Lista de Exercícios Resolvidos: Integrais Triplas - Cálculo II

LISTA DE DISCIPLINAS MA211 Cálculo II Integrais triplas Exercícios Integrais triplas Selecione os exercícios por Dificuldade Fácil Médio Difícil Categoria Exercício Contextualizado Prática da Técnica Prática de Conceitos Demonstrações Problemas Complexos Outros resposta solução Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista Para retirar alguma categoria da lista clique sobre o botão para tonálo inativo Para adicionála clique novamente no botão Conteúdos Em coordenadas cilíndricas Em coordenadas esféricas Provas e Exames Bibliografia Exercícios 2534 Determine a massa e o centro de massa do cubo dado por 0 x a 0 y a 0 z a e com função densidade 1 ρxyzx² y² z² 2 ρxyzx y z ver resposta 2533 Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do sólido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x1 y2 e z3 Calcule uma das integrais ver resposta 3115 Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades a x b c y d e k z l Mostre que G fxgyhz dV ab fx dxcd gy dykl hz dz 2967 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada acima pelo paraboloide z5x²y² e abaixo pelo paraboloide z4x² 4y² ver resposta 2601 Seja E a região limitada pelos paraboloides zx² y² e z 36 3x² 3y² 1 Ache o volume da região E 2 Encontre o centroide de E centro de massa no caso em que a densidade é constante ver resposta 2498 Esboce a região limitada pelos gráficos das equações e use uma integral tripla para calcular seu volume 1 z x² 4 y z 4 y 0 e z0 2 y2 z² y z² x z4 e x0 3 y² z² 1 x y z 2 e x 0 ver resposta 2956 Usando coordenadas esféricas determine o volume da menor região cortada da esfera sólida ρ 2 pelo plano z1 ver resposta 2951 Seja D a região limitada abaixo pelo plano z0 acima pela esfera x² y² z²4 e dos lados pelo cilindro x² y²1 Monte as integrais triplas em coordenadas esféricas que dão o volume de D usando as ordens de integração a seguir 1 dρ dφ dθ 2 dφ dρ dθ ver resposta 3052 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades 0 r 2 π2 θ π2 e 0 z 1 ver resposta 3056 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral ₀π2 ₀² ₀9r² r dz dr dθ ver resposta 2427 Calcule a integral tripla 1 E x² eʸ dV onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z1 y² e pelos planos z0 x1 e x 1 2 E x dV onde E é limitado pelo paraboloide x4y² 4z² e pelo plano x4 ver resposta 2422 Calcule a integral iterada 1 ₀¹ ₀ᶻ ₀xz 6xz dy dx dz 2 ₀³ ₀¹ ₀1z² zeʸ dx dz dy 3 ₀π2 ₀ʸ ₀ˣ cosx y z dz dx dy 2965 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de π6 2950 Calcule utilizando coordenadas esféricas E xyz dV onde E é o sólido limitado pelos paraboloides z x² y² e z 8 x² y² 2587 Calcule a massa do cilindro x² y² 4 e 0 z 2 sabendo que a densidade no ponto x y z é o dobro da distância do ponto ao plano z 0 2455 Encontre a constante a tal que ₀¹ ₀⁴ᵃˣ² ₐ⁴ˣ²ʸ dzdydx 415 2481 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado 1 0 x 1 0 y 1 e 0 z 5 x² 3y² 2 0 x 1 0 y x² e 0 z x y² 3 x² y² z 4 4 x² 4y² z 1 2454 Calcule as integrais mudando a ordem de integração de maneira apropriada 1 ₀⁴ ₀¹ ₂ʸ² 4 cosx² 2z dxdydz 2 ₀¹ ₀¹ ₓ²¹²xzezy² dydxdz 3 ₀¹ ₃z ln³ ₀¹ πe2x sinπy²y² dxdydz 3051 A figura mostra a região da integral ₀¹ ₀¹ˣ² ₀¹ˣ fx y z dydzdx Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens 2496 Para qual valor de c o volume do elipsóide x² y2² zc² 1 é igual a 8π 2930 Calcule a integral em coordenadas esféricas ₀π ₀π ₀2sinϕ ρ² sin ϕ dp dϕ dθ 2538 Determine o sólido E para