Lista de Exercicios Resolvidos - Aritmetica dos Polinomios

Capítulo 8 Anéis de Polinômios 88 a Determine o número de polinômios de grau menor ou igual a d em Zpx b Determine quantos polinômios mônicos de grau d existem em Zpx c Determine quantos polinômios de grau d existem em Zpx 4 Seja A um anel de integridade Prove que CarA CarAx 5 Prove que se A e B são anéis isomorfos então os anéis Ax e Bx são isomorfos 6 A derivada formal de um polinômio px a0 a1x anxn sobre A na indeterminada x é definida por px a1 2a2x nanxn1 Prove que px qx px qx e px qx px qx px qx 7 Em cada caso determine os polinômios gx e rx quociente e resto da divisão de fx por gx a fx x3 x 1 gx x 1 em Qx b fx x4 1 gx x2 2 em Qx c fx x2 2 gx x 1 em Z3x d fx x4 ix2 1 gx ix2 1 em Cx Capítulo 8 Anéis de Polinômios 87 Se fx for irredutível sobre K então o teorema é verdadeiro Se fx não é irredutível sobre K então fx gx hx com 1 gx n e 1 hx n Pela hipótese indutiva temos que gx b q1x q2x qrx hx c q1x q2x qsx com b c K e qix qjx polinômios irredutíveis sobre K Logo fx gx hx b c q1x q2x qrx q1x q2x qsx com b c K Vejamos agora a unicidade suponhamos que fx a p1x p2x pmx a p1x p2x psx Então p1x a p1x p2x pmx pelo corolário 83 temos que existe 1 j0 s tal que p1x pj0x Como pj0x é redutível sobre K temos que pj0x aj0 p1x com aj0 K Isto é p1x e pj0x são polinômios associados Como Kx é um anel de integridade temos que a p2x pmx a aj0 p1x pj01x pj01x psx O mesmo raciocínio para p2x p3x Obtendo assim que m s e que a a a1 am 84 Exercícios 1 Determine todos os polinômios de grau 2 em Z2x 2 Determine todos os polinômios mônicos de grau 2 em Z3x e em Z5x 3 Sejam p primo e d N Capítulo 8 Anéis de Polinômios 89 8 Verifique que fx gx na prova do Algoritmo da divisão 9 Seja p um número primo prove que cada elemento de Zp é uma raiz de xp x 10 Dê um exemplo de polinômios fx e gx para mostrar que o algoritmo da divisão não vale em Zx Sejam p primo e d N a Determine o número de polinômios de grau menor ou igual a d em Zpx b Determine quantos polinômios mónicos de grau d existem em Zpx c Determine quantos polinômios de grau d existem em Zpx Seja A um anel de integridade Prove que CarA CarAx Seja C1 CarA e C2 CarAx Então C1a 0 a A e C2px 0 px Ax Dado px anxn an1xn1 a1x a0 Ax logo C1px C1 an xn C1an1 xn1 C1a1x C1a0 Assim C1px 0xn 0xn1 0x 0 0 Como px foi escolhido genericamente seqüue C2 C1 C2 divide C1 Por outro lado dado a A temos px a Ax Seque que 0 C2px C2a Como a A foi escolhido arbitrariamente segue que C1 C2 De C1 C2 C2 C1 segue que C1 C2 ou C1 C2 Como C1 e C2 são positivos temos que CarA C1 C2 CarAx Prove que se A e B são anéis isomorfos então os anéis Ax e Bx são isomorfos Como A e B são isomorfos existe ϕ A B isomorfismo de anéis Definimos Ψ Ax Bx com Ψan xn a1x a0 Ψan xn Ψa1 x Ψa0 para todo px anxn a1x a0 Ax Vamos provar que Ψ é isomorfismo de Anéis Ψ é homomorfismo de anéis Dados px anxn a1x a0 qx bnxn b1x b0 Ax temos que Ψpx qx Ψanbn xn a1 b1 x a0 b0 Ψanbn xn Ψa1b1 x Ψa0b0 Ψan Ψbn xn Ψa1 Ψb1 x Ψa0 Ψb0 Ψan xn Ψa1 x Ψa0 Ψbn xn Ψb1 x Ψb0 Ψpx qx Ψpx Ψqx Ψpx qx Ψan xn a1 x a0bn xn b1 x b0 Ψan bn x2n an1 bn an bn1 x2n1 a1 b1 a0 b1 x a0 b0 Ψan bn x2n Ψan1 bn an bn1 x2n1 Ψa1 b1 a0 b1 x Ψa0 b0 Ψan Ψbn x2n Ψan1 Ψbn Ψan Ψbn1 x2n1 Ψa1 Ψb1 Ψa0 Ψb1 x Ψa0 Ψb0 Ψan xn Ψa1 x Ψa0 Ψbn xn Ψb1 x Ψb0 Portanto Ψpx qx Ψpx Ψqx Além disso Ψ1A Ψ1A 1B Logo Ψ é homomorfismo de anéis com unidade Injetividade Dado px Ax com px an xn a1 x a0 tal que Ψpx 0 Então Ψan xn Ψa1 x Ψa0 0 Segue que Ψan Ψan1 Ψa1 Ψa0 0 como Ψ é isomortismo temse que an an1 a1 a0 0 Portanto px 0 concluindo que Ψ é injetiva Ψ é sobrejetiva Dado qx bn xn b1 x b0 Bx para cada i 0 1 n existe ai A tal que Ψai bi pois Ψ é isomortismo Definimos px an xn a1 x a0 Ax Logo Ψpx Ψan xn Ψa1 x Ψa0 bn xn b1 x b0 qx Portanto Ψ é sobrejetivo Logo Ψ é um isomorfismo de anéis isto é Ax é isomorfo a Bx 6 A derivada formal de um polinômio px a0 a1 x an xn sobre A na indeterminada x é definida por px a1 2 a2 x n an xn1 Prove que px qx px qx e px qx px qx px qx Seja px an xn a1 x a0 e qx bn xn b1 x b0 Assim px qx an bn xn a1 b1 x a0 b0 Segue que px qx nan bn xn1 2a2 b2 x a1 b1 n an n bn xn1 2 a2 2 b2 x a1 b1 n an xn1 2 a2 x a1 n bn xn1 2 b2 x b1 px qx Dado m ℕ e a uma constante a xm px a an xnm a a1 xm1 a a0 xm n m a an xnm1 m 1 a a1 xm m a a0 xm1 n a an xnm1 a a1 xm m a an xnm1 m a a1 xm m a a0 xm1 n xn1 a1 a xm an xn a1 x a0 a m xm1 px a xm px a xm Vale para todo m ℕ e a constante Portanto px qx px bn xn px b1 x px b0 px bn xn px b1 x px b0 Usando px qx px bn xn px n bn xn1 px b1 x px b1 b0 px px bn xn px b1 x px b0 px n bn xn1 px b1 px bn xn b1 x b0 px n bn xn1 b0 px gx px qx Dê um exemplo de polinômios fx e gx para mostrar que o algoritmo da divisão não vale em Zx Sejam fx x e gx 2 Se existem qx rx tais que fx gx qx rx com rx 0 ou grau rx grau gx Como graugx 0 segue que rx 0 Portanto x 2 qx Daí concluímos que graugx 1 Existem a b Z qx a x b Zx Segue que x 2 a x 2 b