Álgebra 2

Atividade 5 P2 1 Ache os autovalores e autovetores da matriz A 9 8 6 3 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 7 2 Encontre uma matriz A que tem autovalores 1 1 e 0 cujos respectivos autovetores são os vetores u 1 1 1 v 1 1 0 e w 1 1 0 3 Encontre os autovalores e autovetores da matriz R que reflete um vetor u em relação ao plano x y z 0 4 Ache a matriz de projeção P de um vetor v sobre a reta y mx em que m 0 sugestão encontre os autovetores de P 5 Considere a matriz Rθ cosθ senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1 em que θ kπ k Z e seja um vetor arbitrário v x y z Determine a a norma do vetor Rθ v b o ângulo α entre os vetores v e Rθ v c os autovalores e autovetores da matriz Rθ Instruções A 9 8 6 3 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 7 Autovalores det A λ I 0 9 λ 8 6 3 0 1 λ 0 0 0 0 3 λ 0 0 0 0 7 λ 0 Como a matriz é triangular det A λ I 9 λ 1 λ 3 λ 7 λ 0 Assim os autovalores são λ 9 λ 1 λ 3 λ 7 Autovetores 1 Para λ 9 A 9 I v 0 0 8 6 3 0 10 0 0 0 0 6 0 0 0 0 2 x y z w 0 0 0 0 8 y 6 z 3 w 0 10 y 0 6 z 0 2 w 0 y 0 z 0 w 0 v x 0 0 0 x 1 0 0 0 The content for image 2 is handwritten math expressions related to matrix transformations and inverse P1 no explicit text available A 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 6 0 0 1 12 12 0 12 12 1 A 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 12 1 0 12 15 1 A 12 12 1 12 12 1 0 0 1 3 A matriz de reflexão é dada por R I 2 N NT N2 onde N é o vetor normal ao plano N 1 1 1 NT 1 1 1 N NT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N2 12 12 12 N2 3 R 1 0 0 0 1 0 0 0 1 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R 1 23 23 23 23 1 23 23 23 23 1 23 13 23 23 23 13 23 23 23 13 Os autovalores de uma reflexão no plano são λ 1 e λ 1 5 a Rθ cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 Rθv Rθ x y z x cos θ y sin θ x sin θ y cos θ z Rθv sqrtx cos θ y sin θ2 x sin θ y cos θ2 z2 Rθv sqrtx2 cos2 θ 2xy cos θ sin θ y2 sin2 θ x2 sin2 θ 2xy sin θ cos θ y2 cos2 θ z2 Rθv sqrtx2 cos2 θ sin2 θ y2 sin2 θ cos2 θ z2 Rθv sqrtx2 y2 z2 v b v x y z Rθv xcosθ ysinθ ycosθ ysinθ z v Rθv x²cosθ xy sinθ xy sinθ y² cosθ z² v x² y² z² Rθv x² y² z² cos α v Rθv v Rθv x² y²cosθ z² x² y² z² α arccos x² y²cosθ z² x² y² z² c Rθ cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 detRθ λI 0 cosθ λ sinθ 0 sinθ cosθ λ 0 0 0 1 λ 0 Calculando o determinante por Laplace 1 λ cosθ λ sinθ 0 sinθ cosθ λ 1 λ cosθ λ² sin²θ 0 1 λcos²θ 2λcosθ λ² sin²θ 0 1 λ λ² 2λcosθ 1 0 1 λ 0 λ 1 λ² 2λcosθ 1 0 Δ 2cosθ² 4 1 1 Δ 4cos²θ 4 4cos²θ 1 4sin²θ λ 2cosθ 2sinθi 2 λ cosθ sinθi λ₂ cosθ sinθi λ₃ cosθ sinθi Autovetores Para λ 1 A λIv 0 cosθ 1 sinθ 0 sinθ cosθ 1 0 0 0 0 x y z 0 0 0 cosθ 1x sinθy 0 sinθx cosθ 1y 0 Sendo x sinθ e y 1 cosθ sinθ 1 cosθ z v sinθ 1 cosθ z Tomando z 1 sinθ 1 cosθ 1 Para λ cosθ sinθi i sinθ sinθ 0 sinθ i sinθ 0 0 0 1 cosθ i sinθ x y z 0 0 0 i sinθx sinθy 0 sinθ x i sinθ y 0 1 cosθ i sinθ z 0 z 0 Sendo x 1 e y i temse 1 i 0 Analogamente para λ cos θ i sen θ temse 1 i 01