o qual a integral E 1 x² 2y² 3z² dV é máxima 2539 Encontre o centróide e os momentos de inércia Ix Iy e Iz do tetraedro cujos vértices são os pontos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 2598 Considere a integral tripla iterada 22 2ˣ²2ˣ² ₓ²ʸ²4ˣ²ʸ² dzdydx 1 Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas 2 Calcule a integral 3 Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral 2431 Calcule a integral tripla 1 E x² z² dxdydz onde E é o cilindro x² y² 1 e 0 z 1 2 E dxdydz onde E é o conjunto x² y² z 2x 2y 1 2484 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado 1 x² z 1 ye y 0 2 x² 2y² z 2a² x² a 0 3 x² y² z 1² 1 e z x² y² 4 4x² 9y² z² 4 e 4x² 9y² 1 ver resposta 2953 Usando coordenadas esféricas determine o volume da parte da bola ρ a que está entre os cones ϕ π6 e ϕ π3 ver resposta 2432 Calcule a integral tripla 1 E y dxdydz onde E é o conjunto x² 4y² 1 e 0 z 1 2 E x dxdydz onde E é o conjunto x² y² 4 x 0 e x y z x y 1 ver resposta 2947 Calcule utilizando coordenadas esféricas B x y³x 2y z dxdydz onde B é a região 1 x y 2 0 x 2y z 1 e 0 z 1 ver resposta 2596 Uma casca cilíndrica tem 20 cm de comprimento com raio interno de 6 cm e raio externo de 7 cm Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca ver resposta 2959 Usando coordenadas esféricas determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ π3 e abaixo da esfera ρ 4 cos ϕ ver resposta 2971 Mostre que x² y² z² ex² y² z² dxdydz 2π A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente ver resposta 2602 Calcule usando integração o volume do sólido limitados pelas superfícies z 1 z 2 e z x² y² ver resposta 2962 Usando coordenadas esféricas determine o centroide e o momento de inércia em relação a um diâmetro de sua base do hemisfério sólido homogêneo de raio a ver resposta 2585 Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano z 0 lateralmente pelo cilindro x² y² 1 e acima pelo paraboloide z x² y² ver solução 2970 Calcule aa²y² a²y²ax²y² ax²y² a integral transformando para coordenadas esféricas x²z y²z z³ dzd xdy ver resposta 2604 Vamos demonstrar a expressão geral para o volume de um cone circular de altura h e raio da base R 1 Representando o cone com vértice na origem e base no plano z h expresse V por meio de uma integral dupla 2 Calculando a integral verifique que V π R² h 3 ver resposta 2594 Mude as coordenadas de 1 1 4 de retangulares para cilíndricas ver resposta 2944 Calcule utilizando coordenadas esféricas E xyz dV onde E está entre as esferas ρ 2 e ρ 4 e acima do cone ϕ π3 ver resposta 2482 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado 1 x² y² 4 e x² y² z² 9 2 x² 4y² 9z² 1 3 x² a² y² b² z² c² a 0 b 0 e c 0 4 x² y² z 4x 2y ver resposta 2957 Usando coordenadas esféricas determine o volume da região cortada do cilindro sólido x² y² 1 pela esfera x² y² z² 4 ver resposta 2945 Calcule utilizando coordenadas esféricas B x dxdydz onde B é o conjunto x 0 e x² y² z² 4 ver resposta 2932 2597 Seja D a região limitada abaixo pelo plano z 0 acima pela esfera x2 y2 z2 4 e dos lados pelo cilindro x2 y2 1 Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que dão o volume de D usando as ordens de integração a seguir 1 dzdrdθ 2 drdzdθ 3 dθdzdr 2 Se C gira em torno do eixo Oz com energia cinética K qual a velocidade instantânea nos pontos de sua superfície lateral Fórmulas Momento de inércia I C ρ l2 dV onde ρ é a densidade e l é a distância ao eixo Energia cinética de rotação K 12 Iω2 3118 Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido