Lista de Exercícios Resolvidos: Espaços Vetoriais e Subespaços - Álgebra Linear

Lista 3 Espacos Vetoriais Arbitrarios Espacos e Subespacos Vetoriais 1 Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de numeros reais e considere as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar definidas em u u1 u2 e v v1 v2 com a R por u v u1 v1 1 u2 v2 1 au au1 au2 a Calcule u v e au com u 0 4 v 1 3 e a 2 b Mostre que o vetor nulo e 0 1 1 c Mostre que vale u u 0 com u u1 u2 d Mostre que o conjunto V com as operacoes definidas acima nao e um espaco vetorial sobre R 2 Verifique que o conjunto V dos numeros reais positivos com as operacoes de adicao e multiplicacao definidas como abaixo constitui um espaco vetorial sobre R a b ab A adicao vetorial equivale a multiplicacao numerica k a ak A multiplicacao do vetor a pelo escalar k equivale a exponenciacao numerica Dica Ver pagina 176 do livro Algebra Linear com Aplicacoes 3 Determine se o conjunto equipado com as operacoes dadas e um espaco vetorial sobre R aO conjunto de todos os polinˆomios da forma a0 a1x com as operacoes a0 a1x b0 b1x a0 b0 a1 b1x ka0 a1x ka0 ka1x bO conjunto de todos os pontos em R2 que estao numa reta que passa pela origem com as operacoes padrao de adicao e multiplicacao por escalar Dica Ver pagina 184 do Livro Algebra Linear com Aplicacoes 4 Verifique se S e um subespaco vetorial do espaco vetorial V nos seguintes casos Observacao Lembrese que P3R e o conjunto dos polinˆomios de ordem menor ou igual a 3 1 Combinação Linear e Espaço Gerado 5 Assinale a alternativa que contém o vetor que é uma combinação linear de u 022 e v 130 a 150 b 045 c 262 d 122 e 112 6 Indique quais das seguintes matrizes são combinações lineares de AB e C se A 4 0 2 2 B 1 1 2 3 C 0 2 1 4 a 6 8 1 8 b 0 0 0 0 c 6 0 3 8 d 1 5 7 1 7 Sejam f cos2 x e g sen2 x Quais dos seguintes vetores estão no espaço gerado por f e g a cos 2x b 3 x2 c 1 d sen x e 0 8 Determine se os polinômios dados geram P2R p1 1 x 2x2 p2 3 x p3 5 x 4x2 p4 2 2x 2x2 9 Verifique se os dois conjuntos geram o mesmo subespaço do espaço vetorial V nos seguintes casos a S1 100 010 S2 110 110 quando V R3 b S1 sen 2t cos2 t sen t cos t S2 1 sen 2t cos 2t quando V CR ou seja V f R Rf é contínua c S1 1tt2t3 S2 11t 1t2 1tt2 quando V P3R Dica Aplique o Teorema 425 do livro Algebra Linear com Aplicações 10 Determine os valores de b R para os quais o polinômio pt 4t2 2t 4 pertença ao subespaço de P2R gerado pelos polinômios p1t bt1 p2t 1 bt2 e p3t 1 bt bt2 Independˆencia Linear 11 Explique por que o conjunto de vetores dados e linearmente dependente Resolva por Inspecao Dica Recorra ao teorema 432 do livro 12 Decomponha w 1 0 3 como soma de dois vetores w1 e w2 sendo w1 1 1 1 1 1 2 linearmente dependentes e w2 