Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear Espaços Vetoriais e Matrizes

Questão 5 Resposta salva Vale 100 pontos A dimensão do espaço coluna de uma matriz A de tamanho 6 7 é a maior possível Indique a seguir f única sequência que corresponde aos valores da dimensão do espaço linha de A do posto de A da nulidade de A e da dimensão do espaço solução do sistema homogêneo Ax 0 respectivamente Escolha uma opção 6 6 1 1 3 3 3 2 7 7 1 1 7 7 0 0 5 4 2 2 Limpar minha escolha Questão 7 Resposta salva Vale 100 pontos Seja H o subespaço vetorial de Rn gerado pela lista v1 v2 v3 v4 de vetores nãonulos Admita que v3 v1 2v2 e v4 v1 2v3 Das afirmações a seguir quais são verdadeiras Escolha uma ou mais dim H 2 se a lista v1 v2 é linearmente independente dim H 0 pois a lista v1 v2 v3 v4 é linearmente dependente dim H 4 pois a lista v1 v2 v3 v4 é linearmente independente dim H n já que a lista v1 v2 v3 v4 é uma base para H dim H 1 se a lista v1 v2 é linearmente dependente Questão 6 Ainda não respondida Vale 100 pontos A dimensão do subespaço vetorial W a b c d e R5 10a 9b 13c é Escolha uma opção 1 2 3 4 5 Questão 4 Resposta salva Vale 200 pontos Marcar questão Sobre os valores de r para que a matriz A tenha nulidade igual a 0 pode dizer que Escolha uma opção r 1 e r 2 r 1 r 2 não existem valores para r satisfaça tal condição r 2 Limpar minha escolha Questão 4 Temos a matriz 𝐴 1 1 𝑟 1 𝑟 1 𝑟 1 1 Escalonando temos 𝐴 1 1 𝑟 0 𝑟 1 1 𝑟 0 1 𝑟 1 𝑟2 Assumindo 𝑟 1 obtemos 𝐴 1 1 𝑟 0 1 1 0 1 𝑟 1 𝑟2 𝐴 1 1 𝑟 0 1 1 0 0 1 𝑟2 1 𝑟 Logo para ter nulidade igual a zero precisamos ter 1 𝑟2 1 𝑟 0 1 𝑟1 𝑟 1 1 𝑟 0 1 𝑟 1 0 2 𝑟 0 𝑟 2 Assim a alternativa é 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 Questão 5 Pela descrição feita podemos ter uma matriz do seguinte tipo por exemplo 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Podemos usar o exemplo para responder às questões Assim para o exemplo a dimensão do espaço linha é 6 Como a forma já é escalonada temos que o posto vale 6 A nulidade vale 7 posto 7 6 1 A espaço solução é dado por 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 0 𝑥6 𝑅 Ou seja a dimensão deste espaço é igual a 1 Questão 6 Temos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 10 9 𝑎 10 13 𝑎 𝑑 𝑒 𝑎 1 10 9 10 13 00 𝑑00010 𝑒00001 Logo 𝑊 1 10 9 10 13 00 00010 00001 como há 3 vetores na base a dimensão é 3 Questão 7 H é gerado por 𝑣1 𝑣2 𝑣3 e 𝑣4 Mas 𝑣3 e 𝑣4 são LD em relação aos outros vetores Isto é o mesmo que dizer que H é gerado por 𝑣1 e 𝑣2 somente Logo se 𝑣1 e 𝑣2 forem LI teremos 2 vetores como sendo base para 𝐻 logo dim𝐻 2 Questão 4 Temos a matriz A 1 1 r 1 r 1 r 1 1 Escalonando temos A 1 1 r 0 r1 1r 0 1r 1r 2 Assumindo r 1 obtemos A 1 1 r 0 1 1 0 1r 1r 2 A 1 1 r 0 1 1 0 0 1r 21r Logo para ter nulidade igual a zero precisamos ter 1r 21r 0 1r 1r 11r 0 1r 10 2r 0 r 2 Assim a alternativa é r 1e r2 Questão 5 Pela descrição feita podemos ter uma matriz do seguinte tipo por exemplo 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Podemos usar o exemplo para responder às questões Assim para o exemplo a dimensão do espaço linha é 6 Como a forma já é escalonada temos que o posto vale 6 A nulidade vale 7 posto 7 6 1 A espaço solução é dado por x1x2x3x4x50 x6 R Ou seja a dimensão deste espaço é igual a 1 Questão 6 Temos abc d e a10 9 a 10 13 ad e a110 9 10 13 00d 00010 e 00001 Logo W 110 9 10 13 0000010 00001 como há 3 vetores na base a dimensão é 3 Questão 7 H é gerado por v1 v2 v3 e v4 Mas v3 e v4 são LD em relação aos outros vetores Isto é o mesmo que dizer que H é gerado por v1 e v2 somente Logo se v1 e v2 forem LI teremos 2 vetores como sendo base para H logo dim H2