limitado acima pela esfera ρ 4 e abaixo pelo cone φ π3 3120 Usando coordenadas esféricas calcule a massa da esfera sólida de raio a com densidade proporcional à distância ao centro tomando k como a constante de proporcionalidade 2964 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z x² y² e abaixo da esfera x² y² z² 1 2968 Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas 0¹ 01x² 2x²y²x²y² xy dzdydx 3054 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada 0² 0²y 0⁴y² dxdzd y 2955 Usando coordenadas esféricas determine o volume da porção da esfera sólida ρ a que está entre os cones φ π3 e φ 2π3 2436 Calcule a integral tripla 1 E cos z dxdydz onde E é o conjunto 0 x π2 0 y π2 e x y z x y 2 E y x dxdydz onde E é o conjunto 4 x y 8 1x y 2x y x e 0 z ³xyx y 2435 Calcule a integral tripla 1 E 2z dxdydz onde E é o conjunto x² y² z² 4 e z 0 2 E 2z dxdydz onde E é o conjunto 4x² 9y² z² 4 e z 0 2933 Calcule a integral em coordenadas esféricas 0³π2 0π 0¹ 5ρ³ sin³φ dp dφ dθ 2433 Calcule a integral tripla 1 E 2z dxdydz onde E é o conjunto x² y² 1 x² y² z² 4 e z 0 2 E x dxdydz onde E é o conjunto x² y² z 1 2y² 2595 Identifique a superfície cuja equação é dada por z 4 r² 2954 Usando coordenadas esféricas determine o volume do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 2916 Calcule utilizando coordenadas esféricas B z dxdydz onde B é o conjunto 1 x² y² z² 4 e z 0 2593 Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são 2 π4 1 e 4 π3 5 Em seguida encontre as coordenadas retangulares do ponto 2497 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada 1 0¹ 0¹x 0²2z dydzdx 2 0² 0²y 0⁴y² dxdzd y 3 0¹ 4z1z ²³ dxdydz 4 0² x²²ˣ 0xy dzdydx 2924 Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é 1 0 0 e encontre as coordenadas retangulares do ponto 2948 Calcule utilizando coordenadas esféricas B z dxdydz onde B é o conjunto z x² y² e x² y² z² 1 3152 Mostre que o determinante Jacobiano da mudança de coordenadas cartesianas para esféricas é ρ² sin φ 2960 Usando coordenadas esféricas determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone ϕ π3 e abaixo da esfera ρ 4 cos ϕ 3053 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada ₀¹ ₀¹ˣ ₀²²ᶻ dydzdx 2929 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral abaixo e calculea ₀π6 ₀π2 ₀³ ρ² sin ϕ dρdθdϕ 3119 Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido contido no interior do cone ϕ π4 entre as esferas ρ 1 e ρ 2 3055 Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral ₀⁴ ₀²π ᵣ⁴ r dzdθdr 2485 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado 1 O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x y z 4 2 O sólido limitado pelo paraboloide x y² z² e pelo plano x 16 3 O sólido delimitado pelo cilindro x y² e pelos planos z 0 e x z 1 2931 Calcule a integral em coordenadas esféricas ₀²π ₀π4 ₀² ρ cos ϕ ρ² sin ϕ dρdϕdθ 2969 Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas ₀² ₀4y² ₀4x²y² 1x² y² z² dzdxdy 2428 Calcule a integral tripla 1 E z dV onde E é limitado pelo cilindro y² z² 9 e pelos planos x 0 y3x e z0 no primeiro octante 2 E xyz dxdydz onde E é o paralelepípedo 0 x 2 0 y 1 e 1 z 2 2943 Calcule utilizando coordenadas esféricas E z dV onde E está entre as esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 4 no primeiro octante 2927 Escreva a equação z² x² y² em coordenadas esféricas 2949 Calcule utilizando coordenadas esféricas B x² y² z² dxdydz onde B é a interseção da semiesfera x² y² z² 4 z 0 com o cilindro