populacao respectivamente Use o fato de que p q r 1 para mostrar que P e no maximo 2 3 Exercıcio 12 Uma longa folha de metal galvanizado de espessura w polegadas deve ser dobrada em uma forma simetrica com trˆes lados planos para fazer uma calha A secao transversal e mostrada na figura a Determine as dimensoes para permitir a maxima vazao ou seja determine as dimensoes que fornecem a maior area da secao transversal b Vocˆe acharia melhor dobrar a folha de metal em uma calha com secao transversal semicircular do que em uma secao transversal de trˆes lados w 2x x θ x θ Exercıcio 13 Sejam x y e z os ˆangulos de um triˆangulo Determine o valor maximo de fx y z sen x sen y sen z Exercıcio 14 Encontre o maximo e o mınimo da funcao f sujeita as seguintes condicoes a fx y x2 y2 x2 y2 1 b fx y xy 4x2 y2 8 c fx y xey x2 y2 2 d fx y z x2 y2 z2 x4 y4 z4 1 Exercıcio 15 Encontre o maximo e o mınimo da funcao f sujeita as duas restricoes a fx y z x y z x2 z2 2 x y 1 b fx y z z x2 y2 z2 x y z 24 c fx y z yz xy xy 1 y2 z2 1 d fx y z x2 y2 z2 x y 1 y2 z2 1 Exercıcio 16 Encontre os pontos de maximos e mınimos da funcao f no conjunto dado a fx y x2 y2 4x 4y x2 y2 9 b fx y exy x2 4y2 1 2 MATA03 Calculo B Lista 10 Henrique B da Costa Respostas E3 base quadrada de lado 40cm e altura 20cm E4 1003 1003 e 1003 E5 23 43 23 E7 1 2 1 E8 x 10 e y 30 E14 a maximo f1 0 1 mınimo f0 1 1 b maximo f1 2 f1 2 2 mınimo f1 2 f1 2 2 d maximo 3 mınimo 1 3