ortogonal a estes dois ultimos 13 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P2 sao linearmente independentes 14 Suponha que v1 v2 e v3 sejam vetores em R3 com pontos iniciais na origem Em cada parte determine se os trˆes vetores estao num mesmo plano 15 Mostre que os trˆes vetores v1 0 3 1 1 v2 6 0 5 1 e v3 4 7 1 3 formam um conjunto linearmente dependente em R4 e expresse cada vetor como uma combinacao linear dos outros Base Coordenada e Dimensao 16 Explique por que os vetores dados nao sao uma base do espaco vetorial dado 17 Quais dos conjuntos de vetores dados sao base de R3 3 18 Seja V o espaco gerado por v1 cos2x v2 sen2x v3 cos 2x a Mostre que S v1 v2 v3 nao e uma base de V b Encontre uma base de V 19 Seja B 1 2 x x2 1 1 x x3 Verifique que B e uma base para P3R e determine as coordenadas do polinˆomio px x3 em relacao a base B 20 Considere o subespaco vetorial S de P3R dado por S gerx3 x2 1 x3 x2 x x3 bx2 x 2 Determine b de modo que S tenha dimensao 2 21 Considere o sistema linear homogˆeneo Determine uma base e a dimensao do subespaco das solucoes do sistema 22 Encontre a dimensao do subespaco de P3R consistindo em todos os polinˆomios a0 a1x a2x2 a3x3 com a0 0 23 Encontre vetores da base canˆonica de R4 que podem ser acrescentados ao conjunto v1 v2 para formar uma base de R4 v1 1 4 2 3 v2 3 8 4 6 24 Considere as matrizes v1 v2 v3 v4 e w definidas abaixo Se a b c d sao as coordenadas de w com respeito a base E v1 v2 v3 v4 do espaco vetorial M2R entao a b c d e igual a 25 Seja v1 v2 v3 uma base de um espaco vetorial V Mostre que u1 u2 u3 tambem e uma base sendo u1 v1 u2 v1 v2 e u3 v1 v2 v3 Dica Veja o teorema 454 do livro Algebra Linear com Aplicacoes 26 Seja B a Mostre que B e linearmente independente b Determine uma base de M32R que contenha B 4 1 a u v u1 v1 u2 v1 122 uv 20 24 08 b u 0 v µu ϵ V u1 v1 r1 u2 v2 r1 v1v1 7 v1 v1 r1 v1 v1 1 v2 v2 r1 v2 v2 1 Assim 0 11 c u v u1v1 v1v1 u1 v1 1 v1v11 11 0 d Como o item c não é satisfeito Axioma 5 V não é EV 2 1 u ϵ V v ϵ V u v uv ϵ V OK 2 uv vu vu OK 3 uv uvw uvw uv wew OK 4 vu u ϵ V 7 uvu uv10 u ϵ V v1 ϵ V 5 u 0 uv 1 u 13 1 3 6 V OK 6 k u uk ϵ V Ok 7 u vu vuk γu1uk avΘuu OH 8 abb v u b ua ub au bu OK 9 abuᵢ2 buᵢa uᵢbᵢz uᵢb abu OK 10 1u u¹ u OH Portanto V muito detois operações é EV 3 a Podemos associar tol esposo de totmo bisetivo ao IR2 Assim tol conjunto é EV b Tol conjunto é K1 com k ϵ IR Assim tol conjunto é un SEV do IR2 1 portanto um EV 4 a S y010 z001 010 001 δ é SEV b 100 pertence o S mos 100 3 100 nõo S não é SEV c I ϵ S I ϵ S mos II0 5 S S não é SEV d pt x2 6 S mos 1 x3 x3 S S não é SEV e S é SEV u cvϵ S v1vbS e c ϵ IR ucv 0 u0 cv0 2 u1 2 c v1 2uvLv 1 OK S é SEV f S 1 x2³ ³7 Sé SEV 5 e 112 1 022 1 130 u v b u 8z 2c b 6 b4a c 