x² y² 1 2966 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da região limitada abaixo pelo plano z0 lateralmente pelo cilindro x² y² 1 e acima pelo paraboloide z x² y² 2928 Esboce o sólido descrito por ρ 2 0 ϕ π2 e 0 θ π2 2420 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado por x² y² z 4 3x² 3y² 2426 Calcule a integral tripla 1 E 2x dV onde E xyz 0 y 2 0 x 4 y² 0 z y 2 E 6xy dV onde E está abaixo do plano z 1 x y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y x y0 e x1 2952 Seja E o sólido limitado pelos dois planos z1 e z2 e lateralmente pelo cone zx² y² Expresse o volume de E como integral tripla em coordenadas esféricas não é necessário calcular a integral ver resposta 2429 Calcule a integral tripla 1 E x dxdydz onde E é o conjunto 0 x 1 0 y 1 e x y z x y 1 2 E 1 z² dxdydz onde E é o conjunto 0 x 1 0 z 1 e 0 y z ver resposta 2535 Ache o centro de massa de E em que 1 A densidade de um ponto P de um sólido cúbico E de aresta a é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P a um vértice fixo do cubo 2 E é o tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano 2x 5y z 10 e a densidade em Px y z é diretamente proporcional à distância do plano xz a P ver resposta 2958 Usando coordenadas esféricas determine o volume do sólido que está acima do plano z 23 e abaixo da esfera x² y² z² 16 ver resposta 2946 Calcule utilizando coordenadas esféricas B x dxdydz onde B é o conjunto x² 4 y² 9 z² 1 e x 0 ver resposta 3049 Calcule a integral tripla T x² dV onde T é o tetraedro sólido com vértices 000 100 010 e 001 ver solução 2963 O centróide de uma região E é dado por x 1volE ₑ x dV ȳ 1volE ₑ y dV e z 1volE ₑ z dV Calcule o centróide da região dada em coordenadas esféricas por 0 ρ 1 0 ϕ π3 e 0 θ 2π observe que devido à simetria da região x e ȳ se anulam bastando calcular a terceira coordenada ver resposta 2961 Usando coordenadas esféricas determine o volume do sólido que está dentro da esfera x² y² z² 4 acima do plano xy e abaixo do cone z x² y² ver resposta 2599 Calcule as seguintes integrais triplas 1 E x² y² dV em que E é a região que está dentro do cilindro x² y² 16 e entre os planos z 5 e z 4 2 E y dV em que E é o sólido que está entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 4 acima do plano xy e abaixo do plano z x 2 3 E x dV em que E está delimitado pelos planos z 0 e z x y 5 e pelos cilindros x² y² 4 e x² y² 9 ver resposta 2942 Calcule utilizando coordenadas esféricas H 9 x² y² dV onde H é o hemisfério sólido x² y² z² 9 e z 0 ver resposta 2537 Suponha que o sólido tenha densidade constante k Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados ver resposta 2915 Um sólido está acima do cone z x² y² e abaixo da esfera x² y² z² z Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas ver solução 2600 Calcule as seguintes integrais triplas 1 E x² dV em que E é o sólido que está dentro do cilindro x² y² 1 acima do plano z 0 e abaixo do cone z² 4x² 4y² 2 E xyz dV em que E é o sólido limitado pelos paraboloides z x² y² z 8 x² y² 3 ₂⁰ 4 y²4 y² ₂⁰ xz dz dx dy ver resposta 2941 Calcule utilizando coordenadas esféricas B x² y² z²² dV onde B é a bola com centro na origem e raio 5 ver resposta 2430 Calcule a integral tripla 1 E 1 z² dxdydz onde E é o cubo 0 x 1 0 y 1 e 0 z 1 2 E dxdydz onde E é o conjunto x² y² z 2x ver resposta 3050 A figura mostra a região de integração da integral 0¹ x¹ 0¹ʸ fxyz dzdydx Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens ver resposta CONTATO CRÉDITOS IMECCUNICAMP 2016