Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra e Anéis

LISTA 1 DE EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO 1b Dai a1 b0 2a c 0 c 2 2 logo 2a d 0 d 2 gx 1 2x2 2x3 é o inverso de px Pois cada elemento de px é invertível por cada elemento de gx em Z4X 2 Ora temos f f Anel de integridade fg 7 f g 7 e fg 3 f g 3 Romando 2f y0 f 5 e assim g 2 Como fg f g 5 2 7 e f2 ff f f 5 5 10 g2 g g 22 4 logo f2 g2 f2 g2 10 4 6 e f2 g2 f2 g2 14 1a Z4X em que Z4 0 1 2 3 Dado fx 2 mas não existe f Z4X T fx gx I pois model24 27 1 Assim Z4X não é anel de divisão 1b Px 1 2x2 2x3 queremos determinar gx Z4X so que gxpx 1 Digamos gx a bx cx2 dx3 a bx cx2 dx3 1 2x2 2x3 1 a 2a x2 2a x3 bx 2b x3 2b x4 cx2 2cx4 2cx5 dx3 2d x5 2d x6 1 0x 0x2 0x3 0x4 0x5 3A fx x2 5x 4 Ora Most que fx 0 x2 5x 4 0 Visto e Δ 25 16 9 Logo x 5 3 2 1 e x 5 3 2 4 Assim fx x2 5x 4 x 1 x 4 Podem Graus x1 1 Grau x4 Portanto f é irredutível em Rx B O teorema da Eisenstein é sem resultado sobre a irreductibilidade de polinômios em geral mas garante quando um polinômio em Qx sobre certas condições é irredutível C f1x x3 15x2 21x 82 Pondo P 3 temos 31 315 321 e 32 9 82 Assim f1 irredutível 4a De fato dado f Rx e u C uma raiz de f digamos fx a0 a1 x an x então fα a0 a1 ā an ā a0 a1 α an α fα ō 0 B Todos temos fx x i Cx então α i e i pois fi i i 0 mas α i e i que fi i i 2i 0 5A fx x3 6x2 x 4 gx x5 6x 1 Fazendo a divisão termos x5 6x 1 x5 6x1 x7x2 6x4 x3 4x2 6x 1 6x4 36x3 6x2 21x 35x3 10x2 30x 1 200x2 65x 139 R1x Fazendo a divisão de R0 por R1 temos x3 6x2 x 4 1195x 447 800 200x2 65x 139 40x 227 800 por fim temos 200x2 65x 139 1195200 x 447 800 7648000x 2767200 57121 Logo mdc fx gx 7648000x 2767200 57121 56 maio pois como x2 0 x R2 então x2 1 1 x R logo x2 1 0 x R c Sim note que α i tal que α2 1 i2 1 1 1 0 d O corpo que está sendo tratado Como todo polinômio um ΦX admite raiz em Φ temos o resultado Essa propriedade não vale em RX por isso fx x2 1 não admite raiz em R