120 12 2a 2b c 12 26 14a b 7a 7a 1 13 b 0 Ei dofoto 6 8 1 8 A 2B 3C b 0 0 0 0 OA OB OL c 02 2c b b 2c e 140x3 6 b4a 3 2u 2b c 2a 5c 3 c 1 az 1 4 b2 E dofoto 6 0 3 8 A 2B C 6 a 5 2c b q1 b 4o 2a c 2 7z 2a x 2b c 7 7z 5 2b 4b 3b 34 r b0 43 u3 7b c 146 Mas 17 2712 3 43 4 14 7 i Nosite que w0² x sob³ x 1 Eg por tb V 0 c b2 x 7 w0² x 1 e V c s t h2 x cos³ x V 4 0 05 sh² x 0 cos³ x V 8 Vamos utilizar do bijeção com IR³ p1 1 1 2 p2 310 p3 5 1 4 p4 2 2 2 Not que p3 2 p1 p2 e p4 p1 p2 Portanto p4l3 não é xum IR³ e assim não idem E IR 9 a 110 100 010 7 1 0 100 010 1 0 0 13 110 1 1 0 010 13 110 1 1 0 Pelo th 425 Gx S1 Gx S2 b 1sht² q cos² t sen² t 2 sen t cos t cos² t cos² t sen² t sen² t 1 cos 2t 2 cos² t 1 cos 2t 2 sen t cos t sen 2t 2 Pelo Th 425 Gx S1 Gx S2 c t1 t 1 t 1 t² 1 t² 1 Mas t³ não CL de S2 Portanto Gx S1 Gx S2 10 4t² 2t t² a1 bt 1 a2 1 b t² a3 1 b² t 1 t² t² u4 b0 b03 u3 u1 4b b 0 t³ t³ a1 a3 2b 7 b0 b03 t⁰² t⁰² u4 a1 b a3 t03 a2 a3 1b 2 u3 a2 4b u3 2 b 7 4b a2 b 3 0 4 ABS Assim a3 2b r 4 b 2 b u3 a2 4b a1 7b u3 Portanto b 0 e b 1 b 3 2 4 1 1 0 1 5 3 3470 b LI c LI só que x só aparece em um vetor d LD só que são 4 vetores num EV de dimensão 3 14 a 2 6 2 2 1 0 0 4 4 72 Não estão no mesmo plano b 6 3 4 7 2 1 2 4 7 0 Estão no mesmo plano 15 v1 37 v3 27 v2 v2 73 v1 32 v3 v3 23 v2 78 v1 16 a 3 vetores em EV de dim2 logo são LI b 3 vetores em EV de dim3 logo não formam base c 3 vetores em EV de dim3 logo não formam base d 5 vetores em EV de dim4 logo são LD 17 a 1 2 3 6 logo são base de R3 0 2 3 0 0 3 b 3 2 1 26 logo são base de R3 1 5 4 4 6 8 18 a v3 v1 v3 logo são LD b Base de vi v1 v3 só que v1 e v3 são LI 19 1 2 1 1 1 logo B é base de R4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x3 b1 a1 2x1 0 x2 1 1 1 x x³ Assim as coordenadas são 3 1 0 1 β 20 x³ 3x² x 2 a1 x³ x² 1 u3 x³ x² x a1 7 a0 1 b2 3 21 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 1 1 3 4 5 7 1 1 1 4 1 3 5 12 0 1 2 8 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 8 1 0 1 0 Dimensão 1 0 1 2 0 Base 1 2 1 0 22 S5V Gg x x² x³ Assim dim 3 23 1 4 2 3 1 4 2 3 1 0 0 0 3 8 4 6 0 4 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Base 0 1 0 0 14 0 1 Assim os vetores v3 0 13 1 0 e v4 0 314 0 1 completam a base de R4 24 w av1 bv2 cv3 iv4 Assim a b c d 1 1 1 2 a 25 Seja β a base v1 v2 v3 v1 1 0 0 β v2 1 1 0 β e v3 1 1 1 β 1 1 1 0 Portanto v1 v2 v3 também é base 26 a a11 a b c 0 a12 a b 0 c 2b a b a31 a 4c 0 8c 7b 0 a b c 0 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 0 5 1 2 1 2 0 2 4 0 3 3 0 1 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 1 0 1 3 1 2 2 0 0 14 7 9 8 1 0 0 1 2 7 1 7 1 7 0 1 0 1 3 1 4 0 0 1 1 2 9 14 41 2 14 Base 1 4 2 1 9 0 0 14 0 7 0 2 1 2 2 0 0 Assim uma base para M3x3R é 1 0 2 4 0 0 2 2 0 B